Diskussion:Offene Menge

gliederung, definition, erlaeuterung

Also ich finde Bernies Entfernung meiner Gliederung mit Definitionen und Erlaeuterungen unsinnig. Meines Erachtens sind dort jetzt viel zu vage umgangssprachliche Formulierungen drin. Die haette man besser unter den Punkt Erlaeuterung hinzu packen sollen.

Zudem fehlt nun die geschlossene Kugel. Wenn man die offene Kugel behandelt, kann man direkt auch die geschlossene hinzupacken. Eine eigene Seite dafuer zu reservieren (wenn er das denn wenigstens gemacht haette) ist doch albern. --streetlife 14:18, 13. Jan 2004 (CET)

Bitte immer mit vier Tilden unterschreiben (--~~~~).

Ihr werdet euch hoffentlich einigen... Ich halte es fuer sinnvoll, zunaechst offene und abgeschlossene Mengen in metrischen Raeumen zu definieren - mit Erlaeuterung und Beispielen -, und dann auf topologische Raeume zu verallgemeinern (denn genau daraus sind ja topologische Raeume entstanden). Die Eigenschaften offener und abgeschlossener Mengen (z.B. den Zusammenhang mit Grenzwerten in metrischen Raeumen) sollten dann folgen. Den "Artikel" Abgeschlossenheit koennte man dann in einen Redirect umwandeln.

--SirJective 13:36, 13. Jan 2004 (CET)

Hallo Streetlife,

Erst mal der einfachere Teil: Ich denke nicht, dass in diesen Artikel abgeschlossene Mengen gehören, sondern in einen eigenen Artikel (und hier ein Link unter "Siehe auch"). Alternativ könnte man diesen Artikel in "offene und abgeschlossene Mengen" umbenennen, dann wäre ich damit einverstanden, die abgeschlossenen Mengen auch mit aufzunehmen.

Der andere Punkt, nämlich, wie mathematisch soll ein Artikel sein, ist nicht ganz so einfach zu beantworten, und ich meine mich zu erinnern, dass ich irgendwo eine Seite gefunden habe, wo dies schonmal diskutiert wurde. Meine Meinung hierzu: Da die Wikipedia durchaus auch von mathematischen Laien benutzt wird, sollte zumindest der Anfang eines Artikels auch für diese lesbar sein (also ohne Formeln). Insbesondere sollte der zu beschreibende Begriff da auch irgendwo auftauchen. In wieweit man dann auch mathematisch präzise Definitionen in die Wikipedia mit aufnehmen sollte, weiss ich nicht. Ich bin noch nicht lange genug in der Wikipedia, um den Konsens hier zu kennen.

Im Zusammenhang der Gliderung halte ich den Vorschlag von SirJective recht gut, zuerst mit metrischen Räumen zu beginnen und dann auf allgemeine Topologische Räume zu erweitern. Allerdings sollte dies bereits in der Einleitung kenntlich gemacht sein, etwa durch "In metrischen Räumen versteht man unter einer offenen Menge,..." und dann später einen Abschnitt "Erweiterung auf beliebige topologische Räume". Oder so ähnlich. Ich habe den Artikel mal dahingehend geändert. Sicherlich ist der Artikel immernoch überarbeitenswürdig und der allgemeine Teil sollte noch etwas ausgebaut werden.

Ich hoffe, dass dies konstruktiv war.--Berni 17:45, 13. Jan 2004 (CET)

Hallo Bernie,

danke fuer Deine Ueberarbeitung. So wie es jetzt ist finde ich es gut.

Ich teile Deine Meinung in Deiner Antwort im Grossen und Ganzen.

Was die math. Definitionen betrifft, denke ich, sind diese schon notwendig wenn es um Mathematik geht. Denn damit schliesst man Mehrdeutigkeiten der Umgangssprache aus: "A gilt, wenn B gilt." Aus diesem Satz wird z.B. einem Laien nicht klar, ob es sich um eine Implikation oder Aequivalenz handelt.

