Diskussion:Russellsche Antinomie

Russells Konstrukt ist weder Menge noch Klasse!

Leider lese ich fast durchgehend, dass Russells Konstrukt keine Menge, dafür aber in gewissen Systemen eine echte Klasse sei. Das stimmt nicht. Denn Russell definierte sein Konstrukt als R := {x|x nicht Element von x}. Dieses R ist weder eine Menge noch eine Klasse. Dass was eine Klasse ist, ist R', wo durch die Klassenaxiome per se verhindert ist, dass R Element von R sein kann, so dass die Antinomie von R nicht entsteht, es damit aber auch nicht mehr um das ursprüngliche (echte) R geht. Das gleiche gilt mE für die sog. Allklasse A := {x}. Auch die ist weder Menge noch Klasse, sondern A' ist eine Klasse, wo aber {x} nochmal eingeschränkt wird. Ich finde, dass sollte man nicht nur hier, sondern auch bei den Seiten über Klassen klarstellen, oder?

Natürlich ist {x|x nicht Element von x} eine Klasse und ebenso die Allklasse, die korrekt {x|x=x} lautet. Denn jedes {x|f(x)} ist eine Klasse, egal wie die Aussage f(x) aussieht. Das erklärt auch der Artikel Klasse (Mengenlehre).--Wilfried Neumaier (Diskussion) 08:31, 6. Nov. 2017 (CET)

Wenn {x|x nicht Element von x} eine Klasse wäre, dann wäre sie widersprüchlich, aus dem gleichen Grund warum sie es als Menge wäre. Daher ist {x|x nicht Element von x} auch keine Klasse. Vielmehr ist {x|x nicht Element von x} nur insoweit eine Klasse als schon vorher (in den Klassenaxiomen) klargestellt ist, dass die betreffende Klasse selbst nicht für 'x' einsetzbar sein kann. Doch dadurch ist es eben nicht mehr Russells eigentliche Konstruktion. Analog dann für die Allklasse. Ich hoffe wir reden nicht aneinander vorbei: die Russellsche Klasse und die Allklasse in ihrer ursprünglichen naiven Form, die sich selbst enthalten konnten, sind weder Mengen noch Klassen; die Russellsche Klasse und Allklasse unter den Bedingungen der Klassenaxiome sind Klassen, aber damit auch nicht mehr das, was sie mal in ihrer naiven Form sein wollten. Viele denken aber, dass die Russellsche Klasse - in ihrer naiven Form verbleibend - zwar keine Menge, aber doch Klasse ist und das ist falsch.

Wir reden schon aneinander vorbei. Ich halte mich an den üblichen Klassenbegriff von Peano und seine Klassenformel {x|f(x)}. Und Russell übernahm dessen Formeln, etwa im Brief an Frege zur Notation der Russellschen Klasse. Er redete auch von Klassen in den Principia Mathematica I 63, wo er diese Klasse verbal einführt. Russell hat sich doch nicht geirrt.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:28, 25. Nov. 2017 (CET)

Meines Wissens können Klassen sich nicht selbst als Element enthalten. Nur durch diese Feinheit funktioniert die Russellsche Antinomie als echte Klasse, ansonsten wäre sowohl eine Russellsche Menge als auch Russellsche Klasse widersprüchlich. Wie siehst du das?

Ich sehe das so: Ein Widerspruch wird immer (!) durch Argumente oder Axiome erzeugt. Deswegen ist jede Sprache, in der ein Widerspruch ableitbar ist, auf die benutzten Axiome hin zu untersuchen. Klassen sind rein sprachlich definierte Objekte, keine Axiome. Ob mit einem Objekt ein Widerspruch ableitbar ist oder nicht, hängt von den Axiomen ab, in die man dieses Objekt einsetzt. Mit der Russellschen Klasse R zeigt man die Inkonsistenz von Freges Abstraktionsprinzip F (lt. Artikel). Freges Logik ist inkonsistent, da F gilt und R zu seiner Sprache gehört. In Russells Typentheorie gilt zwar F, aber R und alle zirkulären Klassen xϵx sind verboten und gehören gar nicht mehr zur Sprache. Besser nimmt man aber F gar nicht an, dann ist der wahre Grund der Antinomie beseitigt, und syntaktische Verbote werden unnötig. Das praktizierte Zermelo: Er schlug alternative Axiome vor und erlaubte sich selbst enthaltende Klassen xϵx (Zermelo 1908, S. 265) und benutzte die Allklasse A (Zermelos Bereich B). Es gibt korrekte Mengenmodelle mit zirkulären Mengen xϵx. Zermelo schloss sie aber 1930 per Fundierungsaxiom aus, so dass R = A wird. In seiner syntaktisch freizügigen Logik ist die Unterscheidung von Mengen und Klassen wichtig: Als Mengen gelten alle Klassen, die zugleich Elemente sein können. R und A sind nie Elemente und daher keine Mengen (Zermelo 1908, Beweis S. 265), sie erzeugen aber keine Antinomie mehr.

