Diskussion:Peano-Arithmetik

Namengebung?

Wieso nennt man so etwas Peano-Arithmetik, wenn Peano nachweislich keine solche Arithmetik hatte? Wer tut denn so etwas und unterstellt Peano solch ein verrücktes Axiomenschema? Das sollte doch mindestens im Artikel genannt sein. Besser wäre es aber, den unqualifizierten Artikel sofort zu löschen.--Wilfried Neumaier 05:44, 10. Jul. 2010 (CEST)

Ebbinghaus, Flum, Thomas tun das meines Wissens (leider habe ich das Buch nicht da). Die englische Wikipedia en:Peano axioms schreibt:

A weaker first-order system called Peano arithmetic is obtained by replacing this second-order induction axiom with a first-order axiom schema.

und

The second-order axiom of induction can be transformed into a weaker first-order induction schema; the first eight of Peano's axioms together with the first-order induction schema form a first-order axiomatization of arithmetic called Peano arithmetic (PA).

-- Digamma 10:51, 10. Jul. 2010 (CEST)

Wer ist es genau? Das sollte belegt werden. Der englische Artikel genügt nicht. Dort gibt es keine einzige Referenz auf ein Buch oder einen Artikel. Das könnte auch die Autoren unsachgemäß gekürzt haben. Beim Googeln mit den Stichworten "Ebbinghaus" und "Peano-Arithmetik" ist mir zunächst nur der Begriff "Peano-Arithmetik erster Stufe" begegnet. Der wäre akzeptabel, weil man dann genau sieht, worauf es den Autoren ankommt. Ich bin daher nicht überzeugt, das "man" das so nennt.--Wilfried Neumaier 14:03, 10. Jul. 2010 (CEST) Mir ist nämlich beim Nachprüfen dieser Stichworte sehr, sehr deutlich aufgefallen, dass "man" unter "Peano-Arithmetik" die übliche Arithmetik mit den Peano-Axiomen meint. Ich bin also nach wie vor der Meinung, dass der Artikel unqualifiziert ist. Ich stelle aber erst einen offiziellen Löschantrag, wenn hier nichts geschieht.--Wilfried Neumaier 14:16, 10. Jul. 2010 (CEST)

Vielleicht sollte man den Artikel einfach umbenennen, um es klar zu stellen, in "Peano-Arithmetik der Logik der ersten Stufe" oder ähnlich. Das erster-Stufe-Axiomensystem PA ist auf jeden Fall relevant, deshalb sollte man den Artikel nicht löschen. -- Digamma 15:01, 10. Jul. 2010 (CEST)

Ja! Könntest Du das machen. Ich würde aber für Kürze plädieren und "Peano-Arithmetik erster Stufe" vorschlagen, so wie ich es auch beim googeln gefunden habe. Das reicht z-ur deutlichen Kennzeichnung aus; dass es eine Logik ist ja klar. Trotzdem hätte ich gerne auch eine gute Referenz im Artikel.--Wilfried Neumaier 08:35, 11. Jul. 2010 (CEST) Ich werde nach der Umbennenung im Artikel über natürliche Zahlen die ausgelagerte Bemerkung einbauen und neu verlinken. --Wilfried Neumaier 09:00, 11. Jul. 2010 (CEST)

Google mit dem Stichwort "Peano-Arithmetik erster Stufe" und Du siehst sofort, das das die gängige Bezeichnung ist.-Wilfried Neumaier 09:51, 11. Jul. 2010 (CEST)

Der Link liefert gerade mal im Wesentlichen 4 Treffer. Ich finde den Namen trotzdem richtig und angebracht. -- Digamma 11:13, 11. Jul. 2010 (CEST)

Gegenvorschlag: Wir bauen den Artikel aus zu einem Artikel mit Namen "Peano-Axiome", der die Peano-Axiome in den verschiedenen Versionen vorstellt und diskutiert (mit Geschichte):

1. Nach Peano
2. Mengentheoretisch
3. Prädikatenlogik 1. Stufe
4. Prädikatenlogik 2. Stufe

Der entsprechende Abschnitt im Artikel "Natürliche Zahl" kann dann auf das Wichtigste gekürzt werden, mit kleinen Hinweisen darauf, dass es verschiedene Formulierungen der Peano-Axiome gibt. Was hältst Du davon? -- Digamma 11:42, 11. Jul. 2010 (CEST)

Das ist die sinnvollste Lösung. Zuvor: Wie stellst Du Dir die Kürzung aufs Wichtigste vor?--Wilfried Neumaier 12:24, 11. Jul. 2010 (CEST)

Habe gerade Peano-Axiome angelegt und den Abschnitt hier reduziert. --Schreiber ✉ 15:33, 3. Jul. 2011 (CEST)

Die Bezeichnung "Peano arithmetic" (normalerweise abgekürzt als PA, weil es so häufig verwendet wird!) ist im englischen Sprachbereich der Standard. [Google liefert 202000 Treffer, wenn man sucht, was für einen mathematischen Begriff nicht gerade wenig ist.] Der Beleg, der mir am schnellsten in die Finger gekommen ist, ist das "Handbook of Mathematical Logic" (Hsg. J.Barwise, Amsterdam 1977), wo der berühmte Aufsatz von J.Paris und L.Harrington den Titel trägt: "A mathematical incompleteness in Peano Arithmetic". Insofern ist es nicht so abwegig, wenn man die Bezeichnung auch im Deutschen verwendet.

