Diskussion:PT2-Glied

Ich bin nicht sicher ob die Formel

$T_{2}^{2}{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+T_{1}{\frac {dx(t)}{dt}}+x(t)=K\cdot u(t)$
in bezug auf die Konstanten stimmt
--IskenderII 11:01, 22. Mai 2006 (CEST)

Die Koeffizienten $T_{1};\ T_{2}$ für die Differentiale zu verwenden ist missverständlich, weil sie keine Zeitkonstanten sind. Üblich sind folgende Darstellungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten 2. Ordnung:

$a_{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}y(t)=b_{0}\cdot u(t)$

Die höchste Ableitung wird freigestellt, damit die Nullstellen später aus den Polynomen der Übertragungsfunktion einfacher bestimmt werden können. Die gesamte Gleichung wird durch $a_{2}$ dividiert.

${\ddot {y}}(t)+{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\cdot {\dot {y}}(t)+{\frac {a_{0}}{a_{2}}}\cdot y(t)={\frac {b_{0}}{a_{2}}}\cdot u(t)$

Das Nennerpolynom der Übertragungsfunktion G(s) zur Nullstellenbestimmung lautet:

$s^{2}+{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\cdot s+{\frac {a_{0}}{a_{2}}}=0\qquad \qquad mit\ K={\frac {b_{0}}{a_{2}}}$

Die Zeitkonstanten bei negativen realen Polen ergeben sich aus deren Reziprokwerten. Systeme mit negativen konjugiert komplexen Polen (Doppelpole) lassen sich nicht in Linearfaktoren aufspalten und enthalten in der Zeitkonstantendarstellung der Übertragungsfunktion mit dem Nennerpolynom $T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1$ eine "gemeinsame" Zeitkonstante $T={\sqrt {T^{2}}}$. Gruß --HeinrichKü (Diskussion) 10:02, 28. Jan. 2018 (CET)

Ortskurve

Das Bild zeigt nicht die Ortskurve für die Frequenzen ($0\leq \omega \leq \infty$) sondern die Ortskurve für ($-\infty \leq \omega \leq \infty$). Der Teil im ersten und zweiten Quadranten entsteht nur durch die Mathematik und ist zumindest für ein PT2-Glied nicht von Bedeutung. (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 153.96.232.2 (Diskussion • Beiträge) 12:53, 16. Okt. 2006)

Hat auch niemand behauptet. Die Beschreibung im Text bezieht sich eben nur auf den positiven Teil. -- Netnet @ 13:38, 16. Okt. 2006 (CEST)

Genau deshalb finde ich es übersichtlicher, wenn das Bild auch nur den Ortskurventeil für positive Frequenzen zeigt.

Dämpfungskonstante d

Auf die Dämpfungskonstante sollte näher eingegangen eingegegangen werden.

--Mik81 10:50, 30. Dez. 2006 (CET)

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|G(j\omega)| = \frac{K}{\sqrt{(1 - T^2 \omega^2)^2 - (2 d T \omega)^2}}

muss es nicht

|G(j\omega)| = \frac{K}{\sqrt{(1 - T^2 \omega^2)^2 + (2 d T \omega)^2}}

sein? schiesslich ist Betrag von a+jb gleich wurze_aus(a^2+b^2) warum wird hier j mitquadriert und die daherkommende -1 reingebracht?

(Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 87.234.149.65 (Diskussion • Beiträge) 02:30, 27. Feb. 2007)

<math>$|G(j\omega )|={\frac {K}{\sqrt {(1-T^{2}\omega ^{2})^{2}-(2dT\omega )^{2}}}}$</math>

<math>$|G(j\omega )|={\frac {K}{\sqrt {(1-T^{2}\omega ^{2})^{2}+(2dT\omega )^{2}}}}$</math>

Ich stimme dier zu da muss das jemand das mit den Komplexen Zahlen und Betrag durcheinenader bebracht haben. Ich bessere es gleich mal aus --mik81 10:44, 27. Feb. 2007 (CET)

Muss es nicht

$|G(j\omega )|={\frac {K}{\sqrt {(1+T^{2}\omega ^{2})^{2}+(2dT\omega )^{2}}}}$

heißen? Weil da j² ein -1 ergibt und damit mit dem Minus zum Plus wird?