Kurze Klarstellung: Klassen können sich selbst als Element enthalten, es sind dann (ungewöhnliche) zirkuläre Mengen. Nur in einer naiven Mengenlehre mit gültigem Axiom F funktioniert die Russellsche Antinomie, nur dort ist Russellsche Klasse widersprüchlich. Das ist aber out seit 1908. Seither gilt: Die Russellsche Klasse ist nie eine Menge und bei einer korrekten Axiomatik nicht widersprüchlich.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 19:24, 28. Nov. 2017 (CET)

Die Russellsche Klasse R enthält meines Wissens alle Elemente mit der Eigenschaft: x ~ϵ x, wobei R nicht zur Grundmenge von x gehört (wie auch immer das konstruktiv gemacht wird). Ist das im Ergebnis korrekt?

Ja, in einer konsistenten Logik. Man sagt eher: ...wobei R nie zum Individuenbereich gehört. Das zeigt der ausführliche Beweis im Artikel. Übrigens: Bitte nach einem Beitrag immer den Signatur-Button im Menue anklicken!--Wilfried Neumaier (Diskussion) 09:52, 5. Dez. 2017 (CET)

Falsche Bezeichnungen

Die Russellsche ANTINOMIE ist eine ANTINOMIE, wie im Titel richtig aber im Text falsch als PARADOXON ausgeführt wird. Ein Paradoxon bezeichnet im allgemeinen eine scheinbare Antinomie, die sich bei richtiger Analyse und Darstellung auflösen lässt. Hierzu vielleicht: http://www.sgipt.org/wisms/analogik/alle/alljed0.htm#Absurdit%C3%A4t, --R.sponsel (Diskussion) 15:47, 16. Jul. 2012 (CEST)

Auch die Russellsche Antinomie ist ein Paradoxon, denn bei "richtiger Analyse und Darstellung" löst es sich auf. Man muss ja zur Ableitung ein Axiom annehmen, das sich durch die Antinomie dann als falsch erweist. In diesem Fall ist es die Fregesche Abstraktion, die sich als unhaltbar erwiesen hat. Wenn man sie nicht annimmt, etwa in ZF, verschwindet sie. Das ist die "richtige Analyse und Darstellung" aus Sicht der heutigen Mengenlehre. Auch Russell selbst löste sie auf, nur auf andere Weise durch seine Typentheorie, die eine eingeschränkte Syntax hat, so dass die Fregesche Abstraktion beibehalten werden kann. Das ist die "richtige Analyse und Darstellung" aus der Sicht des Entdecker der Antinomie. Andererseits vertritt der Wiki-Artikel Paradoxon keineswegs die Ansicht Parodoxon = scheinbare Antinomie. Gerade "im allgemeinen" ist es keine scheinbare Antinomie, sondern nur in vielen Fällen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 00:36, 19. Jul. 2012 (CEST)

Mengen, die sich selbst nicht enthalten

Mengen, die sich selbst nicht enthalten -ist dieser Ausdruck nicht schon fuer sich alleine ungueltig? kann ein Objekt durch einen ungueltigen Ausdruck definiert werden? Ich meine nicht! Denn solche "Objekte" sind nicht mehr wohlunterscheidbahr und koennen deshalb laut Mengendefinition auch keine Elemente einer Menge sein. Also warum dann soviel Wirbel um solchen Schwachsinn? (fragt sich 212.201.37.138)

Ich frage mal anders: Wer kann mir ein konkretes Beispiel geben für eine Menge, die sich selbst enthält??? Das Beispiel, das weiter unten steht (U:={1,U}) erschließt sich mir nicht, denn es ist eine rekursive Definition ohne Rekursionsschluss. (Fragt sich --89.55.67.94 14:57, 23. Mai 2007 (CEST))

Mir auch nicht. Offenbar fällt niemandem ein solches Beispiel ein. Kann es daher sein, dass es gar keine Menge gibt, die sich selbst enthält? Dann wäre die gesamte Diskussion und die Antinomie unsinnig. --Wikiplex (Diskussion) 18:42, 15. Jul. 2012 (CEST)

