Diskussion:Planarer Graph

Im Artikel steht unten: "Ein planarer Graph kann höchstens 5-fach zusammenhängend sein." Ich bekomme aber nur 4 hin (wie oben auf der Grafik K_4); das geht wohl auch nur auf eine einzige Art und Weise. Meine Vorgehensweise baut auf dem 4-fachen auf und ich versuche in eine beliebige vorhandene Fläche einen Knoten einzufügen, was aber nicht gelingt, da ich mindestens eine Linie vom K_4 weglassen müsste und damit wäre der Graph nicht mehr planar.--Hand der Rose 1. Jul 2005 14:50 (CEST)

Eine Suche bei Google nach >>"5-connected planar graphs"<< liefert einige Treffer, die die Eigenschaften dieser Graphen beschreiben. Mußt also noch ein bißchen probieren (oder in [1] nachgucken]). MlaWU 1. Jul 2005 20:26 (CEST)

Habe lange gesucht, aber immernoch kein Bild davon gefunden. Wer hat ein Bild von einem K_5 oder gibt mir eine "Malanleitung"? Ich kann mir immer noch nicht vorstellen, dass der existiert. --Hand der Rose 4. Jul 2005 11:09 (CEST)

$K_{5}$ ist nicht planar (und neben $K_{3,3}$ laut Kuratowski das einzige Planaritätshindernis). Es geht in der kritisierten Ussage aber auchgar nicht um den $K_{5}$, sondern um 5-fachzusammenhängende Graphen.--Hagman (Diskussion) 22:51, 16. Aug. 2012 (CEST)

Knotenanzahl + Gebietsanzahl = Kantenanzahl + 2 ?

Ich komme bei der "Planaren Zeichnung des K4" immer nur auf Knoten + Gebiete = Kanten + 1. 4 Knoten + 3 Gebiete=Flächen? = 6 Kanten + 1 Sehe ich das falsch? Ist vielleicht ein Gebiet hier keine Fläche?

Meine laienhafte Information ist, dass in der Ebene immer gilt Ecken + Flächen - Kanten = 1. (siehe auch Hans-Magnus Enzensberger: Der Zahlenteufel, S. 202ff)

Achim Ackermann

Hast du das äußere Gebiet mitgezählt? --Koethnig 09:03, 16. Feb 2006 (CET)

Danke, dann stimmt's wieder.

Achim Ackermann

Außerplanar?

Kreisartig planar ist eine merkwürdige Übersetzung von "outerplanar". Google findet etwa 10x mehr Treffer für "außerplanar" als für "Kreisartig planar". Ein Baum ist ja z.B. auch außerplanar. Aber warum soll er "kreisartig" planar sein?

Günter Rote

Kreisartig Planar finde ich bildlich gesehen zwar ganz gut, allerdings denke ich auch, dass man die wörtliche Übersetzung aus dem Englischen bzw. die meistgebrauchte Bezeichnung zumindest in Klammern dahinter schreiben sollte (sofern hier auf jeden Fall das gleiche gemeint ist). --Pamtrs 14:27, 25. Nov. 2008 (CET).

Nachtrag: Außerdem heißt es auch oft "Außenplanar" --Pamtrs 16:08, 25. Nov. 2008 (CET)

Kugeloberfläche?

Also ich finde es nicht trivial ersichtlich, dass auf der Kugeloberfläche die gleichen Planaritätseigenschaften gelten wie in der Ebene. Wie kann man das anschaulich zeigen oder gar beweisen? --RokerHRO 13:13, 4. Mär. 2010 (CET)

Eigentlich ganz einfach: Sphäre minus ein Punkt ist homöomorph zur Ebene. Jede Einbettung in die Ebene wird so zu einer Einbettung in die Sphäre. Umgekehrt wird aus jeder nicht-surjektiven Einbettung in die Sphäre durch Wegnehmen eines nicht getroffenen Punktes eine Einbettung in die Ebene. Jetzt der schwierige Teil: Warum kann eine Einbettung nicht surjektiv sein?--Hagman (Diskussion) 22:35, 16. Aug. 2012 (CEST)

"Planarität" auf anderen Topologien

Wie sieht es mit anderen Topologien aus, also die üblichen Verdächtigen Möbiusband und Torusoberfläche? --RokerHRO 13:13, 4. Mär. 2010 (CET)