--188.98.192.214 11:41, 3. Jun. 2013 (CEST)

Bild der Sprungantwort

Ist das im Bild der sprungantwort für den aperiodischen Fall nicht ein PT1 Glied? es sieht zumindest 100% aus wie eins, und es fehlt die anfangs verzögerung für ein PT2 finde ich. (nicht signierter Beitrag von 91.13.84.67 (Diskussion) 13:07, 18. Sep. 2011 (CEST))

In der allgemeinen Form 2 Zeitkonstanten

Das PT2-Element hat in der allgemeinen Form 2, nicht notwendigerweise identische Zeitkonstanten. So wie es hier steht ists etwas chaotisch. (nicht signierter Beitrag von 91.15.38.39 (Diskussion) 20:53, 28. Okt. 2012 (CET))

Defintion der Zeitkonstante T

In diesem Artikel wird die (mathematisch durchaus korrekte) Defintion von $T=1/\omega$ zugrunde gelegt. Allerdings wird diese Definition nicht explizit erwähnt. Lediglich im Bodediagramm ist erkennbar, dass für T = 1, die Eigenfrequenz bei 1 rad/s liegt. Im mir bekannten regelungtechnischen Umfeld ist die Defintion $T=1/f=2*\pi /\omega$ üblich. Für T=1s würde daher eine Frequenz von 1Hz ergeben und eine Kreisfrequenz von $2*\pi$. Bereits im verlinkten Artikel "Federpendel" wird letztere Defintion verwendet. Die Artikel müssten vereinheitlicht werden, oder ihre Definition von T jeweils explizit aufzeigen. Legt man $T=1/f$ zugrunde müsste die Definitionsgleichung für das PT2 lauten:
${\frac {T^{2}}{4\pi ^{2}}}{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\frac {dT}{\pi }}{\frac {dx(t)}{dt}}+x(t)=K\cdot u(t)$
(nicht signierter Beitrag von 141.130.250.193 (Diskussion) 10:20, 26. Jan. 2015 (CET))

Lösung im Zeitbereich für Schwingfall stimmt nicht

Lösung im Zeitbereich für Schwingfall wäre

h(t)=....arccos(D)

h(t)=... arctan(D) ist nicht richtig.

Autor, bitte korrigieren. Merci

Sprungantwort im aperiodischen Grenzfall

Die Lösung für die Sprungantwort im aperiodischen Grenzfall ist nicht korrekt. Im letzten Summand muss es statt 1/T t/T heissen. Die Fehlerhaftigkeit zeigt schon eine DimensionsBetrachtung: der Faktor vor der Exp-Funktion muss dimensionslos sein, weil er von 1 abezogen wird. (nicht signierter Beitrag von 188.195.255.232 (Diskussion) 23:00, 19. Mär. 2017 (CET))

Überarbeitung des Artikels PT2-Glied

Ich habe den Artikel $PT_{2}$-Glied überarbeitet, weil einige wichtige Details der Eigenschaften nicht erwähnt wurden. Folgende Ergänzungen habe ich durchgeführt:

• Darstellung des Nennerpolynom eines $PT_{2}$-Gliedes,
• Aufstellung der möglichen Laplace-transformierten Eingangssignale,
• Anwendung der Laplace-Korrespondenztabellen,
• Beschreibung der Polstellen des $PT_{2}$-Gliedes als reell, konjugiert komplex,
• Bestimmung der Eigenfrequenz $f_{0}$ der gedämpften Schwingung,
• Periodendauer $T_{0}$ des gedämpften Schwingungsverlaufs,
• Bildung der Übertragungsfunktion aus einer gegebenen Grafik einer Sprungantwort,
• Grafikbilder für Sprungantworten 0<D<1; D=0; D-<0 dargestellt,
• Kommentar zum Verlauf $y(t)$ für $D<-0$ eingetragen, Gleichung des Zeitverhaltens berechnet.
• Methoden der Berechnung des Zeitverhaltens von Übertragungsgliedern aufgestellt.
• Erklärungen zum Bodediagramm und zur Ortskurve erweitert.

--HeinrichKü (Diskussion) 12:44, 5. Jul. 2017 (CEST)

Abschnitt: Identifikation eines nichtschwingenden PT2-Gliedes aus der Sprungantwort

Ich habe die von dem nicht eingetragenen Benutzer WeichingK ergänzten Gleichungen der algebraische Methode der Identifikation eines $PT_{2}$-Gliedes

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{(T_{1}\cdot s+1)\cdot (T_{2}\cdot s+1)}}$ aus der Sprungantwort nachgerechnet.

Simulation einer relativ genauen Sprungantwort eines $PT_{2}$-Gliedes mit Soll-Zeitkonstanten:

Dafür habe ich folgende Zahlenwerte angenommen: Verstärkung $K=1$, für den ungünstigsten Fall soll die Übertragungsfunktion durch 2 gleiche Soll-Zeitkonstanten $T_{1}^{*}=T_{2}^{*}=2[s]$ betragen. Durch die numerische Berechnung der normierten Sprungantwort mit diesen Daten werden für $y_{25}$ und $y_{75}$ die zugehörigen Zeitwerte $t_{25}$ und $t_{75}$ ermittelt.

Die Simulation der Sprungantwort dieses Systems erfolgte mit Differenzengleichungen nach dem Euler-Verfahren mit einer Auflösung von $\Delta t=0,001$ [s]. Damit ergaben sich folgende Zahlenwerte:

• Für $y_{25}=0,2501$ ergibt sich ein Zeitwert $t_{25}=1,922\ [s]$.
• Für $y_{75}=0,7499$ ergibt sich ein Zeitwert $t_{75}=5,385\ [s]$.