Es gibt Mengenlehren mit Allklasse, die Element sein kann und sich dann selbst enthält. Lest bitte Artikel Klasse (Mengenlehre) oder Ackermann-Mengenlehre.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 19:44, 15. Jul. 2012 (CEST). Siehe auch unten zweitletzter Diskussionspunkt.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 19:47, 15. Jul. 2012 (CEST)

"Mengen, die sich selbst nicht entahlten" ist meiner Meinung nach eindeutig und bereitet keinerlei Probleme, erst die Menge aller derartiger Mengen führt zum bekannten Widerspruch, der Ausdruck mag also durch seine Nähe zu diesem seltsamen Objekt aller nichtselbstenthaltenen Mengen verwirrend erscheinen. Die Beschreibung "Menge, die sich nicht selbst enhält" ist aber durchaus wohldefiniert; tatsächlich sind fast alle Mengen, die man sich ausdenken kann, dieser Art und der Ausdruck ist sinnvoll. Beispiel: "Die Menge aller Sandkörner" und "Die Menge aller Paare verschiedener Primzahlen, deren Summe gleich Acht ist" sind zwei "Mengen, die sich selbst nicht enthalten" - (völlig problemlos, findet Hijackal)

Mengenlehre kann man naiv (Cantorsch) und axiomatisch (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) definieren, also rein formal. Die naive Mengenlehre führt zur Russellschen Antinomie. Der "Schwachsinn" war der Versuch, die ganze Mathematik widerspruchsfrei auf den Grundlagen der Mengenlehre zu begründen. Dieser Versuch scheitert sowohl in der naiven Mengenlehre (Antinomie) als auch in der axiomatischen (Unvollständigkeitssatz). Daneben bin ich, wie Hijackal schon angedeutet hat, ohne weiteres in der Lage, die Menge aller Sandkörner von den Sandkörnen selbst zu unterschieden, das Wohlunterscheidbarkeits-Argument zieht hier nicht. --Hubi 08:01, 4. Aug 2004 (CEST)

Die Menge "M" ist definiert als "die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten". Menge ist kein Subjekt, denn Ich bin Subjekt und enthalte, definiere oder tue! Doch enthalte ich nicht mich, denn ich weiß! Was von mir ist, ist von mir, so kann ich nicht umfassen, was ich bin. Im Gegensatz dazu, würde ich(a) in mir(a) und darum doppelt(a+a), wie die Menge, die in sich enthalten sein soll! Da ich stets Eins bin, kann ich(a) mich(a) nicht Subtrahieren, denn ich würde zu nichts(a-a=0), wie die Menge, die nicht in sich enthalten sein soll. Somit ist weder die Menge in sich enthalten, noch ist die Menge nicht in sich enthalten. Muß es nicht lauten:" Die Menge "M" ist die Zahl der Objekte."? --Torexine 04:09, 31. Aug 2004 (CEST)

Ich glaube die Frage wurde falsch formuliert oder verstanden. Denn, so weit ich weis, keine Menge enthält sich selbst, so dass die Formulierung „Mengen die sich selbst nicht enthalten“ ist synonym zu „Menge“. Sonst bitte um konkretes Gegenbeispiel. Dabei M={1,M} zählt nicht, weil nicht konkret. 爪丹了 (Diskussion) 14:46, 20. Aug. 2015 (CEST)

Es kommt hier stets auf das zugrundegelegte Axiomensystem für Mengen an. In der ZF-Mengenlehre gilt das Fundierungsaxiom, nach dem keine Menge sich selbst enthält. Dieses Axiom hat man erst 1925/30 hinzugenommen, weil man gesehen hat, dass man ohne solch ein Axiom allgemeine Mengenmodelle bilden kann, wo es Mengen gibt, die sich selbst enthalten. Man behandelt hierbei {x} als Operator, der dem x ein minimales nicht-leeres Objekt zuordnet. Auf diese Weise kann man dann Modelle mit allerlei ungewöhnlichen sich-selbst-enthaltende Mengen bilden. Es gibt aber auch einfache anschauliche solche Mengen, nämlich Quine-Individuen, für die x={x} gesetzt wird (nicht für alle x). Diese Setzung hat eine gewisse Tradition und hat den Zweck, dass man in der Mengenlehre auch anschauliche Objekte mit Eigennamen einführen kann, verwandt mit Urelementen. In ZF sind sie allerdings ausgeschlossen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 10:54, 21. Aug. 2015 (CEST)

Paradoxon von Aristoteles

Hat Aristoteles in seinem Barbier-Paradoxon nicht einfach eine Ausprägung des der Russelschen Antinomie? Ich fand keinerlei Querverweise (hab einfach frech mal einen zugefügt). Oder übersehe ich da ein Detail? (fragt sich Sven)

Die unbelegte Aristoteles-Zuweisung ist in Diskussion: Barbier-Paradoxon vermerkt.

