Diskussion:Polynomdivision

Frage zum einer simplen Aufgabe

Ich hätte da mal eine kleine Frage zu folgender Aufgabe: (die großen Ziffern entsprechen der Indexierung, also r1 ist r-eins und NICHT r-mal-eins) Also: (r1²-r2²) : (r1-r2) .... Kommen da r1+r2 raus? viele Grüße --Xfear91 19:32, 8. Apr. 2008 (CEST)

Hey! Grundsätzlich bin ich der Überzeugung, dass hier die falsche Plattform ist, um solche Fragen zu stellen. Trotzdem zu deiner Frage. Ich habe nicht ganz begriffen was du gemeint hast mit deinen "r"'s und "..." und ":" Hast du fragen wollen, ob folgende Gleichung stimmt?

(a^2-b^2)/(a-b)=(a+b)

Sie stimmt. Dafür gibt Taschenrechner (z.B. TI-89) mfg sophieb -- Sophieb 00:08, 6. Aug. 2010 (CEST)

Multivariate Polynome

Was ist eigentlich mit multivariaten Polynomen. Gibt es dazu nicht auch einen passenden Algorithmus?

Polynome mit Rest

Ich hätt da mal eine Frage, was muss mann machen, damit ein Rest bei der Division rauskommt? Es wäre nett, wenn mir jemand diese Frage beantworten kann

Ein Polynom nehmen, das nicht restlos aufgeht. In der Praxis wird man es wohl häufig mit Polynomen zu tun haben, die "krumm" sind, also keine Bilderbuchnullstellen haben. Die haben auch meistens kein Schild umhängen: Hallo, eine meiner Nullstellen ist Eins! Wenn man hier probehalber mit x-1 teilt, kriegt man einen Rest. --Philipendula 23:17, 14. Dez 2004 (CET)

--> der rest wird, wenns nicht weiter zu teilen geht (auch als asymptote bekannt) einfach mit zum lösungsteil addiert. formal passiert es wie folgt:

x^2-3x+2:(x+2)=45x^2 ... rest: 2x^3-1

man schreibt dann einfach hinter 45x^2 + (2x^3-1 / x+2). keinesfalls einfach wegfallen lassen, oder sonswas damit machen. es gibt methoden, wo der rest nicht gebraucht wird, der rest muss trotzdem immer mit hinter die bestimmte gleichung (45x^2) geschrieben werden, sonst wäre die gleichung flasch.

Struktur ungünstig

Werde mich demnächst Mal mit dieser Artikel befassen. Es ist meiner Meinung nach ungünstig, bei der Beschreibung der Durchführung nicht die Polynomdivision sondern die Lösung einer Gleichung in den Vordergrund zu schieben. So muss man für eine "echte" Polynomdivision auch nicht erst irgend eine Nullstelle finden!

Weiter: Unser LA-Professor hat ein nettes Schema eingeführt mit dem - meiner Meinung nach - die Polynomdivision viel übersichtlicher und fehlerunanfälliger (schönes Wort ^^) ist, da werd ich mal eine Skizze machen.

Gruß, --Prometeus 12:33, 9. Apr 2005 (CEST)

Falls die Editor-Datei die Skizze sein soll, dann ein großes Lob an dich! Die Rechnung darüber ist - glaube ich - sehr schwer verständlich. Mit der Skizze dagegen versteht man's auf Anhieb! Danke!--80.139.235.68 19:10, 22. Mai 2005 (CEST)

(Unterschrift nachgetragen von Gunther 22:57, 22. Mai 2005 (CEST))

In der alten Version des Artikels stand, das Polynomdivision ein Verfahren sei, um Nullstellen weg zu separieren. Schauder. Dabei ist es einfach nur Teilen mit Rest für eine andere Sorte algebraischer Objekte (halt Polynome, statt ganzer Zahlen). --Marc van Woerkom 14:27, 13. Apr 2005 (CEST)

Beispiele

Bei den Beispielen sollten wir ein wenig kürzen. Beide sind schön, aber nach meiner Meinung reicht eines. Ralf Pfeifer 13:35, 26. Mai 2005 (CEST)

Hier ist das Beispiel:

---

--Anwendungsbeispiel--

Angenommen, die Gleichung

x³ + 5x² + 2x - 8 = 0

ist zu lösen und durch Probieren haben wir eine erste Lösung x=1 gefunden. Wir bilden das Binom (x-1) und schreiben: (x³ + 5x² + 2x - 8) ÷ (x - 1) =

Da x³ : x = x² ergibt, entsteht hinter dem Gleichheitszeichen nur noch das quadratische Glied 1x². Damit wird wie beim Schriftlichen Teilen die Klammer (x-1) multipliziert und das entstehende Zwischenergebnis x³-x² von der Ursprungsaufgabe abgezogen. Mit dem Rest wird genauso verfahren:

 (x³ +5x² +2x -8)÷(x-1)= x² +6x +8
-(x³ - x²)
 ----------
 0x³ +6x² +2x -8
-    (6x² -6x)
     ----------
           8x -8
-         (8x -8)
          -------
               0

Die Division ging glatt auf (das muss sie, wenn wir eine Nullstelle herausteilen). Für die anderen beiden Lösungen ist jetzt nur noch die Quadratische Gleichung

x² +6x +8 = 0

z.B. durch Quadratische Ergänzung zu lösen.

---

Bild

Das Bild und die bisherigen Beispiele verwenden zwei verschiedene Konventionen:

• Bisher wurde schon ausmultipliziert, d.h. bei Divisor $x^{2}+1$ und "Zwischenquotient" $4x^{3}$ wird $-4x^{5}$ und $-4x^{3}$ an die passenden Stellen geschrieben.
• Das Bild belässt das Minuszeichen vor der Klammer, im o.g. Beispiel wäre das also $-(4x^{5}+4x^{3})$.

Ich habe keine Ahnung, welche Konvention heutzutage an Schulen gängiger ist (und ob eher die Form p:d=q+r/d oder eher die Form p=d*q+r gelehrt wird). Aber man sollte sich für eine Möglichkeit entscheiden, ansonsten wird die Verwirrung nur noch größer.--Gunther 11:49, 2. Jul 2006 (CEST)

Wenn schon Rastergraphik, dann geht es auch in besserer Qualität:

Bild gelöscht, bessere SVG-Version s.u.

--Gunther 14:46, 2. Jul 2006 (CEST)

• Das Bild "Bild:Polynomdivision TeX PNG Vergleich.png" ist klasse! Können alle Beispiele bitte so sein? An Schulen ist meiner Erfahrung nach genau diese Art gängig. Ich schlage vor, alle Beispiele so zu machen. Wir bräuchten drei, finde ich: mit Rest, ohne Rest ohne Sprung, ohne Rest mit Sprung. "Sprung" bedeutet hier, dass eine Potenz im Dividenden übersprungen wird. -- Hochachtungsvoll Eschweiler 18:34, 2. Jul 2006 (CEST)

Ok. Es gibt jetzt Bild:Polynomdivision 1.svg, Bild:Polynomdivision 2 Sprung.svg, Bild:Polynomdivision 3.svg und Bild:Polynomdivision 3 Anfang.svg. Bitte nochmal die Zahlen kontrollieren, man vertut sich leicht mal. Weitere ähnliche Bilder lassen sich jetzt mit extrem wenig Aufwand erstellen, einfach kurz nachfragen.--Gunther 16:48, 3. Jul 2006 (CEST)

Wunderschön! Danke! Weiter oben schrieb jemand, "ein Beispiel reiche". DAS FINDE ICH NICHT! -- Hochachtungsvoll Eschweiler 18:22, 3. Jul 2006 (CEST)

Baust Du sie noch ein, oder soll ich das machen?--Gunther 21:29, 30. Jul 2006 (CEST)

Diese Diskussion ist jetzt zwar schon einige Jahre her, aber immer noch aktuell, wie ich finde: Ich musste mir gerade Polynomdivision selbst erklären und Wikipedia hat mir da nicht viel geholfen aufgrund der etwas unübersichtlichen Darstellungsweise des Beispiels. Die Website, die auch unter den Weblinks aufgelistet ist, macht das viel besser. Jedenfalls sind die Grafiken von Gunther wesentlich übersichtlicher als das "Haupt"-beispiel und – da sie hier auch offensichtlich alle toll finden – füge ich die Bilder jetzt einfach mal ein! --Römert 15:11, 14. Okt. 2011 (CEST)