Des weiteren hilft es meines Erachtens in den Formalismus der Mathematik einzusteigen. Daher darf die Erlaeuterung der Definition natuerlich nicht fehlen und sollte zudem ausfuehrlich sein. --streetlife 10:55, 14. Jan 2004 (CET)

Hallo zsamma, hab eure Versionen und den englischen Artikel genommen und verschmolzen. Aus vier mach eins ist gar nicht einfach... Gefällts euch (modulo Fehler)? --SirJective 23:01, 14. Jan 2004 (CET)

Hey supa, so gut hät ich's nie hinbekommen. Mir gefällt's auf alle Fälle. Nur noch 'ne Kleinigkeit: Am Schluss wird von der größten offenen Menge gesprochen, ich vermute, dass macht Schwierigkeiten, wenn die Mengen zu groß werden. Gemeint ist wohl die Vereinigungsmenge aller offenen Mengen. --Berni 14:48, 16. Jan 2004 (CET)

Danke! :) In diesem Fall ist die Vereinigung aller offenen Teilmengen tatsaechlich die (bzgl. der Inklusion) groesste offene Teilmenge. --SirJective 11:50, 22. Jan 2004 (CET)

Bild zu "offene Kugel ist offene Menge"

Da ich das Bild sowieso nochmal überarbeiten muss (ich hab zweimal y1 geschrieben), will ich gleich anfragen, ob es denn nicht zu groß ist. Jetzt wo ich es im Text sehe, scheint es mir etwas arg groß zu sein, was meint ihr? --SirJective 20:05, 2. Mär 2004 (CET)

(0,1) offen oder geschlossen in R?

Ich sehe im 2. Absatz: "Ein einfaches Beispiel ist das Intervall (0, 1) in den reellen Zahlen."

Und im 4. Absatz: "Die rationalen Zahlen x mit 0 < x < 1 bilden eine offene Menge in den rationalen Zahlen, aber nicht in den reellen Zahlen."

Ich befürchte irgendwas Grundlegendes nicht zu verstehen, aber widersprechen sich die Aussagen nicht erheblich? --Larsipulami 17:00, 8. Mai 2006 (CEST)

Das sieht in der Tat merkwürdig aus... (0;1) ist eindeutig offen in R. Aus dem Bauch herraus würde ich sagen, es ist nicht offen in Z, also könnte man im 4. Absatz einfach "rationalen" und "reellen" vertauschen, und es müßte stimmen. Es gibt immer reelle Zahlen, die näher an 1 liegen als jede rationale Zahl, aber andererseits gibt es zu jeder rationalen Zahl kleiner 1 auch immer eine weitere, die immernoch kleiner 1, aber größer als die erste ist. Von daher bin ich mir da gerade unsicher. Ich nehm den Satz einfach mal raus, bis jemand, der das eindeutig beweisen kann vorbeikommt

--yggdrasil 23:30, 21. Nov. 2006 (CET)

• $(0,1)$ ist offen in $\mathbb {R}$
• $(0,1)\cap X$ ist offen in $X$, egal, was $X\subseteq \mathbb {R}$ ist (nach Definition der Teilraumtopologie)
• $(0,1)\cap \mathbb {Q}$ ist nicht offen in $\mathbb {R}$ (z.B. weil keine Umgebung von $1/2$ ganz in dieser Menge enthalten ist)

Alles klar?--Gunther 23:40, 21. Nov. 2006 (CET)

Noch eine Frage: Wäre das Beispiel "(0,1) ist offen in $\mathbb {R}$, aber nicht in $\mathbb {C}$" verständlicher?--Gunther 23:45, 21. Nov. 2006 (CET)

... das Beispiel ist zumindest nicht verständlich. Es gibt doch zu jedem rationalen $x\in (0,1)\cap \mathbb {Q}$ eine Umgebung $\left({\frac {x}{2}},{\frac {1+x}{2}}\right)$ die ganz in dem rationalen Intervall liegt.  ?? Das ist nicht zuletzt deshalb trivial, weil die rationalen Zahlen dicht in den reellen liegen. $(0.25,0.75)$ ist bspw. eine Umgebung von 1/2.