Verzeiht meinen laienhaften Einwand. Aber ich habe mir Gedanken dazu gemacht und bin zu dem Schluss gekommen, bei einem Torus ändert sich der Sachverhalt in entscheidenden Punkten. Während es auf einer Ebene, unendlichgroßen Ebenen oder Kugel nicht möglich ist, ein planaren Graphen mit 9 Kanten und 6 Knoten Planar darzustellen, funktioniert dies auf einem Torus. Das kann man zeichnerisch sehr rasch darstellen. Ich habe dazu einfach ein Loch in die Mitte eines Blatt Papiers gemacht, in Ermangelung eines Torus, und zeichne über die Kanten hinweg auf der Rückseite. Mit diesem Trick lässt sich dann auch das Rätsel lösen, bei dem drei Häuser mit drei Ressourcen versorgt werden sollen, ohne dass die Verbindungswege sich dabei überschneiden. Vielleicht irre ich mich ja auch, denn von Mathematik hab ich so gut wie keine Ahnung. Aber ich finde es lässt sich anhand dieses Beispiels leicht nachvollziehen was ich zu sagen versuchte. Oder? --Yt (Diskussion) 15:19, 10. Apr. 2014 (CEST)

"Knotenzahl + Gebietszahl − Kantenzahl = 2" scheint falsch zu sein

ich komme immer auf 1

Gruß (nicht signierter Beitrag von 91.38.169.241 (Diskussion) 13:20, 15. Aug. 2010 (CEST))

Nehmen wir den K₃, also ein gleichseitiges Dreieck: 3 Knoten, 2 Gebiete (innen und außen), 3 Kanten: 3+2-3=2. Hast du das Außengebiet vergessen? --RokerHRO 14:25, 15. Aug. 2010 (CEST)

im Artikel verw. Datei:Kreisartigplaettbar.png

Bitte Datei_Diskussion:Kreisartigplaettbar.png beachten und evtl. antworten und/oder reagieren. Gleichzeitig geschah diese Dateibeschreibungsänderung: Versionsvergleich Viele Grüße --Saibo (Δ) 00:48, 10. Dez. 2010 (CET)

Die Antwort dort scheint zuzutreffen. Deckt sich auch mit der Definition im Artikel. Ich passe die Bildunterschrift hier an. --Zahnradzacken 16:23, 10. Dez. 2010 (CET)

letzter Abschnitt

1. #Ecken - #Kanten + #Flächen = 2 gilt wenn der Graph eben ist. Planar nach obiger Definition genügt nicht. Schließlich kann ein planarer Graph genauso auf zB dem Torus eingebettet sein und da gilt das ja nun nicht mehr.

2. Die Gleichung #Kanten kleiner/gleich 3(#Ecken-2) scheint mir auch falsch zu sein. Soll auch hier der Graph ebven sein, was die Implikation vermuten lässt, so folgt aus dieser zweiten Gleichung #Flächen kleiner/gleich 2(#Ecken-1) Das ist aber nicht i.A. wahr: Man denke sich einen Punkt und eine Kante von diesem Punkt zu ihm selbst. Das gibt zwei Flächen, eine Ecke und eine Kante.

-- Marialda (Diskussion) 12:13:2012, 13:16 UTC

In der Tat hat ein planarer Graph gar keine Flächen, nur ein ebener Graph hat diese.--Hagman (Diskussion) 22:36, 16. Aug. 2012 (CEST)

Zu 2.: Die Definition eines ebenen Graphen beinhaltet, dass jede Kante ein Polygonzug zwischen zwei Ecken ist. Ebene Graphen sind demnach Schleifenfrei. Zudem könnte man m.M.n.sonst unendlich viele Schleifen an eine Ecke entspringen (und enden) lassen, damit wäre die Kantenmenge aber nicht mehr endlich, was ebenfalls der Definition von ebenen Graphen widerspricht. LG --88.74.38.25 15:34, 30. Jul. 2013 (CEST)

Eulersche Polyederformel für die Ebene

Obwohl die meisten Laien wohl das vergessen das äußere Gebiet mitzuzählen, ist der Satz m.M.n. trotzdem falsch wenn man nicht vorraussetzt, dass der Graph zusammenhängend ist!

Gegenbeispiel ist ein K_3 in dessen innerem Gebiet ein weiterer K_3 liegt, es gibt aber keinen Weg zwischen den Ecken beider K_3. Dann sinds 6 Ecken, 6 Kanten, aber 3 Gebiete. --88.74.38.25 11:58, 30. Jul. 2013 (CEST)

Habe das mal ausgebessert, der Artikel sollte sowieso mal dringend generalüberholt werden. Wo ist der Satz von Fary erwähnt? Was ist mit Quellen? --Andreschulz (Diskussion) 14:40, 30. Jul. 2013 (CEST)