Diskussion:Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre

Zeichen für leere Menge etc.

Das Zeichen für die leere Menge gehört nicht zur Prädikatenlogik und müsste erklärt werden nach Axiom 2. Gleiches gilt für die vom Himmel fallenden Funktionen und die Formel "F Funktion". Wann ist die NBG entstanden? Wer hat die moderne Fassung formuliert? Primär- und Sekundärliteratur wäre interessant (wie im Artikel ZF) Dr. W. Neumaier

Zeichen für leere Menge etc. habe ich mal eingeführt, Funktion noch nicht; habe lediglich geordnetes Paar entsprechend verlinkt.--Hagman 21:38, 19. Jan. 2007 (CET)

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Prädikat "Funktion"

Sollte man anstelle von /zusätzlich zu "rechtseindeutige Klasse von Paaren" vielleicht so etwas wie $F{\mbox{ Funktion }}:\leftrightarrow \forall p:{\bigl (}p\in F\rightarrow \exists x,y:p=(x,y){\bigr )}\;\land \;\forall x,y,z:{\bigl (}{\bigl (}(x,y)\in F\land (x,z)\in F{\bigr )}\rightarrow y=z{\bigr )}$ schreiben? Das würde es für den interessierten Laien wohl leider nicht viel verständlicher machen, aber die Stenofassung "rechtseindeutige Klasse" ist möglicherweise ebenfalls nicht Anfänger-kompatibel... --Hagman 21:18, 7. Feb. 2007 (CET)

Ja, denn ein großer Schwachpunkt der Formel im Artikel ist, dass hier die Formel "F Funktion" orakelhaft vom Himmel fällt. In einem deduktiven System darf so etwas nicht sein. Das ist unbedingt zu ändern. Im Artikel wird nur definiert, dass eine Funktion eine rechtseindeutige Klasse sein soll, aber es bleibt undefiniert, was die Formel "F Funktion" bedeuten soll! Da denkt man unwillkürlich $F\in {\mbox{ Funktion }}$, was in NBG natürlich nicht stimmt. Dein Vorschlag füllt die Lücke. Aber formalistisch ist er; das ist aber der ganze Artikel und lässt sich nicht ändern. Um eine lesbare Fassung zu erhalten, wäre es sinnvoll, die Axiome informell voranzustellen und dann in einem Extra-Abschnitt erst zu formalisieren. Dann kann man Deinen Vorschlag so einbauen. Ich meine, selbst für Mathematiker, die sich über NBG ein Bild machen wollen, wäre ein rein informeller Vorspann hilfreich. Ich würde also die verbalen Zeilen (mit Punkt) vorwegnehmen in einem Abschnitt "NBG-Axiome informell" und den bisherigen Abschnitt "NBG-Axiome formalisiert" überschreiben, wobei die verbalen Zeilen dort nochmals wiederholt werden. Was hältst Du davon? --Wilfried Neumaier 08:05, 6. Mär. 2008 (CET)

Im obigen Formulierungsvorschlag werden ohne Definition geordnete Paare vorausgesetzt. Bernays und Gödel gebrauchten die Definition von Kuratowski, die hier also einzufügen ist. Ich baue beides in der Artikel ein, damit auch diese Lücke geschlossen ist.--Wilfried Neumaier 13:39, 2. Aug. 2010 (CEST)

${\mbox{ Funktion }}$ ist eigentlich ein definiertes Prädikat, so wie $Mg$. Deshalb sollte man eher $\operatorname {Funktion} (F)$ schreiben oder $\operatorname {Funktion} F$als $F{\mbox{ Funktion }}$. --Digamma (Diskussion) 18:40, 17. Jun. 2016 (CEST)

Verbesserungen

Der Artikel in der franz. WP ist ziemlich gut. Er sollte als Vorbild für Verbesserungen an diesem Artikel dienen. --Phrood 21:40, 28. Aug. 2007 (CEST)

Ich habe auf meinem Computer Leseprobleme beim frz. Artikel. Hier erscheinen bei mir viele Zeichen nur als leeres Quadrätchen.--Wilfried Neumaier 09:14, 30. Jul. 2010 (CEST)

Dann hast du wohl ein Unicode-Schriftarten-Problem. Der Gang dort, um in anderen Punkten angesprochene Probleme anzusprechen, ist im Wesentlichen wohl