Der Vergleich mit den komplexen Zahlen hinkt enorm, da diese zweidimmensional sind. Daher ist klar, dass jedes reelle Intervall hier nur aus Randpunkten besteht und damit abgeschlossen ist. (Die Verallgemeinerung der rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen kann nicht mit der Verallgemeinerung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen verglichen werden.....) (nicht signierter Beitrag von 91.23.182.222 (Diskussion) 2007-08-03T23:57)

Menge {1} ist offen in $\mathbb {Q}$?

• Die Menge {1} ist offen in $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {Q}$.
• Alle Teilmengen von abzählbaren Mengen sind offen.

Diese Beispiele sind falsch oder? Die Menge $\{1\}$ dürfte doch in $\mathbb {Q}$ nicht offen sein, da in jeder Umgebung von 1 unendlich viele rationale Zahlen liegen. Damit ist das zweite Beispiel auch falsch. Diese Stammen beide aus der vorletzen Änderung. --94.216.63.199 23:10, 25. Apr. 2010 (CEST)

Korrekt. {1} ist nicht offen in $\mathbb {Q}$. seth hat es schon korrigiert. Danke. -- Sigbert 20:26, 5. Mai 2010 (CEST)

Die Menge Q der rationalen Zahlen ist offen in Q aber nicht offen in R .

Unter "Metrischer Raum->Beispiele" steht: "Die Menge Q der rationalen Zahlen ist offen in Q aber nicht offen in R ." Ich bin mir ziemlich sicher, dass diese Aussage falsch ist. Es muss doch heißen: "Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abgeschlossen in Q aber offen in R ." Auch bei den anderen Beispielen bin ich mir nicht sicher. Die Beispiele sind die gleichen wie im Artikel "Abgeschlossene Menge", nur dass die Worte "offen und abgeschlossen" immer getauscht wurden... (nicht signierter Beitrag von 129.206.127.202 (Diskussion | Beiträge) 14:59, 5. Mai 2010 (CEST))

Das Beispiel ist schon richtig. Insbesondere ist offen nicht das Gegenteil von abgeschlossen. So ist Q in Q offen und abgeschlossen, in R jedoch weder offen, noch abgeschlossen. Man hat schnell ein falsches Intuitives Gefühl, was abgeschlossen und offen heißt. Am besten nochmal die Definitionen anschaun. -- 129.187.100.112 13:52, 7. Mai 2010 (CEST)

Offen ist das Gegenteil von Abgeschlossen, es ist das Gegenteilige Komplement... --Christinianin (Diskussion) 05:23, 7. Aug. 2012 (CEST)

gudn tach!

was willst du damit sagen? praezisiere das bitte. in dieser form halte ich es fuer unverstaendlich. inwiefern soll es die bereits sehr gute, treffende antwort von 129.187.100.112 ergaenzen? -- seth 22:55, 23. Aug. 2012 (CEST)

Abgeschlossen heißt, daß das Komplement offen ist. Nichts weiter. Wenn sowohl eine Menge wie ihr Komplement offen ist, dann ist die Menge offen und abgeschlossen. Q ist offen und abgeschlossen (und nichtkompakt) in Q. Q in R ist offenkundig nicht offen. Abgeschlossen kann es aber auch nicht sein, denn R\Q ist wegen der Dichte von Q in R nicht offen. Womit nebenbei bewiesen wäre, daß zwar eine unendliche Vereinigung offener Mengen offen, eine unendliche, sogar nur abzählbare, Vereinigung abgeschlossener Mengen, was {1} z. B. ist und ebenso jedes für jedes Element von Q, nicht abgeschlossen sein muß.--131.159.76.236 20:49, 13. Mär. 2018 (CET)

Unendlicher Schnitt offener Mengen ist NICHT abgeschlossen!

"... Hingegen muss der Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen nicht offen sein. Betrachtet man beispielsweise im $\mathbb {R}$ die Schnittmenge aller offenen Intervalle $\left(-{\frac {1}{a}},{\frac {1}{a}}\right)$, wobei a alle natürlichen Zahlen durchläuft, so ergibt sich die einelementige Menge {0}, die nicht offen ist."

