Diskussion:Richtungsableitung/Archiv

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[[Diskussion:Richtungsableitung/Archiv#Thema 1]]

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Mehrdimensionale Definition

wäre es möglich, eine Beispielsanwendung anzuführen? kann man den Unterschied zur Ableitung bezüglich des Betrags formulieren? -- Matadoerle 11:16, 13. Okt 2005 (CEST) Auch mir fehlt ein mehrdimensionales Beispiel. Den Sonderfall mit Knick halte ich nicht für sinnvoll.

Mir fehlt alleine eine mehrdimensionale Definition, sprich, man sollte die Definition auf vektorwertige Funktionen ausdehen. Werde das beizeiten übernehmen. --Axel Wagner 03:11, 4. Jan. 2008 (CET)

Beispiel

Im Beispiel unten wurde der Buchstabe h ungeschickt gewählt: in der oberen Definition der Richtungsableitung ist h bereits die freie Variable im Limes.

Du meinst wahrscheinlich die gebundene Variable. -- Digamma 21:16, 18. Jul. 2010 (CEST)

Und ... wenn mich nicht alles täuscht, ist das Ergebnis nicht ganz korrekt. Sollte da nicht 1 bzw. -1 rauskommen? (nicht signierter Beitrag von 94.217.133.58 (Diskussion) 18:00, 18. Jul 2010 (CEST))

Das liegt daran, dass die Richtungsableitung in dem Artikel nicht nur für Einheitsvektoren (im eindimensionalen Fall also die Zahlen 1 und -1), sondern für alle Vektoren definiert ist. Ich finde das Beispiel sowieso schlecht, weil die Richtungsableitung in Richtung von -1 mit der linksseitigen Ableitung verwandt ist, aber gerade nicht dasselbe ist, sondern sich im Vorzeichen unterscheidet. In dem Beispiel hat sowohl die Richtungsableitung in Richtung -1 als auch die Richtungsableitung in Richtung +1 den Wert +1. -- Digamma 21:16, 18. Jul. 2010 (CEST)

Eigenschaften

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Hier hat sich m.E ein kleiner Fehler eingeschlichen. grad(f) * v grad muss der transponierte Gradient sein...

Je nach Definition ist der Gradient ein Zeilen- oder Spaltenvektor. D.h. es kommt auf die benutzte Definition des Gradienten an. Es ist in diesem Fall jedoch 100% irrelevant, da das Skalarprodukt (und nichts anderes als das ist dieser nette kleine Punkt in der Formel) in beiden Fällen gleich berechnet wird... --Axel Wagner 03:08, 4. Jan. 2008 (CET)

Habe den Teil mit den Einheitsvektoren ergänzt: "Wählt man als Richtungsvektor die Koordinateneinheitsvektoren , so erhält man die partiellen Ableitungen von f" - Die Richtungsableitung liefert ja nur die MOMENTANE ÄNDERUNGSRATE, also die "Steigung" in einem bestimmten Punkt in einer bestimmten Richtung. Habe also den Punkt X0 ergänzt. -- MitjaStachowiak (Diskussion) 15:46, 7. Jul. 2013 (CEST)

Konvexität

Die Aussage, dass die einseitige Richtungsableitung immer konvex sei, ist falsch. --Digamma 17:00, 11. Dez. 2007 (CET)

Fehler

Unter Beispiel: "Jede partiell differenzierbare Funktion ist insbesondere richtungsdifferenzierbar." Diese Aussage ist falsch. Insgesamt gelten folgende Implikationen:

stetig partielle Differenzierbarkeit (kurz: stetige Differenzierbarkeit) $\Rightarrow$ totale Differenzierbarkeit (kurz: Differenziebarkeit $\Rightarrow$ Existenz aller Richtungsableitungen $\Rightarrow$ partielle Differenzierbarkeit

Der Begriff der partiellen Diffbarkeit ist der schwächste von allen, er impliziert keinen der anderen.

