Diskussion:Orthogonale Summe

Lineare Algebra

In meiner Vorlesung zur Linearen Algebra wurden auch orthogonale Summen betrachtet. Dort ging es nur nicht um Hilberträume, sondern um Untervektorräume eines endlichdimensionalen Vektorraums, die orthogonal zueinander waren. Also im Prinzip deckt der Atikel diesen Spezielfall auch ab, aber vielleicht kann man ihn für den Einsteiger deutlicher machen. --Christian1985 (Diskussion) 15:56, 8. Aug. 2012 (CEST)

Ja, letztendlich braucht man die gleiche Struktur wie bei direkte Summe (ich habe den Artikel mal versuchsweise entsprechend strukturiert). Oder teilt man besser gleich in Direkte Summe – Direkte Zerlegung und Orthogonale Summe – Orthogonale Zerlegung auf? Für die Verlinkung wäre eine solche Aufteilung recht praktisch, andererseits werden die Inhalte dann wohl etwas redundant. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:25, 8. Aug. 2012 (CEST)

Der Abschnitt zu endlichen orthogonalen Summen ist, wenn man aus der Richtung kommt, ja nicht weiter schwer zu verstehen, man muss nur das Wort Hilbertraum und das Wort vollständig ignorieren. Vielleicht könnte man einfach vorher darauf hinweisen? --Chricho ¹ ² ³ 16:40, 8. Aug. 2012 (CEST)

Meiner Erfahrung nach muss man einen (guten) Matheartikel so elementar wie möglich aufbauen. Also mit dem ganz einfachen Fall anfangen, dann ein Beispiel bringen, dann elementare Eigenschaften aufzeigen und dann schrittweise zu allgemeineren Fällen übergehen. Der unbedarfte Leser liest den Artikel bis zum ersten Punkt, den er nicht versteht, und legt ihn dann beiseite. Der erfahrenere Leser geht über die einfacheren Parts einfach weg (oder liest sie der Neugierde halber trotzdem :-) ) und stößt dann direkt zu dem für ihn interessanten Teil vor.

Gut ist hier der Anfang mit den zwei Summanden, aber eigentlich braucht man die Vollständigkeit an dieser Stelle noch gar nicht. Ähnlich könnte man auch mit der Zerlegung in zwei orthogonale Teile (endlicher Dimension) anfangen. Wie wäre es mit einer Aufteilung in einen ersten Teil Lineare Algebra (endlichdimensional, zwei Summanden) und einen zweiten Teil Funktionalanalysis (unendlichdimensional, beliebige Summanden), vgl. Orthogonalprojektion? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:11, 8. Aug. 2012 (CEST)

Stimmt, man braucht die Vollständigkeit nicht. Könnte man nicht einfach von Skalarprodukträumen sprechen? Das verschreckt keinen. Und am Ende des Abschnitts sagt man dann, dass die Summe von Hilberträumen immer noch ein Hilbertraum ist. In einer expliziten Einschränkung auf endlichdimensionale Summanden sehe ich keinen Vorteil (mich hat das zumindest meistens eher geärgert, wenn irgendwo unnötigerweise so etwas stand). --Chricho ¹ ² ³ 17:25, 8. Aug. 2012 (CEST)

Die endliche Dimension braucht man bei der orthogonalen Zerlegung (entweder beim Ausgangsraum oder bei zumindest einem der beiden Unterräume), ansonsten gibt es auch Ärger :-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:33, 8. Aug. 2012 (CEST)

Ich sprach nur von der äußeren orthogonalen Summe. Bei der inneren weiß ich nicht, was überhaupt verschrecken soll, Projektoren addieren kann jeder – ich meine, da muss man sich keine großartigen topologischen Gedanken machen. Würdes nicht für die äußere endliche und die innere einfach auf die einfachen Fälle hinzuweisen? --Chricho ¹ ² ³ 17:39, 8. Aug. 2012 (CEST)

Bei der Zerlegung in zwei unendlichdimensionale Unterräume braucht man schon die Vollständigkeit des Ausgangsraums. Aber die Aufteilung ist, wie gesagt, nur eine Anregung meinerseits. Vielleicht mache ich beizeiten selbst mal einen Entwurfsvorschlag. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:57, 8. Aug. 2012 (CEST)