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Russellsche Klasse = Leere Klasse?

Kann mir jemand erklären, warum nicht: wenn M = {X|X nichtelement von X}, dann M = {}? Denn {} ist ja genau auf beide Arten zu interpretieren möglich: {} element von M, sowohl auch {} nichtelement von M...

Ich verstehe deine Frage nicht so recht. Es gibt natürlich unendlich viele Mengen, die sich nicht selbst enthalten und demnach in M enthalten sein müssen. ich kann dir so eine ja z.B. mal angeben: K={1,2,3}. Eine Menge, die sich selbst enthält, wäre z.B. U={1,U} und die wäre demnach nicht in M. Des weiteren ist auch die leere Menge nur entweder Element einer Menge oder eben nicht, aber nicht beides gleichzeitig. --Blubbalutsch 04:50, 30. Dez 2004 (CET)

Wäre die Russellklasse leer, dann wäre sie eine Menge; das ist ausgeschlossen.--Wilfried Neumaier 11:21, 28. Jan. 2008 (CET)

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Ist Logik zeitfrei oder dimensional gebunden?

Ursache führt zu Wirkung, bedarf aber der zeitlichen Ordnung.

Angenommen richtig:

• Der Barbier, der alle Männer im Ort rasiert, die sich nicht selbst rasieren.

wird zu

• Der Barbier, der alle Männer im Ort rasieren wird, die sich nicht selbst rasiert haben.

• 0 sei Element Barbier
• h{1,2,3} sei Menge der Männer, die sich nicht selbst rasiert haben.
• w{1,2,3} sei Menge der Männer, die sich rasieren lassen werden.

Es wird die Menge von Menge gebildet. w-Menge enthält h-Menge.

Da aber nicht gesagt wird, ob der Barbier der einen oder anderen angehört, (klar ist nur, er kann nicht beiden angehören) dann provoziert dies implizit eine dritte Mengenbildung, die Lösungsmenge m.

• m{w{1,2,3,h{0,1,2,3}},w{0,1,2,3,h{1,2,3},w{1,2,3,h{1,2,3}}

Also habe ich keine Punktwahrheitswerte mehr sondern vielmehr Linienwahrheitswerte, um es dimensional auszudrücken. Aus der Menge der möglichen Punktwahrheitswerte={w,f} gehe ich über in Linienwahrheitswerte={ww,wf,fw,ff}

--Henry C's 17:31, 1. Nov 2005 (CET) Das Problem ist ausgelagert in einen separaten Artikel.--Wilfried Neumaier 12:31, 27. Jan. 2008 (CET)

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Axiomatischer Aufbau

Ich verstehe den folgenden Abschnitt nicht wirklich Durch den axiomatischen Aufbau der Mengenlehre lassen sich Antinomien vermeiden. Er zeigt,.... Bezieht sich das auf Z/F? Dann steht das ganze im wesentlichen schon am Ende des Artikels. Andernfalls: Welcher axiomatische Aufbau ist gemeint? Und: wie zeigt ein Aufbau etwas? --Complex 17:33, 12. Dez. 2006 (CET)

Die Sache ist unabhängig von Mengenaxiomen, siehe Diskussion weiter unten.--Wilfried Neumaier 12:31, 27. Jan. 2008 (CET)

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Zermelosche Antinomie?

Die Antonomie geht fälschlicherweise nur auf Russel zurück. Zermelo hatte sie ungefähr zum selben Zeitpunkt ebenfalls entwickelt.

Weiß dazu jemand etwas Genauers? Wasseralm 22:07, 26. Jan. 2008 (CET)

Es gibt Briefe von Hilbert, in denen er darauf zu sprechen kommt, dass Zermelo die Antinomie schon kannte, länger bevor sie Russell veröffentlichte. Den Wortlaut weiß ich gerade nicht mehr, jedenfalls gibt er auch keine Jahreszahl an. Mir ist der Name Zermelo-Russell-Antinomie auch schon irgendwo begegnet, aber nur einmal. Jedenfalls hat Russell die Antinomie zuerst publiziert, daher ist der Name auf jeden Fall gerechtfertigt. Ich werde die Sache nochmals nachschlagen und dann erst eine Bemerkung einfügen. Es wird vielleicht einen Monat dauern, weil ich die Quellen nochmals ausleihen muss. Ich will bis dahin auch noch weitere Quellenbelege ermitteln und die Sache in der Russell-Terminologie authentischer formulieren.--Wilfried Neumaier 01:40, 27. Jan. 2008 (CET)

Zermelo hat als erster auch bewiesen, dass die Russelsche Klasse keine Menge ist. Das muss auch in den Artikel.--Wilfried Neumaier 01:54, 27. Jan. 2008 (CET)

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Ich konnte alles schneller erledigen. Nur Russell-Quellen werden noch nachgereicht.--Wilfried Neumaier 12:22, 27. Jan. 2008 (CET)

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Definition führt zum Widerspruch?

