Diskussion:Nabla-Operator

Praktisches Beispiel/Intuitive Erklärung

Könnte jemand ein praktisches, einfaches Beispiel für den Nabla-Operator einfügen und/oder eine intuitive Erklärung hinschreiben wieso/wofür man den Operator benutzt? Für mich erschließt sich der Sinn davon nicht, weil es evtl. zu formal gehalten wird bzw. es für die Autoren absolut klar war was es ist. Als ob man Sense mit 'Die Sense hat eine Klinge aus Eisen und einen Griff aus Holz.' beschreibt, ohne hinzuzufügen, dass es fürs Kornmähen gedacht war. -- 84.177.187.205 15:59, 19. Feb. 2010 (CET)

Intuitiv gehören zu den drei Schreibweisen $\nabla \cdot x,\nabla x,\nabla \times x$ vollkommen unterschiedliche Vorstellungen, die in den drei im ersten Satz verlinkten Operationen mit Beispielen erklärt werden (sein sollten). Nabla selbst ist ein reiner Formalismus zwecks schönerer Notation, den man weder vereinfacht erklären noch sich sinnvoll bildlich vorstellen kann. Von daher sehe ich im Moment nicht, wie man den Artikel hier gut verbessern könnte. -- Pberndt _(DS) 19:32, 22. Feb. 2010 (CET)

Alte Diskussion

Ferner gelten für beliebige Skalarfelder φ, ψ und f und Vektorfelder ${\vec {A}}$ und ${\vec {B}}$ folgende Rechenregeln:

Wo wird Psi: ψ benützt? --Swert 18:22, 11. Aug 2005 (CEST)

taucht gleich in der ersten Formel (Produktregel) nach dem zitierten Satz auf. --Juesch 18:26, 11. Aug 2005 (CEST)

excellenter artikel! danke.

Ist vielleicht eine inhaltliche Frage, aber bei den vielen Rechenregeln verstehe ich bei ${\vec {\nabla }}\times ({\vec {A}}\times {\vec {B}})=({\vec {B}}{\vec {\nabla }}){\vec {A}}-{\vec {B}}({\vec {\nabla }}{\vec {A}})+{\vec {A}}({\vec {\nabla }}{\vec {B}})-({\vec {A}}{\vec {\nabla }}){\vec {B}}$ den Zwischenpart $({\vec {B}}{\vec {\nabla }}){\vec {A}}-{\vec {B}}({\vec {\nabla }}{\vec {A}})$ nicht. Ist das nicht immer ${=0}$? --Ber: 19:29, 21. Feb 2006 (CEST)

$({\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}-{\vec {B}}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})$, wie es korrekt geschrieben gehoert, ist im allgemeinen nicht 0. ${\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}$ ist das Skalarprodukt zweier Vektoren, waehrend das Produkt ausserhalb der Klammer das Produkt eines Vektors mit einem Skalar ist. Das Assoziativgesetz kannst Du also hier nicht anwenden.

Eine Frage:

• Hinweis zur Übersichtlichkeit

Es gilt: :${\frac {\partial V}{\partial x}}=V_{x},{\frac {\partial V}{\partial y}}=V_{y},...$

wenn ich nun die Werte für $V_{x},V_{y}...$ z.b ín die Gleichung für die Divergenz einsetze bekomme ich dort die Zweifache Ableitung? Stimmt das so? Gruß matthias

Die Einführung der Schreibweise

${\frac {\partial V}{\partial x}}=V_{x},{\frac {\partial V}{\partial y}}=V_{y},...$

(im Hinweis zur Übersichtlichkeit) scheint mir für die folgenden Ausführungen des Artikels nicht hilfreich und führt sogar zu einer fehlerhaften Deutung der Vektorfeldfunktionen "Rotation" und "Divergenz":

$\operatorname {div} {\vec {V}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}={\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}$

$\ V_{x},V_{y},V_{z}$ sind hier die Feldkomponenten von ${\vec {V}}$ und nicht die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial V}{\partial x}},{\frac {\partial V}{\partial y}},{\frac {\partial V}{\partial z}}$

(siehe hierzu auch die Frage von matthias). Daher lösche ich die entsprechende Definition.

T.S.Grübel 21.06.2006

In meinem Lehrbuch Experimentalphysik 1, von Wolfgang Demtröder wird im Anhang behauptet, der Begriff Nabla komme von einem altägyptischen Saiteninstrument. Was stimmt den jetzt hebräisch oder altägyptisch?

Gradient eines Skalarprodukts

Die Regel

${\vec {\nabla }}({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {B}}+({\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}+{\vec {A}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})+{\vec {B}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})$

verstehe ich nicht. Ergibt sich nicht aus der Produktregel:

${\cancel {{\vec {\nabla }}({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})=({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})\,{\vec {B}}+({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}})\,{\vec {A}}}}$ ?

--Digamma 22:48, 3. Feb. 2007 (CET)

Das ist nicht so einfach mit der Produktregel! Eine Herleitung der betr. Regel steht z. B. bei Max Lagally (und W. Franz): Vorlesungen über Vektorrechnung, 7. Aufl. Geest&Portig, Leipzig 1964, dort Gl. (49') auf S. 168! Überhaupt könnten viele Unklarheiten vermieden werden, würde man sich z.T. wieder auf die aus der Mode gekommenen Lagallyschen Tugenden besinnen: von Anfang an neben Skalar- und Vektorprodukt das tensorielle (dyadische, "unbestimmte") Produkt zweier Vektoren zu verwenden. Schönen Gruß aus Dresden, WMbrummochs --89.199.206.168 23:41, 5. Apr. 2012 (CEST)

Herzlichen Dank. Leider fehlt mir der Zugriff auf das Buch. --Digamma (Diskussion) 13:37, 6. Apr. 2012 (CEST)

Bitte checkt das jemand nach? --92.203.97.107 17:15, 19. Apr. 2012 (CEST)

ich kann beide Formeln bestätigen. Die lange Formel entsteht nach mehreren Umformungen. Die Darstellung hier im Wiki wäre interessant. Daher ziehe ich das erledigt zurück.--biggerj1 (Diskussion) 00:16, 20. Apr. 2012 (CEST)

Meinst du, dass es sinnvoll ist, die Herleitung einzubauen? An sich sind Beweise in der Wikipedia nicht erwünscht, wenn sie nur dem Nachweis der Richtigkeit dienen und nicht den Sachverhalt selbst beleuchten. Ich könnte mir aber vorstellen, dass man hier illustrieren kann, wie die Rechenregeln der Vektorrechnung (konkret für das Kreuzprodukt) und die Ableitungsregeln (konkret: Produktregel) hier zusammenwirken. Möchtest du das tun? --Digamma (Diskussion) 13:51, 20. Apr. 2012 (CEST)