Anwendung der angegebenen Formeln zur Ermittlung der Zeitkonstanten:

Die Hilfsgrößen $r;P,X$ wurden mit Hilfe der Tabellenkalkulation (Berechnung mit hoher Stellenzahl) errechnet. Damit ergaben sich folgende Werte der Hilfsgrößen:

$r=0,35691,\ P=1,30465,\ X=0,865456$

Ergebnis der Ermittlung der Zeitkonstanten:

$T_{2}=2,26514,\ T_{1}=1,73620$

Dieses scheinbar ungenaue Ergebnis mit den Abweichungen gegenüber den Soll-Zeitkonstanten $T_{2}^{*}$ um ca. 13 % und $T_{1}^{*}$ um -13 % zeigte sich dennoch als brauchbar, weil das Ergebnis der Zeitkonstanten gegenüber den Soll-Zeitkonstanten eine Besonderheit aufweist.

$T_{2}^{*}+T_{1}^{*}=T_{2}+T_{1}\quad |$ Gilt für einen Bereich von maximal 20 % der kleineren Zeitkonstante $T$.

Die Darstellung des grafischen Verlaufs der Sprungantworten (Soll-Zeitkonstanten und errechnete Zeitkonstanten) im y(t)-Diagramm mit den Abmaßen 10 cm * 10 cm ist praktisch deckungsgleich.

Es werden weitere Maßnahmen empfohlen:

• Überarbeitung dieses Abschnitts.
• Die in den Gleichungen angegebenen Faktoren (Konstanten) mit bis zu 7 Ziffern mit 5 Dezimalstellen sind viel zu hoch und damit umständlich zu berechnen. Durch Nachrechnung mit gekürzter Stellenzahl auf 4 Ziffern einschließlich der Dezimalstellen ergaben sich Werte der Zeitkonstanten von:

$T_{2}=2,266\ [s]$ und $T_{1}=1,737\ [s]$, welche akzeptabel sind.

• Es existieren noch andere Identifikationsverfahren, die kurz genannt werden sollten.

--HeinrichKü (Diskussion) 13:20, 6. Aug. 2018 (CEST)

Resonanzfrequenz

Wichtig wäre noch die Berechnung der Resonanzfrequenz, da sich diese von der gedämpften Eigenkreisfrequenz unterscheidet (s. https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-a-zeitkontinuierliche-signale-und-systeme/uebertragungsglieder-der-regelungstechnik/zusammengesetzte-uebertragungsglieder/pt2-glied.html)

Gut wäre es, wenn der grob Lösungsweg (Ableitung bilden und dann extremwert berechnen!) auch gezeigt wird. (nicht signierter Beitrag von Iljsta (Diskussion | Beiträge) 13:44, 17. Jul. 2019 (CEST))

Bestimmung der Sprungantwort eines ungedämpften $PT2_{kk}$-Gliedes mit konjugiert komplexen Polen

Man unterscheidet bei gedämpften und ungedämpften Übertragungssystemen:

• ${\omega _{0}}$ = Kennkreisfrequenz des ungedämpften Übertragungssystems.
• ${\omega _{d}}$ = Eigenkreisfrequenz des gedämpften Übertragungssysstems.
• Die Eigenkreisfrequenz ${\omega _{d}}$ eines gedämpften Übertragungssystems und deren Schwingamplituden sind stets kleiner als die Kennkreisfrequenz ${\omega _{0}}$ und deren Schwingamplituden des ungedämpften $PT_{2}$-Gliedes.

Die Übertragungsfunktion eines ungedämpften $PT2_{KK}$-Gliedes mit $D=0$ und willkürlich angenommenen Zahlenwerten für den Koeffizienten ${\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}=T=0,25$ und Verstärkungsfaktor $K=1$ lautet:

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {K}{{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}\cdot s^{2}+1}}={\frac {K}{T^{2}\cdot s^{2}+1}}={\frac {K}{0,25\cdot s^{2}+1}}$

Sprungantwort eines ungedämpften PT2-Gliedes
$G(s)={\frac {1}{0,25\cdot s^{2}+1}}$

Bestimmung der Schwingfrequenz ${f_{0}}$ aus der Kennkreisfrequenz ${\omega _{0}}$ des ungedämpften Systems bei gegebenen Zahlenwerten:

Gegeben: Normierter Eingangssprung $u(t)=1$.

${\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}=0,25$

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {1}{0,25}}}=2$

$\omega _{0}=2=2\cdot \pi \cdot f_{0}$

• Schwingfrequenz $f_{0}={\frac {2}{2\cdot \pi }}=0,318$ [Hz}
• Periodendauer $T_{0}={\frac {1}{f_{0}}}=3,142$ [s]
• Ausgangssignal: Sprungantwort $y(t)$ mit maximaler Amplitude = 2; mit minimaler Amplitude = 0

Ich hoffe, dass diese Darstellung verständlich genug ist. Gruß --HeinrichKü (Diskussion) 09:16, 6. Sep. 2019 (CEST)