Diskussion:Quotientenkriterium

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Divergenz

Existiert jedoch ein Index N sodass

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1$

für alle $n\geq N$, so divergiert die Reihe, da die Glieder dann keine Nullfolge bilden können.

die Betragszeichen sind glaub´ falsch. Für eine alternierende harmonische Reihe $(a_{n})_{n}$ gilt, dass $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ konvergiert, z.B. für $a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}$ . Ich lösche die Betragszeichen eben. Also dann konvergiert das erst recht, aber es wird mit dem Quotientenkriterium aber auch nur ein hinreichendes Kriterium fuer Konvergenz gegeben, aber kein notwendiges. Natuerlich reicht es wenn die Abschaetzung fuer fast alle n gilt, also fuer alle bis auf endlich viele.

--Demus wiesbaden 22:45, 18. Sep. 2007 (CEST)

Für die alternierende harmonische Reihe ist zwar der Limes der Quotienten, gleich 1, aber der Quotient ist stets kleiner 1. --NeoUrfahraner 07:02, 17. Nov. 2008 (CET)

Muss in dieser Formel nicht das $\geq 1$ durch ein > ersetzt werden? Gegenbeispiel für die obige Formel wäre die Folge (an)=c, also die Konstante Folge. Die Konstante Folge konvergiert (zum Wert c) und der Quotient aus zwei aufeinander folgenden Folgengliedern ist immer genau 1. Siehe dazu auch die Diskussion zum nächsten Abschnitt. -- 188.193.155.31 12:12, 25. Mär. 2012 (CEST)

Aber es geht hier doch um die Konvergenz der Reihe: Wenn die a_n konstant sind (ungleich 0), dann ist doch die Reihe über die a_n divergent. -- HilberTraum (Diskussion) 10:21, 26. Mär. 2012 (CEST)

Quotient gleich 1

Ich glaube der Artikel ist zu einem ziemlich großen Teil falsch. Es wird immer gesagt, dass es reicht wenn alle Folgeglieder von einem bestimmten Glied an kleiner als 1 ist, aber das reicht ja eig nicht wie das Beispiel der harmonischen Reihe zeigt. Der Grenzwert muss kleiner als 1 sein (bzw. eig der limsup). --Marda86 16:14, 16. Nov. 2008 (CET)

Ich habe mal hinzugefügt, dass für den Fall ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=1$ keine Aussage möglich ist. Es stand hier fälschlicherweise dass die Reihe dann divergiert. --Marda86 13:27, 15. Nov. 2008 (CET)

Wenn für alle n ab einem gewissen Index $a_{n+1}=a_{n}$ (und $a_{n}\neq 0$), so liegt offensichtlich keine Nullfolge vor, daher ist die Reihe divergent. --NeoUrfahraner 16:28, 16. Nov. 2008 (CET)

Darum geht es ja gerade. Es muss nicht immer durch die Reihe lösbar sein, daher auch meine Änderung, aber anscheinend hat hier keiner genug Ahnung um das mal zu sehen! In meinem Link ging es zwar am Beispiel einer harmonischen Reihe darum das Kriterium anzuwenden, jedoch gilt eben der Ansatz, dass es nicht anwendbar ist, wenn >=1, allgemein und nicht bloß speziell. Sonst würde auch der Satz danach keinen Sinn machen!! Es gibt Reihen, die konvergieren und nicht mit dem Quotientenkriterium lösbar sind, sondern eben bloß durch Majoranten/Minorantenkriteria... --Tauwasser 21:55, 1. Jan. 2009 (CET)

Du solltest beachten, das das q aus deinem link im Artikel L heißt. Ansonsten steht doch erklärt drin das die harmonische Reihe nicht mit dem Quotientenkriterium analysierbar ist und wieso. --Mathemaduenn 12:04, 3. Jan. 2009 (CET)

Darum geht es ja gerade, Du Hanswurst. Das Quotientenkrierium erlaubt keine Aussage bei ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=1$, so wie im Artikel eben auch richtig erwähnt. Es ist schlichtweg falsch hier >= zu verwenden. Siehe zum Beispiel die englische Version dieses Artikels, wo immer fein säuberlich unterschieden wird. --Tauwasser 17:01, 20. Jul. 2009 (CEST)