Beispiel

Hallo,
also ich finde den Artikel reichlich komplex und relativ unverständlich. ein EINFACHES Beispiel wäre doch nicht schlecht (ohne den ganzen verallgemeinerungs kram); z.B. sowas wie
Suche Lösungen der Gleichung: $x^{3}+3x^{2}+3x+1=0;$ und dann hübsch Schritt für Schritt SchwobaPhysicus 19:36, 18. Feb. 2008 (CET)

Nein! Bitte nicht Kiwi mit Kartoffel verwechseln. Polynomdivision hat zunächst nichts mit dem Lösen von Gleichungen zu tun. Sondern: Für das Lösen von Polynomgleichungen kann z.B. im Fall einer schon bekannten ganzzahligen Lösung a durch Polynomdivision der Linearfaktor (x-a) abgespalten werden. Polynomdivision ist eine allgemeine Grundtechnik der Termumformung und kann auch noch bei vielen anderen Problemen nutzbringend angewendet werden. --Skraemer 17:06, 20. Sep. 2009 (CEST)

Schwer zu verstehen

Die Darstellung macht nicht immer klar, was Vorgaben, Zwischenschritte und Ergebnisse sind. So werden bei den schrittweisen Polynomdivisionen nur Teile des ursprünglichen Faktors „nach unten geführt“ wodurch ein Gewirr an „Zahlen“ (wenn man das mit einer manuellen Division von Zahlen „wie in der Grundschule“ vergleicht) entsteht, das einigermaßen unübersichtlich ist. (Nicht umsonst verwendet man für manuelle Rechnungen auch gerne „Kästchenpapier“.)

Und beispielsweise beim Abschnitt Horner-Schema stellt man nach mehr oder weniger großer Verwirrung irgendwann mal fest, daß der Text nach „Beispiel“ sowohl die Aufgabe als auch die Lösung enthält – weshalb man in der danach folgenden Division durchaus auch länger nach der Quintessenz suchen kann.

Die Autoren sollten sich vielleicht an Personen orientieren, die den angebotenen Stoff tatsächlich anhand des Textes kennenlernen wollen: welche Informationen benötigen diese in welcher Reihenfolge, was verwirrt sie, was würde denen die Informationen zugänglicher machen?

--87.163.83.162 05:00, 20. Sep. 2009 (CEST)

---

ja, bitte! Martinwilke1980 (Diskussion) 16:45, 17. Nov. 2013 (CET)

Hast Du inzwischen den Abschnitt "Horner-Schema" verstanden? Da ist nur ein Zusammenhang erläutert. Es wurde da keine Aufgabe gestellt. Einen mathematischen Text musst Du wie einen Roman lesen, nur viel langsamer da es auf jedes Wort ankommt. Du mußt dann mit Papier und Bleistift versuchen die Dinge nachzumachen und dabei zu verstehen. Dann denkst Du Dir ein eigenes Beispiel aus (z.B. berechne den Funktionswert von $p(x)=2x^{3}-7x^{2}+4x-5$ bei x=4) und versuchst diese Methode anzuwenden. Anschließend machst Du die Probe durch einsetzen (es kommt p(4)=27 heraus). --Skraemer 17:26, 20. Sep. 2009 (CEST)

Links

Ich wüsste gerne warum mein Link wieder gelöscht wurde. Ich könnte jetzt dutzende Seiten aufzählen bei denen solche Links dabei stehen. Exemplarisch sei hier Erweiterter euklidischer Algorithmus erwähnt. Der Verweis auf eine Seite mit der das Beschriebene (wie hier Polynomdivision) berechnet werden kann erleichtert Fundamental das Verständnis und ist eine wichtige Ergänzung zum Thema. Die vom mir verlinkte Seite ermöglicht das Überprüfen eigener Lösungen und das Generieren von Übungsaufgaben. Gerade in der Mathematik ist es Lebensnotwendig solche Dinge selbst zu üben. Da aus technischen Gründen solche Script nicht in Wikipedia selbst integriert werden können ist der externe Link meiner Meinung nach gerechtfertigt. Im Übrigens finde ich das Löschen von Änderungen ohne Kommentar und Begründung nicht so nett. --Pinetik 14:43, 29. Sep. 2009 (CEST)