Ich hätte es in Summenkonvention hergeleitet... (ist doch sehr lange, wenn man das durchzieht) ich weiss nicht, ob das das ist was du dir vorstellst, wahrscheinlich eher nicht. Es gibt aber noch eine Herleitung in 3,4 Zeilen.--biggerj1 (Diskussion) 18:32, 20. Apr. 2012 (CEST)

Ich denke, dass eine Herleitung in Summenkonvention hier keinen Gewinn bringt. Hast Du eine Quellenangabe, auf die man verweisen kann? --Digamma (Diskussion) 20:51, 21. Apr. 2012 (CEST)

Die Herleitung bei Lagally (dort S. 167/168) benötigt 5 Zeilen, rein vektoriell-tensoriell und ohne Summenkonvention (übrigens gibts gen. 7. Aufl. noch bei amazon.de für 15 Euro). Zurück zum Anfang: Die 2. Formel von Digamma vom 3.2.2007 (gem. "Produktregel") war definitiv falsch, weil Klammersetzungen und die Nabla-Produkte (wie Divergenzen) falsch waren. Die ausführliche 1. Formel hat ja gerade den Zweck, die sich nach der Produktregel ergebenden und praktisch recht unhandlichen tensoriellen Produkte mit dem Nabla-Operator (bei Lagally "lokale Dyaden" genannt) zu umgehen (wofür die Umständlichkeit mit den beiden doppelten Kreuzprodukten in Kauf zu nehmen ist).- Ich kann hier leider z. Z. kein Formel-Editing machen (wegen Augenproblemen zu anstrengend). WMbrummochs.dresden 89.199.233.26 23:29, 21. Apr. 2012 (CEST)

Beim Nachrechnen mit Indizes habe ich jetzt selbst gemerkt, dass die von mir vermutete Formel falsch ist. Vielen Dank für die ausführlichen Erläuterungen. Schade, dass du die Herleitung nicht beisteuern kannst. Viele Grüße nach Dresden. --Digamma (Diskussion) 10:36, 22. Apr. 2012 (CEST)

Die Indexrechnung (d.h. die Rechnung mittels Koordinaten-Vektoren) ist immer die letzte Rettung, damit ist man auf der sicheren Seite - und das ist legitim. Man kann aber die Beziehungen der Vektoralgebra und -analysis auch ohne den Weg über Koordinaten(vektoren) gewinnen. Dazu ist es hilfreich sich klarzumachen, daß das tensorielle Produkt aus Nablaoperator und (variablem!) Ortsvektor einen Einheitstensor ergibt. dieses Produkt ist in diesem speziellen Fall sogar symmetrisch. Der unbestimmte Artikel vor "Einheitstensor" ist ganz absichtlich gesetzt, denn zu jeder konkreten Vektorbasis ist genau eine Gestalt des Einheitstensors anzusetzen. Will man sich nicht generell auf kartesische Vektorbasen beschränken, ist aber zu beachten, daß der Einheitstensor einer nicht-kartesischen Basis nicht mehr symmetrisch ist und leider auch die Kenntnis (oder wenigstens das Wissen um) das reziproke System erfordert.- An irgendeiner Stelle (weiß leider nicht mehr wo) hat Digamma eine sehr schöne Charakterisierung der "geometrischen Vektoren" gegeben; ich denke, diese geometrischen Vektoren sind Elemente geometrischer Vektorräume aus Ortsvektoren (VO3-Vektorräume), die von den R3-Vektorräumen ihrer Koordinaten-Vektoren wohl zu unterscheiden sind. Das gilt natürlich auch für den Nablaoperator (auf dessen koordinaten-unabhängige Definition wäre wieder z. B. auf M. Lagally bzw. W. Franz zu verweisen). Zur "Abbildung Koordinatenvektor bezüglich einer Basis" siehe z.B. bei Gerhard Geise, Grundkurs Lineare Algebra, B.G. Teubner, Leipzig 1979, dort sehr ausführlich, auch zur Betrachtung der "abstrakt gleichen aber konkret verschiedenen Vektorräume"! Diese Unterscheidungen kommen immer mehr "aus der Mode", leider auch in den "sehr modernen" Darstellungen von Gerd Fischer (2010!). Ich halte aber die generelle Gleichsetzung von Vektoren mit ihren Koordinaten-Vektoren (ebenso wie die Gleichsetzung eines Tensors zweiter Stufe mit seiner Koordinaten-Matrix) für bedenklich. Die vielen in den Wiki-Diskussionen zur Vektor- und Tensor-Thematik zutage tretenden Irritationen scheinen meine Bedenken zu bestätigen. Diese Diskussion (und deren evtl. Forsetzung) paßt aber eigentlich nicht mehr unter die Überschrift "Gradient eines Skalarprodukts". Viele Grüße! WMbrummochs.dresden 89.199.239.40 13:14, 22. Apr. 2012 (CEST)

Tja, nun war mir hier soeben ein bedenklicher Fehler unterlaufen! Natürlich ist auch jeder Einheitstensor als Summe dyadischer Produkte symmetrisch, nur seine Summanden sind es nicht mehr. Pardon! WMbrummochs.dresden 89.199.238.213 13:35, 22. Apr. 2012 (CEST)

Fehlerstellen durchgestrichen. WMbrummochs --89.199.188.172 23:03, 28. Okt. 2012 (CET)

Nochmal zurück zum Anfang! Für den Gradienten eines Skalarprodukts zweier Vektoren war die Formel

${\vec {\nabla }}({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {B}}+({\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}+{\vec {A}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})+{\vec {B}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})$ ....(1)

als richtig befunden worden. Erst mal gilt natürlich die Produktregel

${\vec {\nabla }}({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})={\vec {\nabla }}\overbrace {\vec {A}} \cdot {\vec {B}}\,+\,{\vec {\nabla }}\overbrace {\vec {B}} \cdot {\vec {A}}$ ....(2).

Die overbraces (für den senkrechten Pfeil über einer Größe war nichts zu finden?) bezeichnen die Wirkungsstellen des Differentialoperators. Die Klammern sind eigentlich entbehrlich und auf der linken Seite nur zur Verdeutlichung stehengeblieben; im zweiten Ausdruck auf der rechten Seite habe ich die Faktoren des Skalarprodukts stillschweigend vertauscht.

Dann ist nach der Zerlegungsformel für das zweifache Vektorprodukt

${\vec {B}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})={\vec {\nabla }}{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}-{\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}{\vec {A}}$ ....(3),

weiter nach Umstellen

${\vec {\nabla }}{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {B}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})+{\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}{\vec {A}}$ ....(3a) und nach Vertauschen von \vec A und \vec B

${\vec {\nabla }}{\vec {B}}\cdot {\vec {A}}={\vec {A}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})+{\vec {A}}\cdot {\vec {\nabla }}{\vec {B}}$ ....(3b).

Einsetzen von (3a) und (3b) in (2) liefert das Ergebnis (1).