Würdest Du bitte Deinen Ton mäßigen und die persönlichen Beleidigungen entfernen! Und dann nimm Dir bitte nochmals ein halbes Jahr Zeit und versuche die weiter oben angegebenen Begründungen vollständig zu verstehen. Evtl. liegt das Missverständnis auch an der Verwendung von "fast alle". Würde der Quotient nur für unendlich viele Indizes 1 oder größer ergeben, so wäre in der Tat keine Aussage möglich.--LutzL 00:56, 23. Aug. 2009 (CEST)

Umarbeitung Nov 08

Verschoben von Benutzer_Diskussion:P._Birken#Quotientenkriterium: Der Aufbau vor der Änderung http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Quotientenkriterium&diff=prev&oldid=53053427 (Konvergenz/Divergenz/unbestimmt) war IMHO logischer. Der Satz "Dieses Kriterium folgt mit dem Majorantenkriterium ..." gehört eigentlich zur Konvergenz weiter oben; der Fall lim=1 gehört eigentlich in den Abschnitt "Unbestimmt". Was genau hat Dich am alten Aufbau gestört? --NeoUrfahraner 07:14, 18. Nov. 2008 (CET)

Ich bin mit dem ganzen Artikel noch etwas unglücklich, auch mit meiner Version. Den Abschnitt zum Beweis würde ich beispielsweise auf den von Dir genannten Satz plus einen weiteren kürzen wollen. Meine Idee ist, dass man bei direkter Gegenüberstellung von Divergenz und Konvergenz alle Aussagen des eigentlichen Kriteriums direkt beieinander hat und direkt auf einen Blick vergleichen kann, während der unbestimmte Fall ein Sonderfall ist. --P. Birken 18:45, 18. Nov. 2008 (CET)

Ich habe den Artikel jetzt göber umgearbeitet. Zur Einführung habe ich die "primitive" Formulierung von Knopp verwendet. Diese ist nicht nur OMA-tauglicher (kein limsup, nicht einmal ein lim), sondern erleichtert auch die Formulierung der Beweisidee und ist gleichzeitig auch die allgemeinste (die Divergenzaussage ist allgemeiner als die limsup/liminf Variante). Entspricht das Deinen Vorstellungen? --NeoUrfahraner 07:07, 19. Nov. 2008 (CET)

Ja, so ist es kompakt und trotzdem gut verständlich, gefällt mir. --P. Birken 09:08, 19. Nov. 2008 (CET)

Kleienr oder Kleiner gleich?

müsste im letzten satz unter "1. beschreibung" nicht in der eingefügten formel ein "kleiner gleich"- Zeichen stehen? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 91.8.251.111 (Diskussion • Beiträge) 22:09, 23. Nov. 2008)

"Echt Kleiner" stimmt, siehe das Beispiel darunter mit der harmonischen Reihe. --NeoUrfahraner 06:40, 24. Nov. 2008 (CET)

Ich habe den wesentlichen Punkt ein wenig deutlicher formuliert. Wird's damit klarer? --NeoUrfahraner 08:29, 24. Nov. 2008 (CET)

Beispiel

Weshalb sollte es hier kein Beispiel geben?! Ich hatte bereits folgendes Beispiel hinzugefügt, dass wurde allerdings von P. Birken mit der Begründung "unnötige Redundanz" wieder gelöscht:

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Gegeben sei die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}.$

Setzt man dieses in das Quotientenkriterium ein, so ergibt sich:

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|\\&={\frac {1}{e}}<1.\end{aligned}}$

Damit konvergiert die Reihe, da gilt ${\frac {1}{e}}<1.$

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Im übrigen erachte ich es als sinnvoll, in der Beschreibung das Kriterium so darzustellen, wie es heute in aktueller Literatur fast ausschließlich zu finden ist:

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Erfüllen die Glieder einer unendlichen Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }\ a_{n}$ die Bedingung

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=q<1,$

so ist die Reihe absolut konvergent. Ist aber $q>1$, also

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=q>1,$

so ist die Reihe divergent.

Für den Fall $q=1$ versagt das Quotientenkriterium, d.h. eine Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz ist dann mit dem Quotientenkriterum nicht möglich.