Eine Definition führt normalerweise nicht zu einem Widerspruch. Nur die Tatsache, dass die definierte Klasse als Menge aufgefasst wird, führt zum Widerspruch, weil dann das übliche Abstraktionsaxiom angewandt wird. Ein Widerspruch entsteht ja immer durch Anwendung von Axiomen. In der Klassenlogik von Arnold Oberschelp kann man die Russellsche Klasse wie in der Formel angegeben definieren und mit ihr völlig widerspruchsfrei arbeiten.--Wilfried Neumaier 22:37, 31. Okt. 2007 (CET). Die Klassenlogik ist inzwischen in den Artikel eingebunden. Korrigiert wurden auch andere Kleinigkeiten, darunter die Behauptung, dass die Russellsche Klasse in der Klassenlogik die leere Klasse ergibt (als Leerklasse wäre sie nämlich eine Menge!). Sie wird in einer Klassenlogik, in der nur Mengen als Elemente existieren nämlich zur Allklasse, die in der Klassenlogik auch widerspruchsfrei ist.--Wilfried Neumaier 09:56, 2. Nov. 2007 (CET)

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Nachweislich widerspruchsfrei?

Hallo, den folgenden Satz verstehe ich nicht:

"Nachweislich widerspruchsfrei ist die moderne Klassenlogik von Oberschelp, in der beliebige Klassen zu beliebigen definierenden Aussagen gebildet werden können, darunter auch die Russellsche Klasse."

Leider kenne ich die Oberschelp-Mengenlehre nicht. Ist hier mit "Klassenlogik" ein reines Gerüst gemeint, vergleichbar der Prädikatenlogik? Dann ist die Aussage ziemlich witzlos, denn die Prädikatenlogik ist auch widerspruchsfrei. Oder ist es doch schon eine Mengenlehre, die ZF enthält? Dann kann man wohl kaum die Widerspruchsfreiheit nachweisen, da der 2. Gödelsche Unvollständigkeitssatz gilt. Ratlos, Wasseralm 21:41, 22. Jan. 2008 (CET)

Ganz recht: Die allgemeine Klassenlogik ist ein reines Gerüst, das den Klassenbaustein {x|A(x)} axiomatisiert und die bequeme und syntaktisch korrekte Darstellung beliebiger Klassenlogiken und Mengenlehren erlaubt. Man kann Mengenaxiome nach Wunsch hinzunehmen (Oberschelp nimmt ZF hinzu), aber dann ist natürlich die Widerspruchsfreiheit eine offene Frage. Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Klassenlogik ohne Zusatzaxiome ist m.E. nicht witzlos, aber auch kein hochtrabender Satz. Sie trägt dem Sachverhalt Rechnung, dass die Bildung, die Definition oder der Gebrauch beliebiger Klassen als echter Term keine Widersprüche nach sich zieht. Ohne Zusatzaxiome sind dort Klassen automatisch nominell oder nicht-real; erst durch Existenzaxiome entstehen reale Klassen. --Wilfried Neumaier 22:00, 22. Jan. 2008 (CET)

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Die Nichtexistenz der Russelschen Klasse ist rein logisch wahr

Hallo, ich finde, es kommt in dem Artikel noch nicht deutlich genug heraus, dass die Nichtexistenz der Russelschen Klasse schon rein logisch wahr ist, also nicht von irgendwelchen Mengeneigenschaften oder Mengenaxiomen abhängt. Der Satz

Es gibt keine Menge, deren Elemente genau die Mengen sind, die sich nicht selbst als Element enthalten.

lautet in prädikatenlogischer Formulierung

$\neg \exists x\forall y(y\in x\leftrightarrow y\notin y)$

Einfache Äqivalenzzumformung liefert

$\forall x\exists y(y\in x\leftrightarrow y\in y)$

und dieser Satz ist sehr einfach als gültig (wahr in jeder Interpretation) einzusehen (ist x gegeben, setze y := x). Ich habe hier noch $\in$ geschrieben, aber an der Stelle kann ein beliebiges zweistelliges Relationssymbol R stehen, da nichts über die Relation vorausgesetzt wird. Wie könnte man das geschickt einbauen, ich bin mir noch unsicher. Gruß, Wasseralm 20:53, 23. Jan. 2008 (CET)