Wichtiger ist: Non-Standardmodelle von PA haben nichts mit der Unvollständigkeit zu tun! Die verschiedenen Versionen des Löwenheim-Skolem-Theorems gelten für beliebige (natürlich auch vollständige) Theorien der Logik erster Stufe, für die es ein unendliches Modell gibt! Ich habe das mal vorläufig korrigiert. --Mini-floh 18:57, 25. Jan. 2012 (CET)

Willst Du den Artikel in "Peano Arithmetic" umbenennen, oder meinst Du etwas anderes? "Peano-Arithmetik" gibt 35.600 Ergebnisse, darunter Vorlesungsskripte u.Ä., während ich bei "Peano Arithmetic" + Seiten auf deutsch nur Zitate englischer Arbeiten auf deutschen Seiten sehe. Insofern scheint mir das nicht so sinnvoll. ("Nichts zu tun" würde ich nicht sagen, aber deine neue Formulierung ist natürlich viel adäquater.) Grüße--Schreiber ✉ 23:39, 25. Jan. 2012 (CET)

oK. Fiel mir hinterher auch ein. Natürlich folgt aus der Unvollständigkeit sogar, dass es Nicht-Standardmodelle gibt, die nicht elementar äquivalent sind, aber da ich das nicht auf der Artikel-Seite geschrieben hatte, hielt ich es nicht für notwendig, das nochmal zu korrigieren.

Mein Ziel war eigentlich, die Diskussion über "Namensgebung" (vgl. Überschrift des Abschnitts) abzuschließen, die ja sogar in einem Löschungs-Vorschlag gipfelte. Sie ist hier etwa so angebracht, wie eine Diskussion, warum man die "Euklidische Geometrie" nach Euklid benennt. Ich möchte den Artikel auch nicht umbenennen, und wollte nur auf Folgendes hinweisen: die meisten Aufsätze zum Thema werden auf englisch veröffentlicht (Es wurde in den 70-ern z.B. in Heidelberg erwartet, dass man Dissertationen im Bereich der mathematischen Logik auf Englisch veröffentlichte, "weil sie sonst kaum jemand liest"). Daher verwendet man auch in den auf deutsch veröffentlichten Aufsätzen meist Ad-hoc-Eindeutschungen englischer Terme. Aufgrund meiner "mathematischen Sozialisation" in solch einer Umgebung habe ich es oft schwer, die in Wiki verwendeten Begriffe zu finden. Ich untersuche z.B. in Augenblick immer noch, ob es wirklich keinen Artikel zum Begriffsbereich "Elementare Erweiterung"/ "Elementare Substruktur" in Wiki gibt, da ich es vermeiden will, Doppelungen herzustellen. Ich weiß nicht, ob sich das Gesuchte vielleicht unter einem anderen Titel versteckt? [Es gibt einen Rotlink zum Thema, den ich bearbeiten wollte.]

Bei manchen Stichworten ist wahrscheinlich eine Weiterleitungsseite angebracht. Bei "PA" ist dies wohl überflüssig, weil die Änderung des letzten Buchstabens nahe liegt und über die Suche leicht zu finden ist.

--Mini-floh 10:28, 26. Jan. 2012 (CET)

Der Namensstreit entstand doch aus der Frage, ob es richtig ist, mit "Peano-Arithmetik" die Peano-Arithmetik der ersten Stufe zu bezeichnen, oder ob die Bezeichnung allgemeiner ist und alle Versionen der Arithmetik, die auf Peanos Axiomen aufbauen meint, also insbesondere die mengentheoretische Version und die Version in der Logik zweiter Stufe. Die Aussage, dass "Peano Arithmetik" der am häufigsten gebrauchte Begriff ist (im Vergleich wozu eigentlich?) hilft nicht, diese Frage zu beantworten, solange man nicht auch schaut, was damit jeweils gemeint ist. --Digamma 22:10, 26. Jan. 2012 (CET)

Prädikatenlogik und Aussagen über Mengen

Im Artikel steht:

"Da in der Prädikatenlogik erster Stufe keine Aussage über Mengen von Objekten möglich ist, ..."

Das scheint mir irreführend (bzw. strenggenommen sogar falsch) zu sein, auch wenn hier versucht wird, einen korrekten Punkt auszudrücken.

Warum es irreführend (bzw. falsch) ist: Es gibt keinen Grund, warum im Wertebereich eines Quantors der Prädikatenlogik nicht auch Mengen enthalten sein dürften. Nicht zuletzt auf Wikipedia werden ja in vielen Einträgen zur Mengenlehre entsprechende prädikatenlogische Ausdrücke verwendet um über Menge zu sprechen. Beispielsweise wird "A ist eine Teilmenge von B" definiert als:

$\forall x\,(x\in A\rightarrow x\in B)$

Hier muss aber erlaubt sein, dass im Wertebereich von $\forall x$ auch Mengen vorkommen dürfen, schließlich können auch Mengen in Mengen enthalten sein. Sprich: Hier wird mit prädikatenlogischen Mitteln eine Aussage über Mengen gemacht.

Was vermutlich eigentlich gemeint ist (dies wäre eine semantische Interpretation): In der Prädikatenlogik gibt es keine Variablen, die über Teilmengen des Wertebereiches laufen. Oder vielleicht (syntaktische Interpretation): In der Prädikatenlogik gibt es keine Variablen, die syntaktisch in Prädikatposition stehen. Oder beides (da ja auch de facto beides der Fall ist). --87.77.176.165 16:33, 23. Nov. 2023 (CET)