Die Schreib-und Vorgehensweisen bedürfen evtl. einiger Bemerkungen.

1. Man darf einen Vektor auch so mit einer Zahl multiplizieren, daß der Vektor links und die Zahl rechts steht. Nach den gewöhnlichen Vektorraum-Axiomen ist das erst mal nicht erlaubt. Es ist aber für Vektorräume über kommutativen Zahlenkörpern definierbar. Dazu berufe ich mich auch auf das schon genannte Buch von G. Geise sowie auf H. Reichardt: Vorlesungen über Vektor- und Tensorrechnung, Berlin 1957.

2. Dieser so mit einem Vektor verbundene Zahlenfaktor kann selbst ein Skalarprodukt zweier Vektoren sein, dessen Faktoren auch vertauscht werden dürfen; damit ergeben sich vier mögliche Gestalten für das aus den drei Vektoren zusammengesetzte "Produktgebilde". Dabei ist der Punkt zwischen den Faktoren des Skalarprodukts absolute Pflicht; die ohne Zeichen nebeneinander stehenden Vektoren bilden deren tensorielles (unbestimmtes, dyadisches) Produkt, sie dürfen allein keinesfalls vertauscht werden. Klammern sind fast (s. o.) überall entbehrlich.

3. Die Skalarprodukte mit dem Nablaoperator auf den rechten Seiten der Gln.(3) sind skalare (Richtunngs-) Diffentialoperatoren!

4. Das vektorielle Produkt zweier Vektoren gibt es nur in bestimmten Vektorräumen Vn mit n=3. Zur Frage der Übertragbarkeit für n>3 würde ich folgendes sagen: Die rechte Seite der Zerlegungsformel kann auch so geschrieben werden, daß (hier in Gl. (3)) der \vec B mit dem Skalarprodukt-Punkt nach rechts ausgeklammert wird. Dann steht in der Klammer ein spezieller antisymmetrischer Tensor zweiter Stufe, der skalar mit dem Vektor \vec B zu multiplizieren ist. Das ist auch der Inhalt der allgemeineren Aussage, daß ein Kreuzprodukt eines axialen Vektors mit einem beliebigen Vektor (hier \vec B) durch das Skalarprodukt aus antisymmetrischem Tensor und diesem beliebigen Vektor ersetzt werden kann. Und das dürfte sogar auch für n=2 funktionieren! Nun stimmt das zwar prinzipiell. Aber: Praktisch machte das gar keinen Sinn, weil's noch aufwendiger würde als gleich die Gl. (2) anzuwenden!

Schöne Grüße! WMbrummochs.dresden ----89.199.239.205 19:35, 1. Jun. 2012 (CEST)

Herzlichsten Dank und schöne Grüße zurück nach Dresden. --Digamma (Diskussion) 16:42, 2. Jun. 2012 (CEST)

Tensoranalysis

Der Satz

In der Tensoranalysis erweist sich der Nabla-Operator als wichtiges Beispiel für einen kovarianten Tensor.

kommt mir seltsam vor. Inwiefern ist denn der Nabla-Operator ein Tensor? --Digamma 22:48, 3. Feb. 2007 (CET)

Nabla ist (formal) ein Vektor und damit ein Tensor erster Stufe. (Kovariant bedeutet, dass er bei einer Koordinatentransformation wie die Vektorraum-Basis transformiert wird.) --91.89.4.184 20:31, 20. Feb. 2008 (CET)

Pseudovektor?

Nabla ist kein Pseudovektor. Die damit gebildete Rotation eines Vektors ist (wie jedes andere Kreuzprodukt) ein Pseudovektor.

       Sehe ich auch so: Nabla IST ein Vektor (erfüllt doch sämtliche Vektorraumaxiome)...

Zeilen oder Spaltenvektor?

ist Nabla nicht ein Spaltenvektor? hier bei Wikipedia wird nicht zwischen grad und Nabla unterschieden

Eigentlich schon. Aber wer eine Notation mit Nabla verwendet, unterscheidet normalerweise nicht zwischen Spalten- und Zeilenvektor (ist ja nur Konvention und physikalisch nicht relevant). Nabla wird zu grad, wenn man es auf einen Skalar anwendet; allerdings kann man mit Nabla auch andere Differentialoperatoren wie div und rot darstellen. --91.89.4.184 20:37, 20. Feb. 2008 (CET)

Ich finde es verwirrend, dass im Artikel von einem Spaltenvektor gesprochen wird und eine Zeile weiter unten steht es als Zeilenvektor. -- (nicht signierter Beitrag von 71.166.98.243 (Diskussion | Beiträge) 02:53, 21. Apr. 2009 (CEST))

Verwirrend direkt nicht, aber irgendwie blöd. Das "(Spalten-)" vielleicht weg? -- Pberndt _(DS) 19:47, 20. Aug. 2009 (CEST)

Ach ja: Es ist aus einem Grund sinnvoll, Nabla als Zeilenvektor einzuführen (bzw., wenn man normalerweise Zeilenvektoren verwendet, als Spaltenvektor): Dann ergibt der Operator nicht nur bei skalaren, sondern auch bei vektorwertigen Funktionen einen Sinn - denn dann kommt die Jakobimatrix bei raus. -- Pberndt _(DS) 19:52, 20. Aug. 2009 (CEST)

Liebe Leute, ich weiß nicht, ob nach so langer Zeit eine zusätzliche Bemerkung an dieser Stelle überhaupt noch Sinn macht. Trotzdem: Ich finde, daß die ganze Diskussion Zeilenvektor vs. Spaltenvektor ein bißchen arg daneben geht (gegangen ist), und zwar prinzipiell! Wenn man einem Vektor als primär geometrisches (und deshalb grundsätzlich invariantes) "Ding" eine selbständige Existenz zuerkennt, erscheint jede von einer konkreten Vektor-Basis abhängige Darstellungsform in ihrer speziellen Gestalt (ob als Tupel oder "matrizisch") ziemlich sekundär! Im letzgenannten Fall können Zeilen-/Spaltenvektoren je nach Formel-Kontext in munterer Folge einander abwechseln. Das Problem dabei ist, daß die Gesetze der beabsichtigten Multiplikation mit der Verkettungsregel des Matrizenkalküls in Übereinstimmung gehalten werden müssen. Freundliche Grüße! WMbrummochs.dresden ----89.199.202.58 01:55, 8. Jul. 2012 (CEST)

Überarbeiten-Baustein

Nabla ist kein Zeilenvektor. Die Darstellung hier entbehrt jeder Grundlage. Am ehesten verständlich wäre es, wenn Nabla ein Spaltenvektor wäre, da dies die allgemeinübliche Schreibweise für nomale Vektoren wäre. Korrekt ist aber einzig und allein die Schreibweise mit Hilfe von Einheitsvektoren. Siehe dazu unter anderem Bronstein, Taschenbuch der Mathematik, Seite 675. Der englische Artikel nutzt ebenfalls die Methode. --141.35.185.149 00:36, 3. Dez. 2007 (CET)