Ich habe es eben aufgegriffen und den Beweis noch etwas stringenter geführt. Die Verallgemeinerung für beliebige Relationen gilt zwar, ist aber hier uninteressant.--Wilfried Neumaier 12:20, 27. Jan. 2008 (CET)

Hallo Wilfried, um ehrlich zu sein: Deine Umsetzung meines Anliegens gefällt mir gar nicht. 1. ist jetzt der ursprüngliche Inhalt des Abschnitts "Lösungen des Paradoxons" größtenteils weggefallen, was ich für schlecht halte. Von Lösungen ist jetzt nämlich in dem Abschnitt gar nicht mehr die Rede. 2. Die jetzige Formulierung ist m. E. auch nicht optimal, z. B. "schon auf der Ebene der widerspruchsfreien Prädikatenlogik erster Stufe beweisbar, dass die Russellsche Klasse nicht existent ist, weder als Menge noch als Klasse." Weitere Einwände hätte ich auch noch. Ich schlage vor, den Artikel oder zumindest diesen Abschnitt auf die Version vom 24. Januar 2008 zurückzusetzen, und dann hier genauer zu diskutieren. Gruß, Wasseralm 20:03, 27. Jan. 2008 (CET)

Hallo, ich kenn Deinen Vornamen leider nicht. Zunächst folgendes: 1. Jetzt ist ein Teil der Lösungen im Geschichtsabschnitt. 2. Was vorher dort drin stand und jetzt weg ist, stammte zum allergrößten Teil von mir und ist meines Erachtens unausgegoren, weshalb ich deinen Beweisgang, den ich sehr gut finde, aufgegriffen habe. 3. Bei einer General-Zurücksetzung gehen auch die Quellenangaben und andere wichtige Dinge verloren. Daher müsste es eine Zurücksetzung des Lösungs-Abschnitts sein. Mich würde aber vorher interessieren, was vom Eliminierten Dir wichtig ist und was Du mit dem Sacheinwand (Punkt 2) genau meinst.--Wilfried Neumaier 20:49, 27. Jan. 2008 (CET)

(Helmut) OK, ich habe übersehen, dass ein Teil in den Abschnitt "Geschichte" gewandert ist, außerdem wurde ich bei der Abfassung meines Diskussionsbeitrags zeitlich unterbrochen, so dass ich die zweite Änderung nicht mitbekam. Mein Punkt 1 hat sich damit erledigt. Eine Rücksetzung kommt daher auch nicht mehr in Frage. Also nehmen wir den momentanen Inhalt des Abschnitts als Basis. Meine Hauptkritikpunkte: (A) Die verwirrende Verwendung der Begriffe "Klasse" bzw. "Russelsche Klasse". Es kommt irgendwie so heraus, also würde die Russelsche Klasse nie als Objekt existieren, was aber falsch ist, denn in NBG (z. B.) existiert sie ja. (B) Die einzelnen Schritte der logischen Ableitung, sind sicher denen, die mit der Materie nicht so vertraut sind, ein Rätsel. Selbst ich habe Schwierigkeiten, die Korrektheit dieser Existenzquantoreinführung zu erkennen. Mein Vorschlag ist, stattdessen die zwei von mir angeführten (äquivalenten) Formeln anzugeben und die Äquivalenz nicht weiter zu begründen. Mathematisch geschulte Leser werden die Äquivalenz sofort akzeptieren, da sie die Verteilung der Negation über Quantoren kennen. Ich schlage vor, dass ich einen Gegenvorschlag hier auf der Diskussionsseite vorstelle, allerdings nicht vor morgen Abend. Dann können wir Details diskutieren. Bis dahin sollte vielleicht der Stand so bleiben, wie er ist. Zu den Aussagen zur Oberschelp-Mengenlehre kann ich natürlich nichts sagen. Gruß, Wasseralm 21:10, 27. Jan. 2008 (CET)

Gut, Helmut, gehen wir so vor. Ich verstehe Deine Einwände, habe aber Rückfragen zu NBG, die ich ungenügend kenne. Zunächst beruht NBG auf der üblichen Prädikatenlogik erster Stufe? Wenn ja, dann gilt dort der Satz, müsste aber verbal so ausgedrückt werden, dass keine Missverständnisse entstehen. Wenn nein, was ich vermute, da man dort zweierlei Variablen für Mengen und Klassen wie in einer mehrsortigen Prädikatenlogik erster Stufe gebraucht, dann gilt der Satz nur eingeschränkt für die Mengenvariablen und man müsste meine verbale Formulierung mit Klasse revidieren. Habe ich das richtig verstanden?