• Es gibt nur eine Sorte von Objekten, nämlich die Klassen (nur der suggestiven Schreibweise halber teils mit großen, teils mit kleinen Buchstaben geschrieben).
• "x ist eine Menge" $\iff \exists C\colon x\in C$ und "x ist echte Klasse" $\iff \forall C\colon x\not \in C$
• Aus den Axiomen folgt die Existenz einer Menge (etwa der leeren) und einer echten Klasse (per Russel), insb. der Klasse V aller Mengen
• Es wird als Abkürzung eingeführt $\forall x^{V}:\Phi$ für $\forall x:(\exists C:x\in C)\to \Phi$ und $\exists x^{V}:\Phi$ für $\exists x:(\exists C:x\in C)\land \Phi$ (ähnlich wie unten angedeutet)

Der Hauptunterschied zu unserer Seite in der Darstellung ist also, dass anstelle eines Prädikats "ist Menge" diese modifizierten QUantoren benutzt werden, was quasi einen zweite Variablentyp simuliert.--Hagman 22:00, 1. Aug. 2010 (CEST)

Mit Unicode-Problemen habe ich mich noch nicht befasst; keine Ahnung wie man sie behebt. Danke, dass Du mir das Lesen abgenommen hast. Wie sollen wir im Artikel vorgehen? Wäre mein Erklärungsvorschlag mit den Formeln aus dem nächsten Punkt passabel? Mit ihm würde jedenfalls der Artikel nicht allzu kompliziert. Wenn Du ein Ja signalisierst, würde ich eine entsprechende Einleitung zu den Axiomen formulieren mit einer Bemerkung zur modernen Fassung. Kennst Du ein zitierbares Buch, das so ähnlich wie der Artikel vorgeht?--Wilfried Neumaier 06:42, 2. Aug. 2010 (CEST)

Beste moderne Literatur (Mendelson) ist nachgetragen.--Wilfried Neumaier 15:24, 2. Aug. 2010 (CEST)

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zweierlei Variablen?

Im Artikel werden die Axiome mit zweierlei Variablen für Mengen und für Klassen formuliert. Eigentlich gibt es so etwas in einer Prädikatenlogik erster Stufe nicht. Man sollte daher angeben, was $\forall x\colon A(x)$ genau formal bedeutet im Gegensatz zu $\forall X\colon A(X)$.--Wilfried Neumaier 15:05, 29. Jul. 2010 (CEST)

Ich weiß nicht, woher die hier gebotene Formalisierung stammt und wie in der Quelle $\forall x\colon A(x)$ und $\exists x\colon A(x)$ erklärt werden. Ich vermute, es sind abkürzende Schreibweisen für $\forall X\colon (Mg(X)\rightarrow A(X))$ und $\exists X\colon (Mg(X)\land A(X))$. Ich bin mir aber nicht sicher, ob das gemeint ist, weil Bernays und Gödel beide ursprünglich zweierlei Variablen hatten, also eine mehrsortige Prädikatenlogik. Aber wenn das gemeint ist, sollte das auch im Artikel so stehen.--Wilfried Neumaier 09:12, 30. Jul. 2010 (CEST)

Ich kenne Bernays und Gödels Originalarbeiten, aber habe mich nicht mit neueren Aufarbeitungen befasst. Eine solche liegt hier der Formalisierung zugrunde. Das Axiomensystem im Artikel ist wesentlich einfacher als die Originalfassungen von Bernays und Gödel, die etwa 20 Axiome haben und ungenießbar sind. Ich plädiere daher auch für eine gute, zitierbare neuere Fassung, die bei grundlegenden Fragen nicht schummelt.--Wilfried Neumaier 10:29, 30. Jul. 2010 (CEST)

Nach ersten Recherchen (Oberschelp, englischer Artikel) hat NBG tatsächlich zweierlei Variablen und erst die Variante von Morse-Kelley MK nur eine Variablensorte. Das Problem scheint jedenfalls nicht ganz einfach zu sein.--Wilfried Neumaier 19:59, 30. Jul. 2010 (CEST)