Ich weiß, dieses Beispiel steht überall im Netz, wird sogar an deutschen Universitäten gelehrt, und hat vielleicht hier seinen Ursprung. Es ist meines Erachtens aber falsch. Der angeführte "Beweis" hinkt nämlich, da er nur den unendlichen Schnitt offener INTERVALLE betrachtet, nicht offener Mengen. Denn das kleinste Intervall, dass hier in den Schnitt eingeht, entspricht keiner offenen Menge!

Hier der Beweis:

$\bigcap _{a=1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{a}},{\frac {1}{a}}\right)=\bigcap _{a=1}^{b}\left(-{\frac {1}{a}},{\frac {1}{a}}\right)\bigcap \left(-{\frac {1}{c}},{\frac {1}{c}}\right),b\to c,c\to \infty$

wobei $(\left(-{\frac {1}{c}},{\frac {1}{c}}\right),c\to \infty$ also die kleinste Menge des Schnitts ist. Nun ist für $c\to \infty$ aber:

$(\left(-{\frac {1}{c}},{\frac {1}{c}}\right)=[0,0]=\{0\}$ ,

also die einelementige Menge, die nur die Null enthält. Einelementige Mengen sind aber abgeschlossen. Daher ist von vornherein eine geschlossene Menge in den unendlichen Schnitt eingeflossen, wodurch im obigen Beispiel nicht vom unendlichen Schnitt offener Mengen gesprochen werden kann.

Man kann sich das auch verdeutlichen, indem man sich eine offene Menge mit ihrem Rand vorstellt, welcher ja nicht in der Menge selbst enthalten ist. Wenn ich nun beliebig viele solcher Mengen schneide, kann kein Rand einer Menge in dem resultierenden Schnitt enthalten sein, da er ja mindestens in einer Ursprungsmenge fehlt. Dies gilt auch für eine solche Intervallschachtelung.

Den generellen Beweis anzuführen überlasse ich aber jemand anderem ;) Auch lasse ich mich gerne widerlegen. Habe den Artikel vorerst aber bearbeitet.

-- FSchrodt 03:18, 10. Feb. 2011 (CET)

Abgesehen von dem sinnlosen "Mengen-Limes": Der Witz des genannten Beispiels besteht ja gerade darin, dass die angegebene Folge von offenen Intervallen kein kleinstes Intervall enthält; zu jedem dieser Intervalle gibt es ein kleineres. Daher läuft die Argumentation über das kleinste Intervall ins Leere. -- 79.206.220.76 14:49, 12. Feb. 2011 (CET)

Welches Intervall wäre also kleiner als $\left(-{\frac {1}{c}},{\frac {1}{c}}\right),c\to \infty$ ? Es ist sozusagen unendlich klein. Ausschließlich deswegen ergibt der angegebene Intervallschnitt ja auch die Menge {0}, und keine offene Menge um 0. Mit dem Limes wollte ich nur angeben, dass c gegen unendlich strebt. Dachte, ich hätte mal irgendwo gelesen, dass man das so umformulieren kann. -- FSchrodt 16:10, 12. Feb. 2011 (CET)

Das, was Du als $\left(-{\frac {1}{c}},{\frac {1}{c}}\right),c\to \infty$ bezeichnest (in Wirklichkeit gibt es keinen Grenzwert von Mengen), ist in korrekter Schreibweise die Menge $\{0\}$. Diese aus einem Element bestehenden Menge ist bei Deinen unendlich vielen offenen Intervallen nicht dabei! -- 79.206.220.76 17:17, 12. Feb. 2011 (CET)

