Diskussion:Nilpotente Matrix

Eigenwert

Zu diesem Absatz: Wenn eine Matrix $A$ nilpotent ist, wobei n die kleinste natürliche Zahl mit $A^{n}=0$ ist, dann...

• ist jeder Eigenwert selbst nilpotent: Aus $Av=\lambda v$ folgt $0=A^{n}v=\lambda ^{n}v$, und wegen $v\neq 0$ ist $\lambda ^{n}=0$. Für Matrizen über den reellen oder komplexen Zahlen folgt daraus, dass die Matrix nur den Eigenwert 0 haben kann.

Folgt aus der Form des char. Polynoms nicht sowieso, dass A (über jedem Körper) nur genau den Eigenwert 0 hat?!? -- Fabi0001 19:43, 13. Jul. 2007 (CEST)

Hab's jetzt mal entsprechend geändert. Fabi0001 12:21, 24. Aug. 2007 (CEST)

Die Invertierbarkeit von E-A könnte als Eigenschaft etwas besser erklärt werden. Ich finde das so sehr schwer nachvollziehbar. 80.141.210.98 14:55, 16. Jul. 2011 (CEST)

Charakteristisches Polynom der Nilpotenten Matrix?

Muss das charakteristische Polynom einer Nilpotenten Matrix nicht (-λ)^n sein? So wie es dasteht ist es auf jeden Fall falsch, man betrachte die 3x3-Nullmatrix.

Mein Fehler, das charakteristische polynom ist hier andersherum definiert. Wir hatten es als det(A-λE) definiert. Wo genau liegen da die Unterschiede (Abgesehen von den Vorzeichen?

mfg --StudMathBenni (Diskussion) 22:26, 21. Mai 2012 (CEST)

Ich denke, das wird manchmal so und manchmal anders herum definiert ohne tiefere Hintergedanken. Die Definition det(λE-A) hat den Vorteil, dass das Polynom immer normiert ist, also mit λ^n+... beginnt. -- HilberTraum (Diskussion) 22:35, 21. Mai 2012 (CEST)

Invertierbarkeit

"... ist nicht invertierbar, da alle ihrer Eigenwerte Null sind."

Wie folgt diese Erkenntnis denn direkt daraus, dass die Eigenwerte null sind? Wäre die bessere Begründung nicht, dass die Determinante null ist? (nicht signierter Beitrag von 130.75.157.208 (Diskussion) 15:33, 24. Jun. 2015 (CEST))

Der Kern ist Eigenraum zum Eigenwert 0. Kommt 0 unter den Eigenwerten tatsächlich vor, dann ist der zuhehörige Eigenraum -- also der Kern -- nichttrivial und die Matrix also nicht invertierbar.

Äquivalente Definitionen

Punkt 2: Es gibt ein $k\in \mathbb {N}$ mit $A^{k}=0$ und $A^{k-1}\neq 0$. Dann ist $A$ nilpotent mit dem Nilpotenzgrad $k$.

Laut dieser Defintion wäre aber die Nullmatrix nicht nilpotent, da es dort kein solches $k$ gibt ... was übersehe ich da?

(bzw. man könnte darüber streiten, ob $0^{0}=1$ gilt und somit auch die Nullmatrix die Definition mit dem Nilpotenzgrad $k=1$ erfüllt.)

--Ankh-Morpork (Diskussion) 19:19, 29. Mär. 2023 (CEST)