MK ist ziemlich anders als NBG und nicht gleichwertig. Es könnte aber sein, dass es eine NBG-Variante gibt, die von MK nur die prädikatenlogische Darstellung mit einer Variablen-Sorte übernimmt und die NBG-Axiome entsprechend abändert. Eine solche Darstellung wäre jedenfalls nützlich. Denn man kann in Wiki bis jetzt noch nicht auf eine mehrsortige Prädikatenlogik verweisen. Sie ist syntaktisch deutlich komplizierter als die gängige Prädikatenlogik.--Wilfried Neumaier 15:46, 31. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe einen Überarbeitungsbaustein gesetzt, weil für einen guten Mathe-Artikel noch Grundlegendes fehlt. Ich hoffe, dass er bald wieder beseitigt werden kann und jemand daran mitarbeitet, dem Artikel eine Form zu geben, die zum ZFC-Artikel ebenbürtig ist.--Wilfried Neumaier 10:24, 30. Jul. 2010 (CEST)--Wilfried Neumaier 13:00, 30. Jul. 2010 (CEST)

Den Überarbeitungsbaustein habe ich entfernt, nachdem ich den Artikel überarbeitet hatte gemäß dem vorigen Punkt. Zugleich habe ich auch die Vorgeschichte nach Oberschelp eingefügt, von deren Richtigkeit ich mich schon früher überzeugt habe. Es fehlt noch eine zitierbare moderne Literatur und die Funktionserklärung nach Deinem Vorschlag oben.--Wilfried Neumaier 11:23, 2. Aug. 2010 (CEST)

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Klasse aller Klassen?

Im Text stand bisher der problematische Satz:

Eine „Klasse aller Klassen, welche sich nicht selbst enthalten“ lässt sich dagegen mit dem Komprehensionsschema (und auch sonst) nicht bilden.

Da Mengen aber Klassen sind, nämlich nicht-echte, kann man diese Klasse schon bilden und sie ist identisch mit der Klasse aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Siehe auch die Diskussion: Klasse (Mengenlehre)#Klasse aller Klassen?--Wilfried Neumaier 23:43, 29. Jul. 2010 (CEST)

Es lässt sich laut

Komprehensionsschema: Zu jeder Eigenschaft $\varphi$ existiert die Klasse aller Mengen, auf die $\varphi$ zutrifft.

die Klasse aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, bilden. Ich sehe nicht, wie sich eine Klasse aller Klassen, welche sich nicht selbst enthalten, mit diesem Axiomenschema bilden lassen soll. Da per Definition eine Klasse in keiner Klasse enthalten ist, insb. nicht in sich selbst, müsste jede Klasse in der Klasse aller sich nicht selbst enthaltenden Klassen enthalten sein, insb. müsste diese Klasse in sich selbst enthalten sein - Blödsinn.--Hagman 22:16, 1. Aug. 2010 (CEST)

OK. Jetzt seh ich, was gemeint ist. Es geht nicht um das Bilden der Klasse, sondern um die Existenz der Klasse. Ich habe mich vor allem an der Bemerkung gestoßen "... (und auch sonst) nicht bilden". Denn diese Klasse ist ja als nicht existentes Objekt genauso bildbar wie in ZF (laut Klassen-Diskussion). Sie enthält auch die Klasse aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, aber als echte existente Teilklasse. Sie ist nicht identisch, was ich oben fälschlich gemeint hatte, das wäre Blödsinn. Ich stelle den Text wieder in den Artikel, unmissverständlich umformuliert.--Wilfried Neumaier 06:10, 2. Aug. 2010 (CEST)

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Unendlichkeitsaxiom

Gefordert wird nur eine Klasse, die unendlich viele Mengen enthält. Müsste man nicht fordern, dass eine undenliche Menge existiert? Sonst ist doch $V_{\omega }$ schon ein Modell, oder sehe ich das falsch? -- Digamma 22:24, 7. Dez. 2010 (CET)

Ich würde auch sagen, dass Menge gemeint sein müsste. Aus mehreren, zugegebenermaßen nicht 100%ig überzeugenden, Gründen:

1. In den anderssprachigen Artikeln ist ebenfalls von Mengen die Rede.
2. Die Klasse $\mathbb {N}$ ist ein mögliches $X$ im Axiom (mit von-Neumann-Numeralen als Elemente). Zusammen mit $\bigcup \mathbb {N} =\mathbb {N}$ könnte man vermuten, dass es möglich wäre, die Mengeneigenschaft von $\mathbb {N}$ unter Zuhilfenahme der anderen Axiome nachzuweisen. Wenn das gelänge, wäre das Axiom zumindest nicht falsch; höchstens sinnlos umständlich. Das ist mir aber auch nach stundenlangen Versuchen nicht gelungen. Natürlich ist das kein Beweis, aber naja...

