Diskussion:Normale Matrix

Nicht dass ich eine Ahnung von Mathe hätte, aber ich würde jemanden, der sie hat einfach mal darum bitten, die Aussage "...Normale Matrizen haben also die Eigenschaft, dass sie diagonalisierbar sind. Umgekehrt sind alle diagonalisierbaren Matrizen normal..." nochmals auf ihre Richtigkeit zu überprüfen. Einfach aus dem Grunde, dass ich hier eine Übungsaufgabe habe, in der ich eine diagonalisierbare aber nicht normale Matrix konstruieren soll, und ich mir gut vorstellen könnte, dass im zitierten Satz einfach nur das Wörtchen "nicht" vergessen wurde. Vielen Dank. Hab die Aufgabe inzwischen auch gemacht und ein Beispiel für eine diagonalisierbare aber nicht normale Matrix muesste sein, wenn mich nicht alles täuscht: ${\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}$ (nicht signierter Beitrag von 213.54.154.47 (Diskussion) 16:56, 8. Mai 2005)

Noch einmal zur Sicherheit: Der komplexe Spektralsatz sagt: Sei V endlich dimensionaler unitärer Raum und A aus End(V), dann ist A genau dann normal, wenn es eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren gibt. (was widerum (nur in diese Richtung) heißt, dass die Darstellungsmatrix von A diagonalisierbar ist. 84.170.244.239 23:03, 17. Jul 2006 (CEST)

Falls das eine Frage war: ja.--Gunther 23:19, 17. Jul 2006 (CEST)

Es gilt tatsächlich auch die Umkehrung. Eine unitär diagonalisierbare Matrix ist immer normal. Beweis: $U^{H}AU=D\Rightarrow U^{H}A^{H}U=D^{H}$ Da Diagonalmatrizen kommutieren: $D^{H}D=DD^{H}\Leftrightarrow U^{H}A^{H}AU=U^{H}AA^{H}U\Leftrightarrow A^{H}A=AA^{H}$ Das angegebene "Gegenbeispiel" ist nicht unitär diagonalosierbar, d.h. es gilt nur $T^{-1}AT=D$ mit $T^{-1}\neq T^{H}$. Außerdem steht auch oben im Spektralsatz: "genau dann wenn". Andreas --85.181.44.56 23:01, 20. Jul 2006 (CEST)

Beispiele

Also ich hätte gerne mal ein paar Beispiele für normale Matrizen? Kann man das einer Matrix irgendwie ansehen oder gibt es Kriterien, die es nahelegen, dass es sich um eine normale Matrix handelt?

Man sieht es einer Matrix nicht an, ob sie normal ist. Deshalb gibt es auch keine Beispiele im Artikel. --Stefan Birkner 23:05, 11. Feb. 2007 (CET)

die Matrix ${\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}$ ist ein Beispiel für eine Normale Matrix, auch bezgl. des Standartskalarprodukts.

Das stimmt nicht! Also wenn man es nachrechnet kommt man darauf, dass die angegebene Matrix NICHT normal ist. Auch hatte jemand in dem Artikel inkorrekterweise das "nicht" entfernt (vor "unitär")!! --Andreas