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> (nicht signierter Beitrag von FrogThomas (Diskussion | Beiträge) 14:30, 3. Okt. 2009)

Wer bist Du? Die letzte Behauptung zeugt von Ignoranz, das erste Beispiel ist unnötig verkompliziert durch das Auftreten der eulerschen Zahl. 2 oder 3 täte es genausogut. Man könnte natürlich die Limes-Formulierung etwas deutlicher hervorheben, wie im Artikel formuliert tauchen darin aber limsup und liminf auch, der einfache Grenzwert ist ein zu spezielles Kriterium.--LutzL 14:45, 3. Okt. 2009 (CEST)

Ich verstehe nicht, weshalb meine Behauptung von Ignoranz zeugen sollte. Ich konnte in aktueller Literatur (<5 Jahre) die hier verwendete Schreibweise nicht finden. In den meisten Fällen bietet sich aber der Beweis über $\lim {}$ mehr an, weil er schneller ist. Deshalb denke ich, wäre es interessant diese Variante hier ebenso anzubieten. Was das Beispiel angeht, scheinen wir beide Meinung zu sein, dass dem Artikel tatsächlich ein Beispiel fehlt. Wenn das von mir gewählte vielleicht nicht das Beste ist, dann lässt sich natürlich auch jedes beliebig andere verwenden.--FrogThomas 15:57, 5. Okt. 2009 (CEST)

Ignoranz im Sinne von Nicht-Wissen, nicht des Nicht-Wissen-Wollens. Nenne mal 2-3 gute Bücher, die wirklich nur die Limes-Version des Quotientenkriteriums behandeln. Qualitätsmerkmal ist, dass diese auch einen Beweis liefern. --- Und die moderne Analysis hat eine Geschichte von ca. 200 Jahren (wenn man Cauchy/Gauss als Startpunkt nimmt), mit weiteren 150 Jahren Vorlauf (Newton/Leibniz, Euler, Jacobi,...), da wäre eine Beschränkung auf die letzten 5 Jahre, nunja, beschränkt. Die Darstellung im Wurzelkriterium stellt zwar beide Ansätze etwas gleichwertiger dar, ist aber in der Form auch nicht unbedingt lesbarer.--LutzL 10:36, 6. Okt. 2009 (CEST)

Ich habe mir jetzt mal die "Mühe" gemacht und die verlinkten fremdsprachigen Artikel zum Quotientenkriterium begutachtet. Bei insgesamt 16 verlinkten Sprachen, wird immerhin bei 15 die Limes-Version verwendet. Auf der englischen Seite sind übrigens eine ganze Reihe von Referenzen aufgeführt. Für den Fall das Wikipedia als Quelle durchfallen sollte, hätte man an den entsprechenden Stellen mit Sicherheit beste Chancen, dass auf der Seite dargestellte wiederzufinden.
Ich möchte jetzt einfach mal zurückkehren zum eigentlich Ausgangspunkt dieser Diskussion ... nämlich einem Beispiel. Ich würde vorschlagen, dass du eins ergänzt. Wenn ich das tun würde, würde es a) wahrscheinlich nicht akzeptiert werden und b) eine Limes-Betrachtung beinhalten.--FrogThomas 22:27, 6. Okt. 2009 (CEST)

q

Wozu man das q braucht ist relativ schwer zu verstehen, jedenfalls verstehe ich es nicht. Wenn einfach nur |a_{n+1}/a_n|<=q<1 ist, sollte es doch reichen, dass |a_{n+1}....|<1 ist. Wenn nicht, ist das hier meiner Meinung nach nicht hinreichend erklaert. (nicht signierter Beitrag von 80.171.217.134 (Diskussion) 17:25, 17. Apr. 2011 (CEST))

Nein, das sind doch völlig verschiedene Sachen. Zunächst einmal, warum sich die beiden Dinge massiv unterscheiden:

Wenn es eine feste Zahl $q\in [0,1)$ gibt, so dass $|a_{n+1}/a_{n}|\leq q$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt, dann ist natürlich $|a_{n+1}/a_{n}|<1$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Aber umgekehrt ist das natürlich nicht richtig. Angenommen, man hätte eine Folge, die $|a_{n+1}/a_{n}|<1$ für alle $n\in \mathbb {N}$ erfüllt. Dann muss es nicht notwendigerweise ein festes(!) $q\in [0,1)$ geben, so dass $|a_{n+1}/a_{n}|\leq q$ für alle(!) $n\in \mathbb {N}$ gilt.