--Daniel5Ko 01:22, 8. Dez. 2010 (CET)

Ich habe mal in ein paar Bücher geschaut (so gut das mit Google books eben geht... :/). Überall wird das Unendlichkeitsaxiom von NBG mit Mengen formuliert. --Daniel5Ko 19:00, 8. Dez. 2010 (CET)

Dann ändere ich das mal. -- Digamma 22:06, 8. Dez. 2010 (CET)

K. --Daniel5Ko 00:49, 9. Dez. 2010 (CET)

endliches Axiomensystem

Die Vorformen von NBG haben ein endliches Axiomensystem ohne Schemata (Neumann 23 Axiome, Bernays 20 Axiome, Gödel 18 Axiome). Das ist ja bekanntlich ein großer Unterschied zu ZFC. Das Thema sollte deshalb im Artikel irgendwo detaillierter zur Sprache kommen. Dort wird allerdings eine moderne Aufarbeitung geboten, die gerade kein endliches Axiomensystem mehr hat, sondern Schemata benützt, vermutlich, um eine Annäherung zu ZF zu erreichen. Kennt sich jemand hier genauer aus oder kann vernünftige Literaturhinweise geben. Ich habe nur die Originalwerke angesehen.--Wilfried Neumaier 15:58, 29. Aug. 2011 (CEST)

Das einzige Schema ist das Komprehensionsschema. Und dafür gelten die alten Beweise (Class Theorem, wie es Bernays 1930 genannt hat) weiter. Man kann ähnlich wie in NF die Anzahl der Axiome auf 6 Klassenexistenzaxiome, das Paarmengen- und das Extensionalitätsaxiom drücken, wenn man in der Prädikatenlogik 1. Stufe nur mit dem Element-Prädikat, dem Sheffer-Strich, einem Quantor arbeitet und die Gleichheit durch Definition, wie schon bei Bernays-Fraenkel ausführlich diskutiert, in die Sprache von NGB einführt. --KaliNala (Diskussion) 18:24, 14. Jun. 2016 (CEST)

Vereinigung

Im Artikel ist nur die Vereinigung von Klassen definiert, die dann eine Klasse ist. Es ist mir schleierhaft, wieso Vereinigung von Mengen eine Menge ist.

Im englischen Artikel ist nur die Vereinigung von Mengen definiert, genau so wie in „Einführung in die Mengenlehre“ vom Deiser.

Viele Grüße -- Waldelefant 03:52, 30. Dez. 2011 (CET)

Das ist in der Tat eigenartig. Daß die Vereinigung einer Klasse von Mengen eine Klasse ist, folgt doch bereits aus dem Komprehensionsschema, oder nicht? --Mulk 14:31, 28. Jan. 2012 (CET)

Auflösung der Widersprüche der naiven Mengenlehre

Aus dem Artikel: „Bildet man nach dem Komprehensionsschema die Klasse [R] aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten ... so ist R keine Menge, denn sonst ergäbe sich der übliche Widerspruch ...“ Um aber zu begründen, daß ein Widerspruch nicht vorliegt, kann man nicht voraussetzen, daß es keine Widersprüche gibt (und R deshalb keine Menge sein kann). Das ist ein zirkuläres Argument.

Wäre es nicht sinnvoller, festzustellen, daß sich aus den Axiomen schlicht nicht herleiten läßt, daß R eine Menge ist? --Mulk 14:22, 28. Jan. 2012 (CET)

Zum ersten: Es ist kein zirkuläres Argument, sondern ein indirekter Beweis!