Ich bezeichne damit auch nicht den Grenzwert der Menge, sondern den Grenzwert, gegen den c läuft. Da unendlich keine reelle Zahl ist, kann die reelle Zahl c nur gegen unendlich streben, nicht gleich unendlich sein (sonst wäre die resultierende Menge leer). Dass dieses Intervall der Menge {0}, welche eine abgeschlossene Menge ist, entspricht (beide Schreibweisen sind korrekt, die geschweiften Klammern haben oben gefehlt, weil math sie ignoriert hat, hab extra nochmal dazu geschrieben, dass es sich um ne Menge handelt...), habe ich doch nicht bestritten, ganz im Gegenteil, ich habe es behauptet. Aber warum sollte dieses Intervall denn nicht in dem Schnitt unendlich vieler offener Intervalle enthalten sein? Habe doch genau das Gegenteil gezeigt... Ich verstehe Dein Argument nicht, zumal ich den Zusammenhang zu meiner vorher gestellten Gegenfrage nicht finden kann... --FSchrodt 20:16, 12. Feb. 2011 (CET)

$(\bigcap _{a=1}^{c}\left(-{\frac {1}{a}},{\frac {1}{a}}\right))$ bezeichnet eindeutig eine Menge. Wenn man ein Limes-Symbol davorsetzt wie in $\lim _{c\to \infty }(\bigcap _{a=1}^{c}\left(-{\frac {1}{a}},{\frac {1}{a}}\right))$, dann würde das einen "Mengen-Limes" bedeuten. Wenn Du durch eine seriöse Quelle belegen kannst, dass es so etwas gibt, dann können wir weiterreden; andernfalls solltest Du Deine Ausführungen revidieren. -- 79.206.207.37 07:35, 13. Feb. 2011 (CET)

Ich finde die Argumentation auch alles andere als sauber und habe daher mal revertiert. --Daniel5Ko 12:57, 13. Feb. 2011 (CET)

@FSchrodt: Ich denke, der Fehler, den du begehst, ist analog zu folgendem: Man stelle sich eine Folge von rationalen Zahlen vor, deren Limes ${\sqrt {2}}$ ist. Was du nun tust, ist mehr oder weniger zu behaupten, das "letzte" Folgenglied sei ${\sqrt {2}}$, und deshalb ist die Folge doch keine Folge von rationalen Zahlen. --Daniel5Ko 13:15, 13. Feb. 2011 (CET)

Also, ich muss wohl eingestehen, dass der Limes hier nicht wirklich korrekt war, da wir nicht den Grenzwert einer Intervallfolge betrachten wollen, sondern die Folgenglieder selbst. Um den Limes geht es in dem Beweis auch garnicht. Ich finde es daher schade, dass meine eigentliche Argumentation hier ignoriert wird, und ihr Euch an dieser Formalität aufhaltet. Habe den Limes extra nochmal umformuliert. Aber immerhin versuchst Du, Daniel5Ko, zu argumentieren. Ich behaupte aber doch garnicht, das letzte Intervallglied sei (0,0), was (sogesehen) dem Grenzwert gliche, und der leeren Menge {} entspräche, sondern (-1/a,1/a), a->unendlich. Dieses geht gegen (0,0), ist aber die einelementige Menge {0}. Insofern kann ich Deiner Analogie nicht zustimmen. --FSchrodt 14:04, 13. Feb. 2011 (CET)

Ich habe die Analogie nicht umsonst gewählt. Sie soll betonen, dass es möglich ist, dass der Grenzwert einer Folge kein Folgenglied ist. --Daniel5Ko 14:48, 13. Feb. 2011 (CET)

Es ist zwar möglich, aber in diesem Fall ist es nicht so. --FSchrodt 14:53, 13. Feb. 2011 (CET)

Okay. Dann nenne mir eine natürliche Zahl $a$, für die gilt $1/a=0$. --Daniel5Ko 15:03, 13. Feb. 2011 (CET)

Wie sollte ich? Es gibt keine! Darum geht es doch!!! Ein offenes Intervall enthält seine Grenzen nicht: (-1/a, 1/a) mit a->unendlich enthält also weder -1/a, noch 1/a, nur das "dazwischen", also die Null! (Aber Du bringst mich gerade darauf, dass natürlich doch ein Grenzwert existiert, falls man die Mengen des unendlichen Schnitts als Folgenglieder ansieht. Soviel dazu, Herr 79.206.207.37, das is aber jetzt auch egal ;) --FSchrodt 15:20, 13. Feb. 2011 (CET)