Das ist nichts anderes als Konvention, ohne jegliche mathematische Bedeutung. Dein Korrektheitsbegriff ist kaputt. --Ben g 01:07, 3. Dez. 2007 (CET)

Also diese Darstellung findet man zum Beispiel in Jänich-Vekroranalysis, entbehrt also nicht jeder Grundlage... Was den Bronstein angeht, wäre es sehr sinvoll, wenn du auch die Auflage angibst. Da ich aber auch in meinen Bronstein nichts finde, das der Notation hier widerspricht, lösch ich mal den Baustein. Da ich aber nicht alle Formeln die hier stehen in den zwei genannten Büchern finden kann, setz ich mal nen Quellenbaustein. Gruß Azrael. 22:17, 10. Dez. 2007 (CET)

Im geometrischen Sinn (der auch in der Physik verwendet wird) sind Vektoren natürlich weder Zeilen noch Spalten. Identifiziert man sie mittels einer Orthonormalbasis mit Elementen der R^n (was in diesem Artikel geschieht), dann sind es zunächst einfach n-Tupel, die in der Regel als Zeile geschrieben werden, mit runden Klammern drumrum und die Einträge getrennt durch Kommas. Will man mit diesen Matrizenrechnung machen, dann ist es nützlich, sie als Spalte (also als $n\times 1$-Matrix) zu schreiben. Kovektoren (Elemente des Dualraums) schreibt man dann hingegen als Zeilen ($1\times n$-Matrix). Vgl. Matrix (Mathematik)#Notation und erste Eigenschaften, letzter Absatz. --Digamma 23:37, 6. Feb. 2008 (CET)

Ich finde der Baustein kann entfernt werden, da im Bronstein alle Formeln des Artikels nachzulesen sind. Außerdem hab ich mal die Darstellung des Nabla-Operators durch Einheitsvektoren ergänzt. Oder gabs sonst noch ein offenes Problem? gruß -- M0nsterxxl 03:06, 4. Apr. 2008 (CEST)

"im englischen Sprachraum ${\underline {\nabla }}$"

Gibt es dafür einen Beleg? Wenn nicht, dann lösche ich die Passage. Im entsprechenden englischen Artikel finde ich die Aussage nicht. --Digamma 08:40, 22. Mai 2010 (CEST)

Vektoren allgemein schreibt man im englischsprachigen Raum oft unterstrichen statt mit Pfeil drüber, das wirst Du so in sehr vielen Büchern finden. Und Operatoren, die auf vektorwertige Funktionen abbilden, zeichnen Physiker typischerweise als Vektoren aus. Kommt also schon hin. -- Pberndt _(DS) 10:45, 22. Mai 2010 (CEST)

Mal wieder Zeilen- und Spaltenvektor

Meines Erachtens ist ein Element des $\mathbb {R} ^{n}$ a priori weder ein Zeilen- noch ein Spaltenvektor, sondern ein n-Tupel, das üblicherweise in einer Zeile geschrieben wird, wobei die einzelnen Komponenten durch Kommas abgretrennt werden.

Wenn man damit Matrizenrechnung betreiben will, dann ist es sinnvoll, das Tupel als $n\times 1$-Matrix zu schreiben, also als "Spaltenvektor". Die "Transponiert"-Zeichen an den Tupeln sind meiner Ansicht nach deshalb erstens überflüssig und zweitens sinnlos. -- Digamma 19:57, 17. Aug. 2010 (CEST) Ergänzung: Das Nabla-Symbol wird sinnvollerweise sowieso nur dort verwendet, wo es auf die Unterscheidung zwischen Gradient (als Vektor) und Differential (als 1-Form) nicht ankommt, im Koordinatenraum $\mathbb {R} ^{n}$ In der Riemannschen Geometrie wird durchgängig df für das Differential geschrieben und grad f für den Gradienten. -- Digamma 20:16, 17. Aug. 2010 (CEST)

Mein Problem geht da schon früher los: Nabla ist kein Vektor im $\mathbb {R} ^{n}$, sondern allenfalls einer in $L(C^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ))^{n}$, wobei L für die linearen Operatoren steht. Der Abschnitt ist für das Verständnis aber mMn nicht unpraktisch. Ich würde an der Stelle einfach „formal“ durch „anschaulich“ ersetzen und einen eigenen Abschnitt dazu aufmachen, was er denn formal ist. (Was zu klären wäre..) --Pberndt _(DS) 20:31, 17. Aug. 2010 (CEST)

"Formal" scheint mehrere unterschiedliche Bedeutungen zu haben. Ich meinte damit (ich habe das damals geschrieben), dass er die "Form" eines Vektors hat (nämlich ein n-Tupel) und man nach den (formalen) Regeln der Vektorrechnung damit rechnen kann. Ich meine mit "formal" gerade nicht: "im strengen mathematischen Sinn". In diesem Sinn, denke ich, gibt es so etwas wie den Nabla-Operator gar nicht. Es gibt verschiedene Operatoren, wie Gradient, Divergenz und Rotation, die (sagen wir mal: symbolisch) damit dargestllt werden.

Unter "anschaulich" verstehe ich etwas anderes. Denn Anschauung steht hinter dem Nabla-Symbol eigentlich keine. Man kann damit rechnen. Man kann sich aber nichts darunter vorstellen (außer dem Rechenausdruck selbst). -- Digamma 21:14, 17. Aug. 2010 (CEST)

Die "top"s können auch gerne wieder weg, dann sollte die Einleitung aber deutlicher den dualen Gebrauch darstellen. Bisher steht da, dass nabla als Gradient ein Spaltenvektor ist, das habe ich umgesetzt. Ist aber eigentlich überflüssig, denn da, wo es wichtig ist, dass der Gradient eine Spalte ist (genauso wie Vektorfelder), also in der Differentialgeometrie, wird eh' kein nabla für den Gradienten benutzt, sondern ${\text{grad}}\;f$ geschrieben. Das Nabla-Symbol ist für die kovariante Ableitung $\nabla _{Y}X$ von Vektorfeldern reserviert.--LutzL 11:20, 18. Aug. 2010 (CEST)

Ah, okay. Scheint so zu sein, ja. An der Stelle hätte ich dann gesagt: formal kann man Nabla wie einen Vektor behandeln. -- Pberndt _(DS) 12:46, 18. Aug. 2010 (CEST)

Warum?