Zum zweiten: Würde man beweisen können, dass sich nicht herleiten lässt, dass R eine Menge ist, dann wäre das ein Beweis der Widerspruchsfreiheit!--Wilfried Neumaier 19:28, 28. Jan. 2012 (CET)

Mir ist klar, daß es in der Mengenlehre üblich ist, die Echtheit einer Klasse dadurch zu zeigen, daß man die Annahme, die Klasse wäre eine Menge, zum Widerspruch führt. Auch ist mir klar, daß man innerhalb von NBG nicht die Widerspruchsfreiheit von NBG zeigen kann. Das ist auch beides nicht der Punkt. Es geht doch darum, zu begründen, warum in NBG nicht dasselbe Problem auftritt wie in der naiven Mengenlehre. Der Grund dafür liegt nicht darin, daß die Annahme, R wäre eine Menge, das Falsum herleitbar macht (das ist in der naiven Mengenlehre genauso!), sondern darin, daß die Axiome darauf hin gebaut sind, daß (hoffentlich) nicht herleitbar ist, daß R eine Menge ist. --Mulk 19:47, 28. Jan. 2012 (CET)

Das ist in der naiven Mengenlehre eben nicht genauso: Dort ist R eine Menge, so dass aus den naiven Axiomen (Freges Abstraktion) ein Widerspruch folgt. Ohne Annahme folgt hier der Widerspruch!!!--Wilfried Neumaier 22:04, 29. Jan. 2012 (CET)

„R ist keine Menge“ ist dieselbe Aussage wie „(R ist Menge) → ⊥“. Wenn ⊥ ohne Annahmen herleitbar ist, dann folgt diese Aussage also bereits minimallogisch mit einfacher Anwendung der Implikationseinführungsregel (im natürlichen Schließen; in äquivalenten Systemen geht es analog). Folglich ist in der naiven Mengenlehre die Aussage „R ist keine Menge“ herleitbar und damit R keine Menge. Ist damit der Widerspruch etwa aufgelöst? --Mulk 18:16, 8. Feb. 2012 (CET)

Du verwechselst Metasprache und logische Sprache. In der naiven Mengenlehre werden alle Klassen (auch R) als Mengen betrachtet und zwar metasprachlich. Eine Aussage "R ist Menge" gibt es dort nicht, da es keine syntaktische korrekte Formel ist, z.B. in Freges Kalkül. Daher kann ich dort auch nichts darüber beweisen. Der Widerspruch ergibt sich hier direkt mit der korrekten Formel für R. In NBG ist aber "R ist Menge" eine syntaktisch korrekte Formel, so dass man hier das Gegenteil indirekt beweisen kann.--Wilfried Neumaier 23:41, 8. Feb. 2012 (CET)

Wahrscheinlich stört dich nur die verbale Überschrift "Auflösung der Widersprüche...". Mich auch. Sie ist natürlich unglücklich gewählt. "Vermeidung der Widersprüche..." wäre vielleicht besser. Dahin würde ich tendieren.--Wilfried Neumaier 07:52, 11. Feb. 2012 (CET)

Ich habe mich wohl ziemlich konfus ausgedrückt... Und Du hast natürlich recht, daß man die Aussage „R ist Menge“ in der naiven Mengenlehre gar nicht direkt formulieren kann (obwohl man sie als „exists m. R = m“ wohl ausdrücken könnte). Aber ich versuche es mal anders herum, ganz ohne Rückgriff auf die naive Mengenlehre: Die Tatsache, daß man in NBG die Aussage „R ist keine Menge“ herleiten kann, hilft einem nicht, um zu erklären, daß in NBG nicht die Russelsche Antinomie auftritt. Denn angenommen, sie würde auftreten (d.h., angenommen, „R ist eine Menge“ wäre herleitbar), dann wäre die Aussage „R ist keine Menge“ erst recht herleitbar (wahlweise minimallogisch oder mit ex falso quodlibet). Folglich ist ihre Herleitbarkeit nicht geeignet, die Freiheit des Systems von der Russelschen Antinomie zu erklären.