Ich hätte sagen sollen: Nenne mir eine natürliche Zahl $a$, für die $(-1/a;1/a)=\{0\}$ gilt. Eine solche gibt's nicht, und daher sind alle am unendlichen Schnitt beteiligten Mengen offen. --Daniel5Ko 15:53, 13. Feb. 2011 (CET)

Was ist mit a->unendlich? --FSchrodt 15:58, 13. Feb. 2011 (CET)

Keine natürliche Zahl. --Daniel5Ko 16:02, 13. Feb. 2011 (CET)

Doch. Dass a gegen unendlich strebt, bedeutet, dass a niemals gleich unendlich wird. Denn 1/unendlich ist per Definition = 0. Und dann wäre das Intervall (-1/unendlich,1/unendlich) = (0,0) = { }. --FSchrodt 16:12, 13. Feb. 2011 (CET)

Bitte das natürliche $a$ nennen, für das $(-1/a;1/a)=\{0\}$ gilt. Die Existenz von diesem behaupte(te)st du ja, auch wenn dir das vielleicht nicht so bewusst ist. Nebenbei bemerkt: eine natürliche Zahl kann man übrigens als Zeichenkette bestehend aus endlich vielen Ziffern angeben. --Daniel5Ko 16:50, 13. Feb. 2011 (CET)

Klar, wenn du mir PI hier vollständig hinschreibst, schreib ich dir auch a hin.... PI ist übrigens ungleich unendlich, und doch endlos lang. Und bevor du 's erwähnen musst, PI ist zwar nicht natürlich, aber es gibt auch unendlich viele natürliche Zahlen. Wo das Komma ist, ist dafür vollkommen egal! Aus der Schule bin ich schon raus, und rechne nicht mehr mit Zahlen... --FSchrodt 17:00, 13. Feb. 2011 (CET)

Es ist nicht unerheblich, dass Pi keine natürliche Zahl ist. Und: Fast alle natürlichen Zahlen sind zwar sehr sehr sehr sehr sehr sehr sehr sehr sehr groß [1], aber keine ist unendlich groß. Unendlich viele Ziffern sind nicht erlaubt. Letzteres würde die Menge der natürlichen Zahlen überabzählbar machen; bzw man würde mit etwas ganz anderem als mit natürlichen Zahlen arbeiten.

Vielleicht ist hier auch der Ansatzpunkt, dir deinen Fehler nahezubringen. Angenommen, du gibst mir so ein a, dann schreibe ich hinten eine 7 ran, und zeige, dass $({\frac {-1}{10a+7}};{\frac {1}{10a+7}})$ eine echte Teilmenge von $(-1/a;1/a)$ ist. Damit kann dein a nicht das richtige gewesen sein. --Daniel5Ko 19:49, 13. Feb. 2011 (CET)

Hierfür ist eigentlich schon recht unerheblich, was abzählbar und überabzählbar ist, denn das sagt nur etwas über die Lücken zwischen den Zahlen aus, welche bei überabzählbaren (reellen) Zahlen nicht existieren, bei natürlichen dagegen schon. Zwar gibt es mehr reelle, als natürliche Zahlen (nämlich die unendlich vielen zwischen den natürlichen), es gibt aber dennoch unendlich viele natürliche Zahlen, denn die natürlichen Zahlen sind rekursiv definiert (jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger). Unendlich zählt zwar (aufgrund seiner informationsvernichtenden Eigenschaften) glücklicherweise nicht dazu, aber es gibt dennoch unendlich viele natürliche Zahlen, also wäre ich so unendlich lange damit beschäftigt, a aufzuschreiben, wie du damit, Pi aufzuschreiben...