Wie wärs mit (sollen nur Disk-Bezeichnungen nicht Abschnittsüberschriften sein) äußere endliche Summen, äußere beliebige direkte Summen von Skalarprodukträumen und äußere beliebige Summen von Hilberträumen und dann innere Summen (da brauchts keine große Unterteilung, denk ich, bloß sagen, was eben nur im endlichdimensionalen bzw. Hilbertraum-Fall funktioniert). --Chricho ¹ ² ³ 21:12, 9. Aug. 2012 (CEST)

Klingt gut, wobei ich schon jeweils mit der Summe von zwei Räumen bzw. der Zerlegung in zwei Unterräume beginnen würde. Muss man im Prähilbertraum-Fall dann die unbedingte Konvergenz der Reihe explizit fordern? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:32, 9. Aug. 2012 (CEST)

Was soll konvergieren? Meinst du im Abschnitt äußere beliebige direkte Summen von Skalarprodukträumen? Nein, da käme dann nur die algebraische direkte Summe. Oder bei der inneren Summe? Projektoren auf Nicht-Hilberträume sind nicht gerade häufig existent, daher würde ich mich auf den anderen Fall beschränken. (falsch signierter Beitrag von Chricho (Diskussion | Beiträge) 21:45, 9. Aug. 2012 (CEST))

Ich meinte schon äußere beliebige direkte Summen von Skalarprodukträumen und meine Frage zielte darauf ab, was man für die Wohldefiniertheit fordern muss, wenn man keine Vollständigkeit hat. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:55, 9. Aug. 2012 (CEST)

Wohldefiniert wäre das immer, bloß wäre die Definition reichlich sinnlos, man fügt irgendwelche Grenzwerte hinzu, lässt jedoch die Unvollständigkeit der ursprünglichen Räume bestehen. Was sollte das? Deshalb für Skalarprodukträume nur die algebraische direkte Summe, und diese $\ell ^{2}$-Summe nur für Hilberträume, war mein Vorschlag. --Chricho ¹ ² ³ 22:00, 9. Aug. 2012 (CEST)

Ach so, du meinst mit beliebige direkte Summen gerade beliebige Summen, bei denen alle Summanden bis auf endlich viele gleich null sind. Dann ist es ok. Ich hatte das direkt überlesen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:11, 9. Aug. 2012 (CEST)

Ja genau. Sorry, hatte gerade auch falsch rum geantwortet. Aber ich denke, die Botschaft ist jetzt doch rübergekommen. --Chricho ¹ ² ³ 22:14, 9. Aug. 2012 (CEST)

Wie gefällt dir mein Formulierungs- und Strukturierungsvorschlag? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:14, 10. Aug. 2012 (CEST)

Muss man das wirklich ausführen, wie man ein $\oplus$ mehrfach hintereinander schreibt? Kann man da nicht direkt die allgemeine direkte Summe hin setzen? --Chricho ¹ ² ³ 12:02, 10. Aug. 2012 (CEST)

Ist nur ein Vorschlag, wenn er dir nicht gefällt revertiere ihn einfach. Oder mann lässt den Zwei-Summanden-Fall weg und macht nur zwei Fälle, den Prähilbertraum-Fall (direkte Summe) und den Hilbertraum-Fall ($\ell ^{2}$-Summe) und dafür fängt man bei den Beispielen elementarer an: $K^{2}$, $K^{n}$, $K^{\mathbb {N} }$, $K^{I}$, ... am besten mit $K=\mathbb {R}$. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:09, 10. Aug. 2012 (CEST)

Habe das entsprechend umgestaltet. Ich hoffe es besteht nun eine klare Trennung von Algebraischem und Funktionalanaltyischem. Siehst du da noch irgendwo mögliche Verwirrungen (insb. zwischen algebraischer und der von Hilberträumen? Ich befürchte es irgendwie)? Sonstige Anmerkungen? --Chricho ¹ ² ³ 00:11, 11. Aug. 2012 (CEST)