Oder, um es in anderen Worten zu erklären: Die Aussage „R ist keine Menge“ ist nichts anderes als die Aussage „(R ist Menge) → ⊥“ (lies: „Falls R eine Menge ist, ist dieses System widersprüchlich.“) Damit sagt NBG über sich selbst lediglich, daß nicht herleitbar sein darf, daß R eine Menge ist, nicht, daß es tatsächlich nicht herleitbar ist. --Mulk 17:26, 24. Feb. 2012 (CET)

Es geht nicht um die metalogische Frage, ob in NBG kein Widerspruch herleitbar ist. Das ist bekanntlich unlösbar und gehört auch nicht in den Artikel. Es geht vielmehr um eine logische Sache: Man kann die Russelsche Antinomie auf dem üblichen Weg, wie sie in der naiven Mengenlehre hergeleitet wird, nicht mehr herleiten. Das will der indirekte Beweis zeigen, denn dazu braucht man die Eigenschaft, dass R eine Menge ist. Diese naive Annahme der naiven Mengenlehre wird widerlegt. Damit weiß niemand mehr, wie man den Widerspruch herleiten könnte (Konjunktiv!). Der Beweis will doch nicht zeigen, dass sie nicht auf irgendeinem fiktiven Weg ableitbar ist.--Wilfried Neumaier 01:11, 26. Feb. 2012 (CET)

Gleichheitsprädikat

Im Text steht:

Moderne Fassungen der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre legen eine Prädikatenlogik erster Stufe mit Gleichheits- und Elementprädikat zugrunde. Ihre Variablen stehen im Allgemeinen für Klassen und werden als Großbuchstaben notiert. Für manche Überlegungen ist es günstiger, die Identität durch Definition einzuführen, also auf das Gleichheitsprädikat zu verzichten.

Was ist mit Gleichheitsprädikat gemeint? Und was damit, Identität durch Definition einzuführen? Ich kenne die Prädikatenlogik 1. Stufe eigentlich nur so, dass das Gleichheitszeichen schon Bestandteil der Syntax ist, aber kein eigenständiges zweistelliges Prädikatssymbol. --Digamma (Diskussion) 18:36, 17. Jun. 2016 (CEST)

Die Sache ist möglich, aber nicht ganz unproblematisch. Das Problem wurde in ZF schon diskutiert Diskussion:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#ZF-System ohne Gleichheit und das Ergebnis im Artikel festgehalten: Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#ZF-System ohne Gleichheit. Wenn man die Definition der Gleichheit in den Artikel aufnimmt, müsste es wie im ZF-Artikel mit Niveau geschehen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 18:58, 23. Jun. 2016 (CEST)

Danke. Das passt aber nicht so ganz zu dem oben von mir zitierten Satz, oder? Logische Gleichheit ist gerade etwas anderes als ein Gleichheitsprädikat. Wenn die Gleichheit schon Bestandteil der logischen Sprache ist, dann ist sie, anders als die Elementbeziehung, kein Prädikat. Wenn man hingegen die Gleichheit definiert, dann ist sie ein (wenn auch eliminierbares) Prädikat. Oder sehe ich das falsch. --Digamma (Diskussion) 19:29, 23. Jun. 2016 (CEST)

Ja, das passt nicht zum zitierten Satz. Mir gefällt er nicht. Ich würde den alten Zustand wieder herstellen und den Satz "Für manche Überlegungen..." streichen. Er ist so oder so verwaschen. Es bringt keine Vorteile von NBG ohne Gleichheit auszugehen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:31, 23. Jun. 2016 (CEST)

Dem würde ich mich anschließen. Gruß, --Digamma (Diskussion) 14:07, 24. Jun. 2016 (CEST)

Beim Stöbern in der Versionsgeschichte: Ein Teil von meiner Frage bzw. Kritik bezog sich auf den Begriff "Gleichheitsprädikat" in der Formulierung "mit Gleichheits- und Elementprädikat". Diese Formulierung wurde von dir, Wilfried Neumaier, mit diesem Edit eingefügt. --Digamma (Diskussion) 14:16, 24. Jun. 2016 (CEST)

OK: Man kann statt Gleichheits- (Prädikat) auch einfacher Gleichheit sagen. Ich korrigiere entsprechend.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 14:56, 24. Jun. 2016 (CEST)

Danke. Für mich dann erledigt. --Digamma (Diskussion) 15:04, 24. Jun. 2016 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 15:04, 24. Jun. 2016 (CEST)

Ok, einverstanden, wie es jetzt ist. NBG ohne Gleichheit ist für mich sowieso kein Thema, aber es muss dafür kein 2. Prädikat neben der Elementbeziehung eingeführt werden. --KaliNala (Diskussion) 16:17, 24. Jun. 2016 (CEST)