Ich verstehe aber, was du sagen willst, nämlich, dass zu jeder natürlichen Zahl eine größere (bzw. ein Nachfolger) existiert, dass also auch für a->unendlich (was auch immer das letztlich ist) die Ordnungsrelation erhalten bleibt, also a+1>a ist. Im Grunde stimme ich zu, und ohne den Limes hat mein Beweis damit auch seinen Sinn verloren, und das Komplement von {0} ist also nicht (-1/a, 1/a), a->unendlich, sondern die Vereinigung (-unendlich,0)und(0,unendlich). Dann aber frage ich mich dennoch, warum der Schluss per Induktion (der ja genau auf der Rekusion der natürlichen Zahlen aufbaut), dass der Schnitt jeder offenen Menge / jedes offenen Mengenpaares (denn der Schnitt beliebig vieler Mengen lässt sich darauf zurückführen), erzeugt durch jede natürliche Zahl, wieder eine offene Menge ergibt, nicht übertragbar sein sollte auf alle natürlichen Zahlen. Denn Induktion bezieht sich doch gerade darauf...

Bin mir sicher, wir haben hier beide was gelernt. --FSchrodt 16:19, 14. Feb. 2011 (CET)

Zur Deiner letzten Frage: Durch vollständige Induktion kann man schließen, dass der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen wieder offen ist. Handelt es sich beispielsweise um 100 Mengen, so schließt man von 2 auf 3, von 3 auf 4, ..., von 99 auf 100 Mengen. Man kommt also durch endlich viele Schlussfolgerungen des Typs n -> n+1 zur Behauptung.

Ganz anders verhält es sich, wenn unendlich viele offene Mengen gegeben sind. Durch endlich viele Schlussfolgerungen des Typs n -> n+1 kann man nicht beweisen, dass der Schnitt aller (!) gegebenen Mengen offen ist. -- 79.206.169.184 16:36, 14. Feb. 2011 (CET)

Unendlich viele offene Mengen entstehen durch unendlich viele natürliche Zahlen. Per Induktion schließt man nun nicht durch konkrete Induktionsschritte (von 1 auf 2 auf 3...), sondern durch den variablen Induktionsschritt (von n auf n+1), und belegt damit eine Aussage für alle n. Heißt deswegen ja auch "vollständige Induktion". "Vollständige Induktion ist eine mathematische Beweismethode, nach der eine Aussage für alle natürlichen Zahlen bewiesen wird."... a durchläuft im obigen Beispiel alle natürlichen Zahlen. Wüsste also immernoch nicht, warum das nicht gehen sollte. --FSchrodt 17:40, 14. Feb. 2011 (CET)

Durch vollständige Induktion kann man beweisen, dass eine bestimmte Aussage für jede natürliche Zahl zutrifft. In unserem Fall heißt das: Wenn zu jeder natürlichen Zahl k eine offene Menge $O_{k}$ gegeben ist, so können wir für jede natürliche Zahl n beweisen, dass auch $\bigcap \limits _{k=1}^{n}O_{k}=O_{1}\cap \ldots \cap O_{n}$ wieder offen ist. Das ist etwas anderes als die (im Allgemeinen falsche) Behauptung, dass $\bigcap \limits _{k=1}^{\infty }O_{k}=O_{1}\cap \ldots$ eine offene Menge sei. -- 79.206.169.184 17:58, 14. Feb. 2011 (CET)

k ist aber eine natürliche Zahl. Oder anders: alle Zahlen, die k durchläuft sind natürlich. Warum sollte es also etwas anderes sein? --FSchrodt 18:23, 14. Feb. 2011 (CET)

Siehe die eingangs erwähnte, ${\sqrt {2}}$-approximierende, Folge von rationalen Zahlen. Ach ja, und nochmal eine Bemerkung zu deiner letzten Antwort an mich: Wenn du zum Aufschreiben des gesuchten a genauso lange brauchst, wie zum Aufschreiben von Pi, dann ist das keine natürliche Zahl. Aber ich dachte, dass habe ich schon ungefähr 2mal in den verschiedensten Worten gesagt. --Daniel5Ko 22:25, 14. Feb. 2011 (CET)

Es gibt aber unendlich viele natürliche Zahlen, das habe ich hier auch schon einige Male gesagt. Sonst würde dein eigenes Argument auch nicht funktionieren. Also würde ich niemals fertig damit, a aufzuschreiben.