Grundsätzlich passt das schon alles. Die Funktionalanalysis fängt m.E. momentan bei "Beliebige direkte Summen" an. Insofern bleibt Christians Vorschlag von oben noch, den LA-Teil der inneren orthogonalen Summe vorzuziehen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:25, 11. Aug. 2012 (CEST)

Wieso Funktionalanalysis? Für mich ist das klar lineare Algebra. Die Räume in dem Abschnitt haben nicht einmal eine Topologie, schließlich wird der Körper dort noch nicht eingeschränkt. Hm, der Artikel Skalarproduktraum schränkt es aber sofort ein… --Chricho ¹ ² ³ 12:38, 11. Aug. 2012 (CEST)

Statt Skalarprodktraum vllt. lieber Vektorräume mit Bi- oder Sesquilinearformen sagen? --Chricho ¹ ² ³ 13:47, 11. Aug. 2012 (CEST)

Naja, die Grenze zwischen linearer Algebra und Funktionalanalysis ist sicher fließend, ich setze sie gerne zwischen dem endlich- und dem unendlichdimensionalen Fall (ist hier aber auch egal). Dass Skalarprodukträume nur über reellen oder komplexen Skalarkörpern definiert sind, liegt letzendlich daran, dass schon das Skalarprodukt nur für Vektorräume über den reellen oder komplexe Zahlen definiert ist. Analog gilt das auch für Sesquilinearformen, was sollte auch die komplexe Konjugation in einem beliebigen Körper sein? Wenn man sich nun auf Bilinearformen beschränkt, schließt man umgekehrt den komplexen Fall aus. Ich denke die Einschränkung auf Skalarprodukträume (über den reellen oder komplexen Zahlen) ist schon ganz in Ordnung. Mir fällt jetzt auch gar kein Fall ein, wo man orthogonale Summen für Vektorräume mit Bilinearformen über allgemeinen Körpern verwendet, kennst du da Literatur? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:18, 11. Aug. 2012 (CEST)

Ich habe schonmal ein Buch gesehen, in dem Sesquilinearformen bezüglich beliebiger Schiefkörperautomorphismen betrachtet wurden, statt komplexer Konjugation eben ein beliebiger Automorphismus in dem Schiefkörper, über dem der Vektorraum definiert war. Orthogonales Komplement macht übrigens eine „Fallunterscheidung“. --Chricho ¹ ² ³ 14:53, 11. Aug. 2012 (CEST)

(kann aber sein, dass die dann anders hießen als sesquilinear) Ansonsten sehe ich die Grenze übrigens da, wo die Räume unendlichdimensional werden und eine topologische Struktur/Konvergenz eine Rolle spielen. Ein Satz wie jeder Vektorraum hat eine (Hamel-)Basis ist für mich zweifelsohne lineare Algebra. Aber das ist OT… --Chricho ¹ ² ³ 14:58, 11. Aug. 2012 (CEST)

Hm, letztendlich muss man rausfinden, wie weit der Begriff orthogonal gebraucht wird. Ich kenne ihn nur in Verbindung mit Skalarprodukten, aber möglicherweise ist meine Sichtweise da zu eingeschränkt. Werner benutzt den Begriff "orthogonal" jedenfalls sehr spärlich, aber u.a. für das orthogonale Komplement und da eben nur für den Skalarprodukträume. Meise/Vogt übrigens auch, deswegen traue ich der Definition in orthogonales Komplement in ihrer Allgemeinheit nicht so recht (nicht, dass man es so definieren könnte, sondern dass es auch so gemacht wird). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:47, 11. Aug. 2012 (CEST)