${\vec {\nabla }}f(r)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}{\frac {\vec {r}}{r}}$

Kann jemand eine Herleitung zeigen? Ich frage in Hinblick auf die Tatsache, wie man den Nabla-Operator (mit den Komponenten (d/dx, d/dy, d/dz) ) zu verstehen hat, wenn er auf eine Skalarfunktion angewendet wird, die von "r" abhängt (versus "(x, y, z)"). --Abdull 16:21, 31. Jan. 2011 (CET)

Kettenregel. Hier ist $r$ eine Funktion von $x,y,z$, nämlich $r=|{\vec {r}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ und $f$ eine Funktion von $r$. Der Nabla-Operator (hier eigentlich: der Gradient) wird auf die verkettete Funktion $(x,y,z)\mapsto f(r(x,y,z))$ angewendet. Nach der Kettenregel gilt

$\nabla f(r(x,y,z))={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}\cdot \nabla r$.

Wegen

${\frac {\partial r}{\partial x}}={\frac {\partial {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\partial x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}\cdot 2x={\frac {x}{r}}$ etc.

gilt

$\nabla r=\left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\right)={\frac {\vec {r}}{r}}$.

-- Digamma 17:40, 31. Jan. 2011 (CET)

Digamma, vielen Dank! Mir blieb noch die Frage offen, warum in dem Ausdruck

$\nabla f(r(x,y,z))={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}\cdot \nabla r$

ein ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}$ und nicht ein $\nabla f$ steht. Der Artikel verallgemeinerte Kettenregel liefert dazu die Antwort:

Es gilt $f\colon \mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ und $r\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{1}$, mit $r(x,y,z)={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

$h(x,y,z)=f(r(x,y,z))$

$f(w)$ bildet die äußere Funktion. Somit ist

$f'(w)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial w}}\end{pmatrix}}$

Als innere Funktion setzen wir $r(x,y,z)={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$, abhängig von den reellen Variablen $x,y,z$. Ableiten ergibt, wie von Digamma gezeigt

$r'(x,y,z)=\nabla r=\left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\right)={\frac {\vec {r}}{r}}$

Nach der allgemeinen Kettenregel gilt daher:

${\begin{aligned}h'(x,y,z)&=\nabla f(r(x,y,z))=f'(r(x,y,z))\cdot r'(x,y,z)=\left.{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial w}}\end{pmatrix}}\right|_{w=r}\cdot \left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\right)\\&={\frac {\partial f}{\partial r}}{\frac {\vec {r}}{r}}\end{aligned}}$

--Abdull 16:21, 12. Feb. 2011 (CET)

Hallo Digamma, an anderer Stelle hatte ich schon mal geschrieben, daß vektoralgebraische und vektoranalytische Herleitungen generell auch ohne Benutzung von Koordinaten machbar sind. Deswegen will ich hier folgendes kurz einfügen.

${\begin{aligned}{\vec {\nabla }}f(r)={\vec {\nabla }}f(|{\vec {r}}|)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} |{\vec {r}}|}}\,{\vec {\nabla }}|{\vec {r}}|.\end{aligned}}$

Nun ist es zweckmäßig ${\vec {\nabla }}|{\vec {r}}|$ gleich separat (als Baustein für spätere Wiederverwendung) zu behalten:

${\begin{aligned}{\vec {\nabla }}|{\vec {r}}|={\vec {\nabla }}({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}(|{\vec {r}}|^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\,\,{\vec {\nabla }}({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})={\frac {1}{2}}{\frac {1}{|{\vec {r}}|}}\,\,2({\vec {\nabla }}{\vec {r}})\cdot {\vec {r}}={\frac {1}{|{\vec {r}}|}}\mathbf {E} \cdot {\vec {r}}={\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}}.\end{aligned}}$

Das ist doch etwas übersichtlicher als die Koordinaten-Rechnung. Hier ist ${\vec {\nabla }}{\vec {r}}=\mathbf {E}$ der Einheitstensor zweiter Stufe als tensorielles Produkt aus Nablaoperator und Ortsvektor. Der Beweis hierfür wäre am einfachsten durch Koordinaten-Rechnung zu erbringen - das erforderte keinerlei Überlegung. Schöner ist der Nachweis über den Richtungsdifferentialquotienten des Ortsvektors in Verbindung mit einem beliebigen (fiktiven) Linienelement - das geht ohne Koordinaten (und wäre evtl. noch mal nachzutragen). Alle Multiplikationspunkte in obiger Gleichung sind absolute Pflicht, sie stehen für die Skalarmultiplikation zweier Vektoren bzw. für die eines Tensors zweiter Stufe mit einem Vektor. Besten Gruß vom WMbrummochs.dresden ----89.199.207.171 18:15, 9. Jul. 2012 (CEST)

Jüngste Änderungen

Die jüngsten Änderungen sind meines Erachtens falsch. Es gibt keinen Differentialoperator namens "Nabla". Vielmehr wird das Nabla-Symbol $\nabla$ benutzt, um verschiedene Differentialoperatoren auszudrücken. Gradient, Divergenz und Rotation sind ganz verschiedene Differentialoperatoren, die zwar gemeinsam haben, dass sie durch partielle Ableitungen erster Ordnung ausgedrückt werden können (und somit alle in gewisser Weise eine räumliche Änderung beschreiben), es handelt sich aber nicht um verschiedene Ausprägungen oder Versionen eines einzigen Differentialoperators "Nabla". Die Schreibweise mit dem Nabla-Symbol ist nur das: eine Schreibweise. Ich setze die Änderungen deshalb zurück. --Digamma (Diskussion) 22:12, 12. Apr. 2012 (CEST)

Ja das sehe ich auch so. Das Lexikon der Mathematik aus dem Spektrumverlag sagt auch, dass der Nabla-Operator ein "symbolischer Vektor" sei. Grüße --Christian1985 (Diskussion) 22:32, 12. Apr. 2012 (CEST)

Aus dem "Lexikon für Physik, Spektrum, Akademischer Verlag, Berlin, 2000": Nabla, der Vektor-Differentialoperator... des R^n. Auf reelwertige Funktionen f: R^N -> R ergibt sich grad f,... Sogar die Rotation ist keine Spezialität des R^3. Ich stelle aber frei, meine begonnen Änderungen zu verwerfen. --Wolfgang (Diskussion) 10:56, 13. Apr. 2012 (CEST)

Du zitierst ein Physik-Lexikon (und das noch recht lückenhaft). Da kann man nicht unbedingt erwarten, dass es mathematisch ganz präzise ist.