Vgl:

[1] O. Forster: Analysis 2. Vieweg 2006 S. 66

[2] M. Barner und F. Flor:. Analysis, Bd. 2. De Gruyter 1983 S. 99ff

[3] R. Busam und T. Epp: Prüfungstrainer Analysis, Springer 2008 S. 264

Außerdem sind die einseitigen Richtungsableitungen falsch. Man erhält $D_{h}^{+}{f(0)}=1$ für $h\geq 0$ und $D_{h}^{+}{f(0)}=-1$ für $h\leq 0$. (nicht signierter Beitrag von 84.150.145.17 (Diskussion | Beiträge) 15:15, 4. Okt. 2009 (CEST))

v Einheitsvektor?

Muss nicht der Vektor v ein Einheitsvektor sein? (nicht signierter Beitrag von 217.175.194.13 (Diskussion | Beiträge) 11:36, 24. Mai 2009 (CEST))

Ausbau des Artikels

Ich möchte den Artikel gerne weiter ausbauen. Im Moment fehlt mir aber etwas die Zeit dazu. Ich möchte hier aber mal vorstellen, was ich mir wünsche:

1. Das Beispiel müsste überarbeitet werden. Oder ganz wegfallen. Ein Beispiel für eine Funktion von zwei Variablen, bei der einseitigen Richtungsableitungen existieren, aber nicht die beidseitigen, findet sich in Differenzierbarkeit. (Dort fehlt allerdings noch eine Illustration). Der Vergleich mit der einseitigen Ableitungen bei Funktionen einer Variablen ist schwierig, weil die Linksseitige Ableitung $f_{-}^{\prime }$ sich von der linksseitigen Richtungsableitung $D_{-1}f$ im Vorzeichen unterscheidet.
2. Stattdessen Beispiele für die Berechnung von Richtungsableitungen
3. Eine Definition für vektorwertige Funktionen.
4. Die Richtungsableitung als Differentialoperator (Derivation) und der Zusammenhang mit
5. Richtungsableitung für Funktionen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Tangentialvektoren als Richtungsableitungen.
6. Hinweis auf Verallgemeinerung: Kovariante Ableitung

Wer dazu etwas beitragen möchte, ist herzlich dazu eingeladen. Ich freue mich auch über Kritik an diesem Vorschlag und über Alternativvorschläge. -- Digamma 23:03, 2. Jun. 2010 (CEST)

Linear?

Wie kann die Richtungsableitung in v linear sein, wenn v ein Vektor mit Norm 1 sein soll? --79.230.93.68 19:06, 2. Jul. 2010 (CEST)

Das ist für den Fall, dass man beliebige $v$ zulässt. Wenn man nur Einheitsvektoren zulässt, dann bedeutet es, dass die Richtungsableitung die Einschränkung einer linearen Funktion auf Vektoren der Länge 1 ist. -- Digamma 21:46, 2. Jul. 2010 (CEST)

Verwechslungsgefahr

Diese besteht doch eher, wenn man das Nabla-Symbol benutzt, denn in der Differentialgeometrie wird die kovariante Ableitung in der Regel mit $\nabla$ bezeichnet. Ich weiß allerdings nicht, wie es in der Physik ist. -- Digamma 17:16, 12. Jan. 2011 (CET)

Definitionsbereich

Im Artikel ist $g_{\vec {v}}$ wie folgt definiert: $g_{\vec {v}}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,t\mapsto f({\vec {x}}+t{\vec {v}})$

Der Defintionsbereich von $g_{\vec {v}}$ kann aber maximal $\left\{t\in \mathbb {R} \mid {\vec {x}}+t{\vec {v}}\in U\right\}$ entsprechen.

--79.223.194.157 13:01, 27. Jan. 2013 (CET)

Stimmt. --Digamma (Diskussion) 17:27, 27. Jan. 2013 (CET)

Ist korrigiert.--V4len (Diskussion) 13:09, 15. Mai 2014 (CEST)