Ich finde solche Links nicht weiterführend. Sie geben keine weitere Erläuterung zum Lemmainhalt. Ausserdem gibt es auch noch andere Programme, die das Problem lösen. Deshalb ich den Link rausgenommen, --He3nry Disk. 14:30, 29. Sep. 2009 (CEST)

Für mich sind diese Links sehr Fundamental, weil theoretisch zu wissen wie es geht ist nur der halbe Spaß. Was an der Seite schön ist das die wichtigen Rechenschritte einzeln erklärt werden, sogar in Textform. Leider ist die Polynom-Größe auf x^100 beschränkt, das ist bei Wolfram|Alpha besser. Dort fehlen jedoch die Einzelschritte, darum habe ich diese Seite genommen. Das es andere Seiten gibt die so etwas auch machen finde ich nicht das Argument. Den Link durch eine bessere Seite ersetzen oder ergänzen kann man ja immer noch. --Pinetik 14:44, 29. Sep. 2009 (CEST)

Den entfernten Link finde ich gut und bin für behalten. Eine Seite, die exemplarisch Beispiele durchrechnen kann und diese auch erklärt, hat mMn einen weiterführenden Nutzen - nämlich den, dass Quereinsteiger das Verfahren an ihrem konkretem Beispiel sehen. Erfahrungsgemäß brauchen Nichtmathematiker das ja und hier haben wir es noch dazu mit einem nicht ganz trivialen Thema zu tun. Die Seite ist auf deutsch, werbefrei und erzeugt eine auf den ersten Blick ausführliche Ausgabe. Damit erfüllt sie fast alle Kriterien von WP:WEB. Als Manko bleibt da nur die Javascriptabhängigkeit. -- Pberndt _(DS) 21:55, 30. Sep. 2009 (CEST)

Ok, ich hab den Link nun wieder reingenommen. --Pinetik 16:06, 12. Okt. 2009 (CEST)

Hab mit dem Sichten jetzt extra 2 Tage gewartet, aber anscheinend hat die Seite sonst niemand in der Beobachtungsliste bzw. hierzu ne Meinung. Auch gut. -- Pberndt _(DS) 18:52, 14. Okt. 2009 (CEST) _{Ps. dass ich einen Link, der ohne JS auskommt, bevorzugen würde, bleibt davon aber unberührt :) Also gerne ersetzen... -- Pberndt (DS) 18:53, 14. Okt. 2009 (CEST)}

Genau dann vs. genau dann immer

..das sind schon zwei verschiedene Aussagen, denn wir betrachten ja verschiedene Polynome und nicht nur eines. Daher habe ich das erst mal revertiert. Da ich mich darüberhinaus nicht weiter mit der Aussage beschäftigt habe, sollte sich das vielleicht doch noch mal jemand anschauen, was denn nun stimmt. -- Pberndt _(DS) 17:16, 22. Mai 2010 (CEST)

Aus dem Artikel: "... , wenn der Leitkoeffizient des Divisors q(x) eine Einheit im Grundring ist. [1] Das ist genau dann immer der Fall, wenn der Grundring gleichzeitig auch ein Körper ist. [2] Über allgemeinen Grundringen muss das jedoch nicht immer der Fall sein. ..."

Ok, wenn du es so interpretierst macht der ganze Satz keinen Sinn mehr. [1] sagt, dass es "genau dann" immer der Fall ist, wenn der Grundring ein Körper ist. "Genau dann" bedeutet im gegenteiligen Fall, also dann wenn der Grundring kein Körper ist, dass die Aussage "nicht immer" zutreffen muss. Wenn der Grundring kein Körper ist, muss! es also mindestens einen Fall geben, bei dem der Leitkoeffizient des Divisors q(x) "keine" Einheit ist. Und dieser Aussage, widerspricht jetzt der darauf folgende Satz [2], der ja sagt, dass es nicht sein muss, was so viel bedeutet, dass es sein kann. -- Nutzer142 12:29, 23. Mai 2010 (CEST)

Ist was dran. Ein Fehler ist also auf jeden Fall drin, nur wie lautet die Aussage richtig? (Habe grade kein passendes Buch zur Hand…) -- Pberndt _(DS) 12:39, 23. Mai 2010 (CEST)

Schreckliches Beispiel!

