Diskussion:Operatornorm

Eine oder viele?

Mir wird nicht klar: Gibt es auf einem Raum von linearen Abbildungen nun genau eine Operatornorm (das sagt der Abschnitt "Definition") oder mehrere verschiedene (das sagt der Abschnitt über "Matrixnormen")? -- Digamma 15:29, 5. Jul. 2010 (CEST)

Hallo, angenommen $f:V\to W$ sei eine lineare Funktion zwischen normierten Vektorräumen. Die Operatornorm ist doch dann abhängig von der Norm auf den Räumen V und W. Auf dem R^n gzum Beispiel gibt es doch viele verschiedene äquivalente Normen und daher kommen auch die unterschiedlichen Normen im Abschnitt Matrixnorm. --Christian1985 16:07, 5. Jul. 2010 (CEST)

Danke. Sorry, ich hatte nicht genau genug gelesen. -- Digamma 16:15, 5. Jul. 2010 (CEST)

Definition der Operatornorm falsch/nicht wohldefiniert für $f:0\to W$

Falls $f:V\to W$ ein linearer Operator ist, aber $V=\{0\}$, dann gilt nach der Definition im Artikel

$\|f\|:=\sup _{x\in V\setminus \{0\}}{\frac {\|f(x)\|_{W}}{\|x\|_{V}}}=\sup \emptyset =-\infty$

Außerdem existiert dann gar kein $v\in V=\{0\}$ mit $\|v\|=1$, daher gilt auch

$\|f\|=\sup _{\|x\|_{V}=1}\|f(x)\|_{W}=\sup \emptyset =-\infty$

Ich bin mir ziemlich sicher, dass da $\|f\|=0$ rauskommen sollte, weil $f$ die Nullfunktion ist. Man beachte, dass jede Nullfunktion $f:V\to W$ nach der Definition im Artikel die Norm $\|f\|=0$ hat, nur wenn $V=\{0\}$ gilt, gilt $\|f\|=-\infty$. Das scheint mir sehr willkürlich. Ich finde diese Definition besser:

$\|f\|:=\inf \left\{c\geq 0|\forall v\in V:\|f(v)\|\leq c\|v\|\right\}$

Da kommt für $f=0$ auch immer $\|f\|=0$ raus, und für $V\neq \{0\}$ stimmt sie auch mit der Definition im Artikel überein. Das wird auch in "Amann, Escher, Analysis II" so gemacht. -- Mejiwa 15:20, 16. Sep. 2010 (CEST)

Nach einem Blick in das Buch Funktionalanalysis von Werner halte ich den Umbau auch für sinnvoll. --Christian1985 ( 17:27, 26. Sep. 2010 (CEST)

Man sollte aber darauf achten, dass die Definition verständlich bleibt. Die bisherige Definition (die in allen Fällten außer $V=\{0\}$ zur hier neu vorgeschlagenen äquivalent ist) ist wesentlich verständlicher als die neu vorgeschlagene. Die zwei Definitionen stimmen auch überein, wenn man die Supremumsfunktion auf Teilmengen von $\mathbb {R} _{\geq 0}$ beschränkt und dann sinnvollerweise $\sup \emptyset$ setzt. Nichts anderes geschieht ja eigentlich in der alternativen Definition, die statt die Supremumsfunktion zu benutzen direkt auf deren Definition zurückgreift.

Eine Möglichkeit wäre zum Beispiel, die Definition

$\|f\|:=\inf \left\{c\geq 0|\forall v\in V:\|f(v)\|\leq c\|v\|\right\}$

aus Amann, Escher zu benutzen, aber gleich darauf zu schreiben, dass für $V\neq \{0\}$ die Aussagen

$\|f\|:=\sup _{x\in V\setminus \{0\}}{\frac {\|f(x)\|_{W}}{\|x\|_{V}}}=\sup _{\|x\|_{V}=1}\|f(x)\|_{W}$

gelten. -- Digamma 18:02, 26. Sep. 2010 (CEST)

Ich habe es so eingebaut. -- Digamma 18:11, 26. Sep. 2010 (CEST)

Ok, Dankeschön für die Änderung :) Ich finde auch, dass die alten mit dem Supremum gemachten Definitionen zum besseren Verständnis drin bleiben sollten. -- Mejiwa 23:59, 26. Sep. 2010 (CEST)

Gern geschehen. Falls Du weitere Verbesserungsmöglichkeiten siehst: Mach's einfach. -- Digamma 19:48, 27. Sep. 2010 (CEST)