Ursache für diese Verwirrung ist möglicherweise, dass die Physiker sich in der Regel nicht für abstrakte mathematische Objekte interessieren. Sie unterscheiden deshalb nicht zwischen dem Operator als mathematischem Objekt und der formalen Schreibweise dafür. Z.B. steht im dtv-Lexikon der Physik unter dem Stichwort "Divergenz": „In der Vektoranalysis ein skalarer Differentialausdruck.“ Hier wird also das mathematische Objekt mit dem es beschreibenden Ausdruck identifiziert. Das ist als ob man Funktionsterme als Funktionen bezeichnet. Es ist mathematisch nicht präzise (auch wenn fast jeder Formulierungen wie "die Funktion $f(x)=x^{2}$" benutzt). Unter "Nabla" steht im dtv-Lexikon der Physik übrigens: „ein von Hamilton in die Vektoranalysis eingeführter Operator, der als ein symbolischer Vektor mit den Komponenten $\partial /\partial x$, $\partial /\partial y$, $\partial /\partial z$ aufgefasst werden kann. Durch formale Rechnung mit dem N. können die Ausdrücke für die Divergenz, den Gradienten und die Rotation einfach dargestellt und auch kompliziertere Vektoren abgeleitet werden.“ --Digamma (Diskussion) 12:00, 13. Apr. 2012 (CEST)

Hallo Digamma, hatte eben Dank und Zurück-Grüße im Abschnitt weiter oben gelesen, als mein Blick wieder auf Deine Bemerkungen zum Charakter des Nabla-Operators fiel, mit denen ich Schwierigkeiten hätte. In meinem obigen (nun nicht ganz geglückten) Text vom 22. Apr. hatte ich schon auf die Möglichkeit der vom Koordinatensystem unabhängigen Definition des Nabla-Operators bei Lagally/Franz hingewiesen. Nochmaliges Überdenken dieser Möglichkeit verstärken meine Zweifel an Deiner Meinung. Ein paar Worte zur Historie: Walter Franz (1911-1992) hatte Ende der 1950er Jahren aufgrund eines Hinweises von Karl Strubecker (1904-1991) eine Arbeit von Franz Jung (Lebensdaten nicht auffindbar, Z. Math. u. Phys. 56,337 (1908)) erwähnt, in der diese Definition (mit Hilfe des Limes eines Oberflächen-Integrals) erstmals angegeben worden sei. Franz hat das offenbar für so bedeutsam gehalten, daß er dem Hinweisgeber im Vorwort der 6. Aufl. (1958) ausdrücklich seinen Dank ausgesprochen hatte. Ich selbst war über dieses vermeintlich späte Aufkommen ziemlich verwundert, denn ich hätte geglaubt, daß die Integral-Ausdrücke für Divergenz usw. schon wesentlich eher gang und gäbe gewesen wären (bin mir aber nicht sicher). Franz zeigt dann zunächst, daß die Anwendung dieses "Integral-Operators" auf eine skalare Feldfunktion zum unabhängig davon definierten Gradienten führt und ergänzt das anschließend für Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes. Diese koordinaten-unabhängigen Betrachtungen bestärken mich in meiner Ansicht, dem Nabla-Operator doch einen selbständigen, nicht nur formalen Charakter zuzusprechen. Die Unterschiede liegen eher 1. im Typ der Operanden (skalare, vektorielle bzw. - zweiter oder höherer Stufe - tensorielle Feldfunktionen), und sie liegen bei den vektoriellen/tensoriellen Operanden 2. in den unterschiedlichen multiplikativen Verknüpfungen zwischen Operator und Operand (skalar, vektoriell, tensoriell/unbestimmt). Die tensorielle Verknpüfung zwischen Operator und Vektorfeld wurde früher manchmal auch als Vektor-Gradient bezeichnet. Bei den tensoriellen Operanden (zweiter und höherer Stufe) tritt die Schwierigkeit hinzu, daß der "Nabla-Vektor" nur mit den Links-Vektoren des Tensors verknüpft werden kann, während die Differentiationen sich wohl i.a. auf alle vektoriellen Faktoren (via Produktregel) erstrecken müßten. Wir brauchen das aber sicher nicht bis ans Ende der Welt zu verallgemeinern.

Formelausdrücke kann ich erst mal nicht teXten (mein Problem hatte ich schon mal erwähnt), ist m. E. auch nicht unbedingt nötig, denn die Integral-Darstellung der Divergenz z. B. findet sich doch in der Literatur. Besonders schön finde ich die bei H.-J. Korsch: Mathematische Ergänzungen zur Einführung in die Physik (3. Aufl.), Binomi Verlag 2004, dort Gl.(9.105) auf S. 239. Um den Operator-Charakter zu verdeutlichen, sollte man aber das vektorielle Flächenelement direkt hinter das Integralzeichen schreiben.

Ja, vielleicht sollte ich mich endlich bei WP registrieren, evtl. melde ich mich auch mal auf Deiner Diskussionsseite. Nochmal schöne Grüße, vorerst wieder von WMbrummochs.dresden ----89.199.234.94 23:31, 2. Jun. 2012 (CEST)

Dazu muß ich ergänzen, daß in dem soeben (nicht ganz zufällig) aufgesuchten Artikel "Gradient (Mathematik)", insbesondere Abschnitt Vektorgradient, sowie der Diskussionsseite dazu, wesentliches aus meinem Text von gestern schon mal formuliert worden war - das war 2006! Aber ich stolpere immer wieder über die Gleichsetzungen (vielleicht besser: Identifizierungen) Vektor = Koordinatenvektor/Tensor = Koordinatenmatrix, dort ist natürlich dann auch der Vektorgradient des Ortsvektors eine Einheitsmatrix (die man m.E. vom Einheitstensor zweiter Stufe unterscheiden sollte). Mit sonntäglichen Grüßen WMbrummochs.dresden ----89.199.202.40 17:11, 3. Jun. 2012 (CEST)

„ähnlichkeit zu einem Vektor“

Diese Formulierung suggerierte, dass der Nabla-Operator kein Vektor wäre, ihn als Element eines gewissen Vektorraums aufzufassen ist aber wirklich völlig unproblematisch, kritisch sind ja erst die „Multiplikationen“, die jedoch im Vektorbegriff nicht für jeden enthalten sind. Habe eine andere Formulierung eingeführt, die mir aber auch nicht recht gefällt, sie ist sehr schwammig und „Größe“ klingt zu physikalisch. Bessere Vorschläge? --Chricho ¹ ² 15:06, 13. Apr. 2012 (CEST)

Ich denke, dass das dort vor allem so stand für die Physiker stand. Um ihnen klarzumachen, dass $\nabla \not \in \mathbb {R} ^{3}$. Diese Information sollte auf jeden Fall erhalten bleiben und auch für jemanden verständlich rüberkommen, der mit formalen Vektorräumen nicht viel anfangen kann. Wenn „Größe“ Dir zu physikalisch ist, wie wäre es mit „die formale Ähnlichkeit zu Vektoren des ℝ³“? Ist aber auch nicht sonderlich toll.. -- pberndt 15:23, 13. Apr. 2012 (CEST)

Wie wäre es mit "Vektoren des euklidischen Raums"? --Digamma (Diskussion) 14:22, 20. Apr. 2012 (CEST)

Im dreidimensionalen Raum

In der Gleichung: rot V = ∇ x V

Sollten die x, y und z Komponente von V nicht mit V_x, V_y und V_z bezeichnet werden. Dies impliziert nämlich, dass die partiellen Ableitungen von V gemeint sind, gemeint sind aber nur die Komponenten!!!