Man stelle sich vor,

$|a_{2}/a_{1}|$ wäre 0,9

$|a_{3}/a_{2}|$ wäre 0,99

$|a_{4}/a_{3}|$ wäre 0,999 etc.

Dann ist zwar $|a_{n+1}/a_{n}|<1$ für alle $n\in \mathbb {N}$, aber es gibt kein festes $q\in [0,1)$, so dass $|a_{n+1}/a_{n}|\leq q$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Darum ist die $q$-Bedingung schärfer als deine 1-Bedingung, und sie sind nicht äquivalent.

Ist das beim Quotientenkriterum egal?

Für Folgen mit der $q$-Bedingung ist das Quotientenkriterum erfüllt, es gilt absolute Konvergenz. Das steht in jedem Einsteiger-Analysis-Buch.

Hingegen ist die 1-Bedingung nicht ausreichend für absolute Konvergenz. Man betrachte die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$. Dann ist $|a_{n+1}/a_{n}|={\frac {n}{n+1}}$ für jedes $n\in \mathbb {N}$ strikt kleiner als 1. Jedoch ist die harmonische Reihe bekanntermaßen divergent.

Und im Übrigen bin ich nicht der Meinung, dass die q-Bedingung nicht ausreichend erklärt ist. Es ist meines Erachtens recht offensichtlich, dass es zwei verschiedene Dinge sind. --Tolentino 18:14, 17. Apr. 2011 (CEST)

Fehler? (Nein!)

Müssten die beiden Beispiele nicht wie folgt aussehen:

Beispiel 1:

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|={\frac {5+(n+1)}{10^{n+1}}}\cdot {\frac {10^{n}}{5+n}}={\frac {1}{10}}\cdot {\frac {6+n}{5+n}}={\frac {3}{25}}+{\frac {n}{10n}}={\frac {3}{25}}+{\frac {1}{10}}={\frac {11}{50}}<1$

Beispiel 2:

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|={\frac {(n+1)!}{2^{n+1}}}\cdot {\frac {2^{n}}{n!}}={\frac {n}{2}}>1$

Denn ${\frac {(n+1)!}{n!}}=n$ oder irre ich da?

MythGraphics (Diskussion) 19:49, 8. Nov. 2013 (CET)

Nein. Wie kommst Du auf die Umformung als Gleichheit im ersten Beispiel? Den Nenner verliert man nicht so einfach. Und (n+1)!=(n+1)*n!

${\begin{aligned}\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&={\frac {5+(n+1)}{10^{n+1}}}\cdot {\frac {10^{n}}{5+n}}={\frac {1}{10}}\cdot {\frac {6+n}{5+n}}\\&={\frac {6}{50}}{\frac {30+5n}{30+6n}}={\frac {3}{25}}\left(1-{\frac {n}{30+6n}}\right)\leq {\frac {3}{25}}\end{aligned}}$

--LutzL (Diskussion) 20:31, 8. Nov. 2013 (CET)

Stimmt, Recht hast du, da habe ich in der Tat Unfug geschrieben. MythGraphics (Diskussion) 11:34, 9. Nov. 2013 (CET)

Grundidee

Bei allen Konvergenzkriterien sollte in der Einleitung die Grundidee erläutert werden, um sie von anderen Kriterien zu unterscheiden. Ich hab hier mal einen Vorschlag gemacht, der gerne nachgebessert werden darf. --Siehe-auch-Löscher (Diskussion) 09:04, 3. Dez. 2013 (CET)

Ich würde eher sagen, man schätzt das Wachstum der Summandenfolge durch das einer geometrischen Folge ab und erhält damit eine geometrische Reihe als Minorante bzw. Majorante. Ist aber keine große Verbesserung zum vorhergehenden, deshalb erstmal nur hier zur Diskussion.--LutzL (Diskussion) 16:55, 3. Dez. 2013 (CET)

Ja, klingt nicht schlecht nur das Wort Wachstum würde ich im Sinne der Verständlichkeit durch Abnahme ersetzen. Ich versuch mich morgen mal daran. --Siehe-auch-Löscher (Diskussion) 17:41, 3. Dez. 2013 (CET)