Ich sehe ein, dass der abstrakte, strenge Beweis im Prädikatenkalkül trotz verbaler Erläuterung für viele zu formal ist. Man argumentiert in der Praxis eher so, wie Du in deiner Klammerbemerkung (ist x gegeben, setze y := x). Sie entspricht genau der formalen Existenzquantoreinführung, bei der man freie Variablen x stehen lassen und andere quantifizieren darf.

Zu den "Lösungen" gäbe es zwei Gliederungsmöglichkeiten. (1) Man vereinigt zwei Abschnitte zum Abschnitt "Geschichte und Lösungen" oder ähnlich. (2) Zermelos Miterfinderschaft kommt an den Anfang zur Geschichte und die Typentheorie und Zermelo- und ZF-Mengenlehre zu den Lösungen. Welchen Vorschlag findest Du besser? Ich selbst würde zum bequemeren Vorschlag (1) tendieren.--Wilfried Neumaier 22:20, 27. Jan. 2008 (CET)

Ich habe vorläufig in diesem Sinn verbessert.--Wilfried Neumaier 07:19, 28. Jan. 2008 (CET)

Deine Argumentation mit einer beliebigen Relation R findet man übrigens schon bei Russell 1903. Ich habe im Text einen Link dazu eingefügt mit einer Bemerkung in der Fußnote. Klick ihn einmal an.--Wilfried Neumaier 09:09, 28. Jan. 2008 (CET)

Meine gestrige Version, in der ich schrieb „weder als Menge noch als Klasse“, gilt schon auch in NBG, denn eine Klasse aller Klassen, die sich nicht selbst enthalten, gibt es auch dort nicht, was im Artikel Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre#Auflösung der Widersprüche der naiven Mengenlehre explizit erwähnt wird. Das habe ich gemeint, nur meine Formulierung hat das nicht rüber gebracht.--Wilfried Neumaier 09:35, 28. Jan. 2008 (CET)

Antinomievermeidung durch axiomatischen Aufbau?

Hallo, den folgenden Absatz (unter "Begriff") halte ich für fragwürdig:

Durch einen axiomatischen Aufbau der Mengenlehre oder der Klassenlogik lassen sich Antinomien vermeiden. Hier werden die Axiome geeignet gewählt, so dass die Russellsche Klasse keine Menge mehr ist, sondern eine echte Klasse ist, die kein Element einer anderen Klasse oder Menge sein kann, weil sonst ein Widerspruch entstünde. Die Definition der Russellschen Klasse ist dann widerspruchsfrei.

Zumindest der erste Satz ist m. E. einfach falsch. Im nachsten Abschnitt ("Geschichte") steht ja auch, dass sich ein Widerspruch zum Axiomensystem Freges ergab. Axiome können Widersprüche nicht vermeiden, wenn man dummerweise die falschen Axiome gewählt hat. Ich kenne mich in der Geschichte nicht so gut aus, aber meines Wissens ergibt sich der Widerspruch aus dem Fregeschen (unbeschränkten) Komprehensionsprinzip, das für jede mengentheoretische Formel A(x) mit einer Variablen x den Satz

$\exists y\forall x(x\in y\leftrightarrow A(x))$

fordert. Und dieses Axiomenschema liefert einfach Widersprüche. Die Einschränkung des Prinzips führte ja dann auch zum Aussonderungsaxiom. Gruß, Wasseralm 21:32, 23. Jan. 2008 (CET)

Die unglückliche Passage ist durch eine Korrektur einer älteren Passage entstanden. Ich streiche sie ersatzlos, denn erstens passt sie nicht zum Untertitel „Begriff“ und zweitens kommt alles notwendige im Abschnitt „Lösung des Paradoxons“ zur Sprache.--Wilfried Neumaier 23:59, 23. Jan. 2008 (CET)

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Konkretes Beispiel für eine sich nicht enthaltende Menge

Wer kann mir ein konkretes Beispiel geben für eine Menge, die sich selbst enthält? Das oben angeführte Beispiel (U:={1,U}) erschließt sich mir nicht, denn es ist eine rekursive Definition ohne Rekursionsschluss. --Wikiplex 09:11, 21. Sep. 2009 (CEST)