Wäre es nämlich die partielle Ableitungen würde egal für welche Funktion: rot V = ∇ x V = 0 gelten

Dies tritt ja aber nur für rot (∇V) = ∇ x ∇V ein.

Deswegen habe ich die Komponenten mit V_1, V_2 und V_3 bezeichnet. Siehe Abschnitt "Alte Diskussion", da wird das selbe bemängelt.

Genauso die Gleichung zur Divergenz darüber. Lustigerweise steht oben sogar:

Sei $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ nun eine offene Teilmenge, $f\colon D\to \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion und ${\vec {V}}=(V_{1},V_{2},V_{3})^{\top }\colon D\to \mathbb {R} ^{3}$ ein differnzierbares Vektorfeld.

--Verrain 1:17, 25. Mai 2012 (CEST)

V_x passt doch als Komponente, die Kurzschreibweise für die Ableitung nach x ist d_x V. --84.56.233.30 01:16, 25. Mai 2012 (CEST)

Laut Fichtenholz G.M. Seite 352 ist u_x eine Bezeichnung für die partielle Ableitung von u nach x. In meinen Analysis und DGL Vorlesungen ist es auch Gang und Gebe dies so abzukürzen. Die Bezeichnung V_x für die Komponente führte zu großer Verwirrung, als die Rechenregen rot (∇V) = ∇ x ∇V = 0 bewiesen werden sollte, da man genau in dem Fall dann nämlich V_x für die partielle Ableitung schreibt. V_x als Bezeichnung für die Komponente erweckt den Anschein, dass rot egal mit welchem Vektor immer 0 ergibt, ergibt es aber nur, wenn φ = ∇V.

--Verrain 1:33, 25. Mai 2012 (CEST)

Das ist leider uneinheitlich. Wenn man im dreidimensionalen Raum die Koordinaten mit x, y und z bezeichnet, dann ist es auch üblich, die Komponenten eines Vektors V mit $V_{x}$, $V_{y}$ und $V_{z}$ zu bezeichnen.

Umgekehrt, wenn die Koordinaten mit $x_{1},x_{2},x_{3}$ bezeichnet werden, dann werden auch die partiellen Ableitungen einer Funktion f, wenn man nicht die Schreibweise ${\tfrac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial f}{\partial x_{1}}}$ benutzt, mit $f_{1}$, $f_{2}$, $f_{3}$ oder $f_{x_{1}},f_{x_{2}},f_{x_{3}}$ bezeichnet.

Bei Vektorfelder werden die Indizes, die die Komponente bezeichnen von den Indizes, die die Ableitung bezeichnen üblicherweise durch Kommas getrennt, also im ersten Fall z. B. die Ableitung der x-Komponente nach y mit

${\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}=V_{x,y}$

in der zweiten Schreibweise mit

${\frac {\partial V_{1}}{\partial x_{2}}}=V_{1,2}$

Eine Schreibweise, bei der einerseits die Komponenten durchnummeriert werden, die Koordinaten aber mit x, y und z bezeichnet werden und partielle Ableitungen von Vektorkomponenten entsprechend mit

${\frac {\partial V_{1}}{\partial y}}$ oder $V_{1,y},$

habe ich noch nie gesehen.

Der Artikel benutzt im allgemeinen Fall die Durchnummerierung der Koordinaten, also $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$. Für den dreidimensionalen Fall werden die Koordinaen hingegen anwenderfreundlicher mit x, y und z bezeichnet.

--Digamma (Diskussion) 08:08, 25. Mai 2012 (CEST)

Da die Komponenten in dem Abschnitt oben definiert werden, sollte das ja aber kein sonderlich großes Problem sein. Ich finde das zwar so jetzt auch untypisch, aber verständlich ist's mMn. -- pberndt 09:23, 25. Mai 2012 (CEST)

Kontinuumsmechanik

Wenn ich das:

$\operatorname {grad} {\vec {V}}={\vec {V}}\otimes {\vec {\nabla }}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x_{j}}}\otimes {\vec {e}}_{j}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial V_{i}}{\partial x_{j}}}{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial V_{1}}{\partial y}}&{\frac {\partial V_{1}}{\partial z}}\\{\frac {\partial V_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial V_{2}}{\partial y}}&{\frac {\partial V_{2}}{\partial z}}\\{\frac {\partial V_{3}}{\partial x}}&{\frac {\partial V_{3}}{\partial y}}&{\frac {\partial V_{3}}{\partial z}}\end{pmatrix}}$

lese, bekomme ich Bauchschmerzen. Ich kenne es nur so, dass ein Differentialoperator auf das wirkt, was rechts von ihm steht. Wenn der Nabla-Operator auf das Vektorfeld ${\vec {V}}$ wirken soll, dann muss dieses also rechts von ihm stehen. Bei "${\vec {V}}\otimes {\vec {\nabla }}$" steht das Vektorfeld aber links davon. Wird das wirklich in der Kontinuumsmechanik so verwendet? --Digamma (Diskussion) 17:17, 7. Jan. 2015 (CET)

Einen entsprechenden Hinweis hatte ich dem Ersteller schon auf die Disk geschrieben. Einfachste Lösung wäre m.E. das ${\vec {V}}\otimes {\vec {\nabla }}$ einfach aus der Gleichung zu streichen. --Dogbert66 (Diskussion) 21:20, 7. Jan. 2015 (CET)

Ja. Aber dann hat es nichts mehr mit dem Nabla-Operator zu tun, dem Thema dieses Artikels. --Digamma (Diskussion) 10:25, 8. Jan. 2015 (CET)

H. Altenbach (2012), S. 43 benutzt den Nabla-Operator in "Eurem" Sinn: $\nabla \otimes {\vec {v}}={\vec {e}}_{i}\otimes \partial /\partial x_{i}{\vec {v}}$ und nennt das Gradient. Bei ihm ist aber auch auf S. 30 das Frobenius-Skalarprodukt von Tensoren als $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =Spur(\mathbf {A\cdot B} )$ definiert, was mit Wikipedia kollidiert. Da muss man erstmal über den Divergenzsatz bis zum Prinzip von d'Alembert alle Gleichungen prüfen. Oder wie soll man damit umgehen? Skurrile Definitionen einfach übernehmen ($\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =Spur(\mathbf {A\cdot B} )$ oder $grad({\vec {v}})={\vec {v}}\otimes \nabla$) oder die Gleichungen anpassen, so dass sie konsistent mit Wikipedia sind? Wäre das Theoriefindung? Altenbach (2012) ist ein Standardwerk! Die Kontinuumsmechanik ist noch nicht so weit ausformuliert, wie ich jetzt erst feststelle :/ --Alva2004 (Diskussion) 11:06, 8. Jan. 2015 (CET)