Hm eigentlich sagt die überschrift alles. Ich finde das Beispiel als Mathe versteher schon ziemlich umständlich und unübersichtlich dargestellt. Da finde ich das Beispiel weiter oben wesentlich besser ;) -- Gruss 95.118.142.56 15:30, 29. Sep. 2010 (CEST)

"durch einander"?

Hmm, im Einleitungssatz wurde das "durcheinander" auseinandergerissen. Ich kann mir vorstellen, dass das gemacht wurde, um es nicht mit einem Durcheinander (wie Chaos) zu verwechseln, aber es sieht doch irgendwie arg falsch aus, wenn man es so schreibt. Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher. Ein Rechtschreibprofi anwesend? --Qali_Disk 11:56, 31. Okt. 2011 (CET)

Laut Duden gibt es „durcheinander“ so als Substantiv und als Adverb, jeweils mit der Unordnung als Bedeutung. Demnach plädiere ich auf die getrennte Variante. (Quelle) -- pberndt _(DS) 14:38, 31. Okt. 2011 (CET)

+1--Kmhkmh 13:57, 1. Nov. 2011 (CET)

Na gut^^ Es gibt nicht zufällig auch "durch einander" im Duden? --Qali_Disk 21:26, 5. Nov. 2011 (CET)

Ja gibt es, allerdings in Form getrennter Worte ("durch" und "einander"), so wie sie hier auch verwendet werden.--Kmhkmh 21:35, 5. Nov. 2011 (CET)

Wie kommt man drauf? Grundüberlegungen? Historie?

Irgendwer muss das ja mal rausgefunden haben. Was hat der sich dabei gedacht? So ganz offensichtlich, dass man einfach Funktionen durcheinander teilen kann, ist das ja nicht. Und es wird ja wohl auch einen Beweis geben, dass die Lösung eindeutig ist. Das fehlt irgendwie alles im Artikel, so eine grundlegende historisch-mathematische Einordung: "wer hat es wann und warum erfundne/entdeckt und wie hat er es bewiesen?" --2003:DE:F15:1A00:ADAA:DD83:F985:F58E 20:39, 26. Apr. 2022 (CEST)

Begriffsklärung: Polynomdivision vs. Standard-Verfahren zur Polynomdivision

Meines Erachtens werden hier zwei Begriffe nicht richtig voneinander getrennt bzw. synonym verwendet: Nämlich einerseits die Operation des Dividierens zweier Polynome (also: Ich habe zwei Polynome und möchte das eine durch das andere Teilen) und andererseits das Standardverfahren zur Durchführung dieser Division (analog zur schriftlichen Division, wie man sie in der Grundschule kennenlernt, auch "Divisionsalgorithmus" (engl. "long division") genannt). In der Einleitung wird das Verfahren mit der Polynomdivision gleichgesetzt, weiter unten wird aber mit dem Horner-Schema ein weiteres Verfahren zur Polynomdivision angegeben.

Ich halte diese Vermischung der Begrifflichkeiten für unglücklich. Aus mathematischer Sicht spricht eigentlich alles dafür, die Operation als Polynomdivision zu bezeichnen, denn dem Wortlaut nach ist eine Polynomdivision genau das: Eine Division von Polynomen. Diese ist natürlich unabhängig vom Verfahren.

Mit ist klar, dass im schulischen Kontext der Divisionsalgorithmus als "Polynomdivision" bezeichnet wird. Das geschieht vermutlich aus Vereinfachungsgründen, hat aber zur Folge, dass die Schüler diesen einfach abarbeiten ohne zu verstehen, dass die eine tatsächliche Divisionsaufgabe durchgeführt haben (Vermutlich können die meisten konzeptuell ohnehin nicht greifen, was es bedeutet, Polynome zu dividieren).

Ich würde mich über einen Austausch hier zu dieser Thematik freuen als Basis, um dann ggf. Anpassungen (oder auch nicht) am Artikel vorzunehmen. --Mathze (Diskussion) 23:07, 5. Jun. 2024 (CEST)