Habe nachgeguckt: In dem Buch wurde es semibilinear genannt, das scheint aber synonym zu sesquilinear zu sein, mit einem Antiautomorphismus. Von orthogonalen Komplementen wurde dort in einem solchen allgemeinen (und auch in einem noch allgemeineren, verbandtheoretischen) Sinn gesprochen. Auch von Orthogonalität. Orthogonale Summen kommen dagegen nicht vor. Finde ich allerdings auch im Internet, zumindest endliche. Man spricht dann auch von der orthogonalen Summe von Sesquilinearformen (denn die Summation der Räume hat im algebraischen Fall ja mit den Sesquilinearformen gar nichts zu tun). Wenn man nach „orthogonal sum“ zusammen mit „division ring“ und „sesquilinear“ sucht, bekommt man Ergebnisse aus diesem Gebiet. Unendliche orthogonale Summen von allgemeinen Sesquilinearformen habe ich dagegen bislang nicht gefunden. Mal gucken, ob ich noch mehr finde. Wenn man jedenfalls mit gutem Recht im endlichen Fall von allgemeinen Sesquilinearformen sprechen kann – warum dann auch nicht im zweiten? --Chricho ¹ ² ³ 20:59, 11. Aug. 2012 (CEST)

Gefunden: Bourbaki, Algèbre, Kapitel 9, Seite 13, somme directe von Sesquilinearformen bezüglich eines Automorphismus auf Moduln über einem Schiefkörper. --Chricho ¹ ² ³ 21:20, 11. Aug. 2012 (CEST)

Moduln über einem Ring natürlich. Habe jetzt die allgemeinere Definition kurz angesprochen und auf die oben besagte zusätzliche Sprechweise verwiesen. Ich denke, es hat keinen Mehrwert, die ganze Zeit von „Moduln mit Sesquilinearformen“ anstatt von Skalarprodukträumen zu sprechen. Meinungen? --Chricho ¹ ² ³ 00:59, 12. Aug. 2012 (CEST)

Ja, in den Bourbaki-Büchern steht alles in größter Allgemeinheit und maximaler Unverständlichkeit drin :-). Aber so ist es schon ok, den Standardfall, der wohl in den meisten Standardbüchern abgehandelt wird, ausführlich beschreiben und auf Verallgemeinerungen dann kurz in den Erklärungen oder in einem eigenen Abschnitt "Verallgemeinerungen" eingehen. Sollte man nicht den Skalarkörper in den ersten beiden Abschnitten auch auf $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ einschränken? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:23, 13. Aug. 2012 (CEST)

Die eigentliche Definition ist auch nicht unverständlicher als hier im Artikel, nur dass die Buchstaben am Anfang des Kapitels als Links- oder Rechtsmoduln und Sesquilinearformen bzgl. eines Antiautomorphismus eingführt werden. ;) Insofern denke ich, passt das so ganz gut, ist für niemanden ein Verlust da. Eine explizite Beschränkung auf $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ halte ich nicht für nötig, implizit ist sie durch den Verweis auf Skalarproduktraum gegeben, und wenn jemand dennoch dabei an allgemeineres denkt, ist es auch nicht falsch. --Chricho ¹ ² ³ 17:02, 13. Aug. 2012 (CEST)

Fehler in Skalarprodukt für endliche Summe?

Ich denke, die Formel für das Skalarprodukt in der endlichen Summe ist so nicht richtig. Statt

$\langle \,(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\,\rangle _{X\oplus Y}=\langle x_{1},y_{1}\rangle _{X}+\langle x_{2},y_{2}\rangle _{Y}$

müsste es

$\langle \,(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\,\rangle _{X\oplus Y}=\langle x_{1},x_{2}\rangle _{X}+\langle y_{1},y_{2}\rangle _{Y}$

heißen, alleine schon deswegen, weil $y_{1}$ in Y liegt und daher im allgemeinen nicht in X und daher $\langle x_{1},y_{1}\rangle _{X}$ nicht definiert ist (es würde so auch irgendwie keinen Sinn machen). Etwas verwirrend ist, dass weiter unten bei den beliebigen direkten Summen die Formel für das Skalarprodukt

$\langle \,(x_{i}),(y_{i})\,\rangle _{\bigoplus _{i}X_{i}}=\sum _{i\in I}\langle x_{i},y_{i}\rangle _{X_{i}}$

richtig ist, da hier die Komponenten der Vektoren indiziert werden, oben aber die Vektoren selbst. --SchalHorn (Diskussion) 18:06, 20. Nov. 2012 (CET)

Ja, das war falsch. Ich hab's geändert, danke! Grüße -- HilberTraum (Diskussion) 19:13, 20. Nov. 2012 (CET)