Also ich würde nicht behaupten wollen, dass die Kontinuumsmechanik eine andere Mathematik verwendet, als der Rest der Welt. Die Altenbach-Notation $\nabla \otimes {\vec {v}}$ ist aber sicher der (gibts da eigentlich eine Quelle??) unkorrekten Notation ${\vec {v}}\otimes \nabla$ vorzuziehen. Bei Deiner Formel zum Frobenius-Produkt muss es sich um zwei verschiedene Produkte $\cdot$ handeln, sonst ergibt das keinen Sinn; und wenn das so ist, verstehe ich nicht, was das mit der hiesigen Frage zu tun hat. --Dogbert66 (Diskussion) 13:24, 8. Jan. 2015 (CET)

Als Quelle könnte ich Dir meine Dissertation anbieten ;) Die - Deiner Meinung nach - unkorrekte Notation wurde auch nur zur Definition der Differentialoperatoren Divergenz, Rotation und Gradienten von Skalaren, Vektoren und Tensoren bentuzt (das geht sehr elegant, wenn man zulässt, dass der Operator im Produkt auch nach links wirken kann) und nicht zum Rechnen. In G. Strassacker, R. Süße: Rotation, Divergenz und Gradient. Stpringer, 2012, ISBN 978-3-8351-0239-2.  ist wie in den Euler-Gleichungen $\operatorname {grad} ({\vec {a}})={\vec {a}}\cdot \nabla =({\vec {a}}\operatorname {grad} )$. Letzteres ließ mich vom Glauben abfallen! Bei der Divergenz gibt es ein ähnliches Kuddelmuddel, was mich zusammen mit den Ungereimtheiten beim Skalarprodukt zur Einsicht bringt, dass die Definitionen und Notationen der Operatoren nicht einheitlich sind. Jeder Autor muss da selbst für Konsistenz sorgen. Das sollte imho im Artikel auch erwähnt werden und nicht so getan werden, als gäbe es da nur die eine Notation.--Alva2004 (Diskussion) 18:19, 8. Jan. 2015 (CET)

Vierte Meinung: Die Schreibweise mit dem Operator hinter dem Operanden erinnert an die Umgekehrte polnische Notation
Die Schreibweise mit dem Operator hinter dem Operanden auf die er wirkt, sehe ich hier zum ersten Mal. Die Vorledsungen zu klassischer Mechanik, Elektrodynamik, Thermodynamik und Quantenmechanik die ich genossen habe, stellten alle Nabla und Laplace nach vorne. Auch in den begleitenden Lehrbüchern und wenn mir später DGLn mit Nabla über den Weg gelaufen sind, war das einheitlich so. Aber ich bin eher experimentell orientiert und "ignoriere" große Teile der theoretischen Physik. Wenn es die Diskussion voranbringt, kann ich bei den hiesigen Theorie-Dozenten nachfragen, ob und in welchen Bereichen sie die umgekehrte Schreibweise kennen.
Bei Notation gibt es grundsätzlich kein falsch und richtig, sondern nur ein üblich und unüblich. Wenn eine unübliche Schreibweise in der Fachliteratur anzutreffen ist, dann sollte sich das auch im Artikel wiederfinden -- und klar als solche benannt werden.---<)kmk(>- (Diskussion) 17:01, 1. Mär. 2015 (CET)

Vektor und Matrix-Schreibweise

Hallo, nachdem HilberTraum den Gradienten des Vektorfelds durch die Jacobi-Matrix ersetzt hat, stellt sich mir die Frage, ob die Notation so bleiben kann? In der Vektorrechnung wird das Skalarprodukt mit einem Punkt wie in ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ geschrieben und entsprechend steht im Produkt des Vektorgradienten und einem Vektor ebenfalls ein Punkt $\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {H}}$, weil es eigentlich ein Tensorprodukt ist. In der Matrix-Schreibweise wird das aber normalerweise so geschrieben: ${\vec {u}}^{\top }{\vec {v}}$ bzw. $J_{\vec {v}}{\vec {H}}$ mit den übereinstimmenden Komponenten der Matrix bzw. Tensors $J_{{\vec {v}}ij}=\operatorname {grad} ({\vec {v}})_{ij},\;i,j=1,\ldots n$. Diese Ungereimtheit zieht sich - nicht erst seit meinen Beiträgen - durch den ganzen Artikel. Auf der Seite Matrix (Mathematik) kommt sowohl $v^{\top }Aw$ als auch $v^{\top }\cdot A\cdot w$ vor. Ist das also kein Problem oder sollte da aufgeräumt werden? --Alva2004 (Diskussion) 09:24, 5. Jan. 2016 (CET)

Ja, dass es da ziemlich durcheinander geht, ist mir auch schon aufgefallen, auch wenn ich mir nicht alle Formeln genau angeschaut habe. Ich denke, das Problem geht schon viel früher los, nämlich bei „Er kann dabei sowohl als Spalten-Vektor […] als auch als Zeilen-Vektor […] auftreten.“ Könnte man sich nicht da darauf festlegen, dass alle Vektoren Spaltenvektoren sind, und dafür überall auf Matrixmultiplikationen (und damit auf das Transponieren) verzichten? Also so, dass $\cdot$ immer das Skalarprodukt ist und $\otimes$ immer das Tensorprodukt. -- HilberTraum (d, m) 13:59, 5. Jan. 2016 (CET)

Ok, ich sehe gerade, dass sich bereits der Einleitungssatz auf Vektor- und Tensoranalysis bezieht. Wenn man mit Vektoren aus einem euklidischen Vektorraum rechnet, dann gibt es für die gar keine Transposition sondern nur Punkt- und Strichrechnung. Das dyadische Produkt liefert dann Tensoren und nicht Matrizen, d.h. den Vektorgradient und nicht die Jacobi-Matrix... Aber wie ist das in der ART in nicht euklidischen Vektorräumen? Darauf ziehlt ja die Bemerkung mit den Zeilen- und Spaltenvektoren ab!? Ich hätte kein Problem damit, nicht euklidische Vektorräume in einen eigenen Abschnitt abzuhandeln und den ganzen Artikel, zwecks Anschaulichkeit und Lesbarkeit, auf drei dimensionale euklidische Vektorräume zu beziehen! Auch n-dimensionale Räume könnten in einem Abschnitt kurz und bündig abgefackelt werden, anstatt das umgekehrt wie bisher mit dem drei dimensonalen zu tun. Ich weiß: Mathematiker lieben n-dimensionale Verallgemeinerung, aber die Anschaulichkeit sinkt damit auf null, die Notation bläht sich auf, und WP soll doch anschaulich und leicht lesbar sein! --Alva2004 (Diskussion) 16:13, 6. Jan. 2016 (CET)