Ich zitiere dich: "Was du nun tust, ist mehr oder weniger zu behaupten, das 'letzte' Folgenglied sei ${\sqrt {2}}$". Nun bist du es aber, der das behauptet. Nur der Grenzwert kann ${\sqrt {2}}$ sein, aber deine Folge ist ungleich ${\sqrt {2}}$. Der Limes wurde aber von hier verbannt, oder habe ich am Ende mit dem Limes doch recht gehabt? ;) --FSchrodt 00:44, 15. Feb. 2011 (CET)

Man kann den Grenzwert der Folge sinnvoll definieren (in beiden Fällen: immer kleiner werdende offene Intervalle und ${\sqrt {2}}$ approximierende rationale Zahlen). Dieser sagt aber nicht besonders viel über die Folgenglieder aus, geschweige denn ist eins davon. --Daniel5Ko 01:32, 15. Feb. 2011 (CET)

Sag ich doch ;) Also ergibt sich zusammenfassend, dass die einzige(n) Zahl(en), welche die Grenzen des offenen Intervalls nie erreichen, ihre Grenzwerte sind, also $\lim _{a\to \infty }-{\frac {1}{a}}=0$ und $\lim _{a\to \infty }{\frac {1}{a}}=0$ , und daher nicht "weggeschnitten" werden können. Dann folgt: $\bigcap _{a=1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{a}},{\frac {1}{a}}\right)=\lim _{a\to \infty }\left(-{\frac {1}{a}},{\frac {1}{a}}\right)=\left[\lim _{a\to \infty }-{\frac {1}{a}},\lim _{a\to \infty }{\frac {1}{a}}\right]=[0,0]=\{0\}$ .

Mein Fehler war wohl von vornherein, dass ich den Rand von {0} für einen der Ränder des unendlichen Schnittes gehalten habe. Jetzt haben wir uns ein paar mal herumgedreht, und endlich schließt sich der Kreis. Ein wenig mehr Wissen und Genauigkeit auf beiden Seiten hätte diesen Vorgang sicher beschleunigt...

Mit den Unendlichkeiten hat die Mathematik ohnehin eine Ausgeburt des blanken Irrsinns verkörpert, denn wenn ich an etwas eine unendliche Bedingnis knüpfe, ist es sinnlos, von einem "danach" zu sprechen... Mit Gruße --FSchrodt 16:09, 15. Feb. 2011 (CET)

Naja, genau das tun Grenzwerte aber, also von dem "Danach" sprechen...

Hier noch eine mögliche Definition für den Grenzwert einer Folge von Intervallen:

Eine Folge von Intervallen konvergiert, wenn (ab dem zweiten) jedes Folgenglied eine echte Teilmenge seines Vorgängers ist. Der Schnitt über alle Folgenglieder ist dann ihr Grenzwert.

Wegen der starken Vorbedingung, und weil man sie nicht dazu benutzen kann, etwas über unendliche Schnitte auszusagen, ist sie natürlich ziemlich nutzlos. Eine nützliche gibt's wohl nicht, und daher werden solche Grenzwertbegriffe meist undefiniert gelassen. --Daniel5Ko 20:35, 15. Feb. 2011 (CET)

Einleitung sollte verbessert werden

Der erste Satz ist m. E. völlig überflüssig, denn

1) Kommen offene Mengen in jedem Bereich der Mathematik vor. Der Verweis auf Topologie ist hier für den unerfahrenen Leser verwirrend, insbesondere weil es sich hier ja um Grundlagen der mengentheoretischen Topologie handelt, der Begriff Topologie aber viel weiter fasst (Algebraische Topologie, Differentialtopologie etc.)

2) Die Aussage "Menge mit einer genau definierten Eigenschaft" hat fast keinen Informationsgehalt. Der Leser kann schon vom Begriff "offene Menge" ableiten, dass es sich um eine Menge mit einer Eigenschaft handelt.

Ich würde vorschlagen, wie ihm englischen Artikel zu beginnen, d. h. so etwas wie "in der Mathematik ist eine offene Menge eine Verallgemeinerung eines offenen Intervalles..". --Tensorproduct 11:56, 9. Jan. 2023 (CET)