In ZF gibt es natürlich wegen des Fundierungsaxioms keine solchen extraordinären Mengen, daher ist hier die Russellsche Klasse mit der Allklasse identisch. Das gilt aber nicht allgemein. Man muss eben dazu unübliche Mengenlehren heranziehen. Obiges Beispiel ist eher als implizit definiert anzusehen, und nicht als rekursiv definiert. Das einfachste Beispiel findet man bei Quine, der Individuen durch {x}=x definierte; explizit ist also die Klasse der Quine-Individuen QI={x|{x}=x} definiert, die in Mengenlehren ohne Fundierungsaxiom, wie sie Quine hatte, nichtleer sein kann. Das Hauptbeispiel aber ist die explizit definierte Allklasse, die in Mengenlehren ohne Aussonderungsaxiom eine Menge sein kann. Die zweite Cantorsche Antinomie, die eine Allmenge verbietet, setzt nämlich das Aussonderungsaxiom voraus. Mengenmodelle kann man als komplementäre boolesche Verbände so konstruieren, dass das Aussonderungsaxiom nicht gilt und es eine Allmenge gibt.--Wilfried Neumaier 15:50, 21. Sep. 2009 (CEST)

Privat-Antinomie

Selbsterfunde Antinomie-Varianten gehören meines Erachtens nicht in diesen Artikel, etwa folgende, die jemand eingefügt hatte:

Die (mittlerweile gelöschte) Liste der Listen in Wikipedia mit nur einem Eintrag hätte sich nach dem ersten Eintrag (Liste der Universitäten auf den Seychellen) auch selbst enthalten müssen, wodurch sie eben diese Berechtigung sofort wieder verlor, weil sie ja nun zwei Beiträge enthielt, somit hätte sie aus sich selbst wieder gelöscht, daraufhin wieder aufgenommen werden müssen und so weiter.

--Wilfried Neumaier 08:29, 28. Jun. 2011 (CEST)

Entdeckungszusammenhang der Russellschen Antinomie

Ich könnte hier noch den Entdeckungszusammenhang reinsetzen, Quellen müsste ich raussuchen. Russell schreibt, er wäre folgendermaßen auf seine Antinomie gekommen:

Er wollte die größte Zahl finden, eine Menge mit der höchsten Kardinalität. Das müsste die Menge aller Mengen (im folgenden "M") sein. Sie müsste gleich ihrer Potenzmenge sein. Insbesondere ist die Identitätsabbildung von M eine Bijektion einer Menge auf ihre Potenzmenge. Das dürfte aber laut Cantor nicht möglich sein. Wendet man nun das Cantorsche Diagonalverfahren auf diese Situation an, bekommt man die Russelsche Antinomie.--Frogfol (Diskussion) 23:58, 26. Jul. 2012 (CEST)

Wenn man den Entdeckungszusammenhang reinsetzt, sollte man auch die frühere Entdeckung Zermelos reinsetzen. Hier gibt es Quellen, nämlich Briefe zwischen Zermelo und Hilbert; auch die neue Zermelo-Ausgabe im Springer-Verlag müsste man heranziehen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:40, 8. Apr. 2015 (CEST)

Freges Rückzug von der Logik?

Erst jetzt bemerke ich, dass die Referenz 9 Quatsch ist. Im Brief von Russell steht nirgends, dass Frege aufgegeben hätte. Diese Aussage müsste man löschen oder sinnvoll belegen. Der falsche Beleg kam am 1. Sept 2009 rein. Im Anhang seiner Grundlagen der Arithmetik versuchte er eine Korrektur, die aber nicht sinnvoll ist. Was er danach machte ist mir unbekannt.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 16:28, 27. Mär. 2015 (CET) Den fraglichen Satz stelle ich bis zur korrekten Quellenangabe hierher: Vermutlich gab Frege seine Arbeiten auf dem Gebiet der axiomatischen Logik aufgrund der Entdeckung des Paradoxons auf. Falsche Quellenangabe war: Freges Brief an Russell vom 22. Juni 1902. In: Gottlob Frege: Briefwechsel mit D.Hilbert, E. Husserl, B. Russell, ed. G. Gabriel, F. Kambartel, C. Thiel, Hamburg 1980, S. 60f.

"Antinomien der Mengenlehre", "Paradoxien der Mengenlehre": Weiterleitungen auf "Russellsche Antinomie"

Da die Begriffe "Antinomien der Mengenlehre" und "Paradoxien der Mengenlehre" neben "Russellsche Antinomie" in der Fachsprache geläufig sind, schlage ich zwecks besseren Auffindens der Thematik entsprechende Weiterleitungen vor. Wenn ich nichts Gegenteiliges höre, werde ich diese in Kürze erstellen. Beste Grüße --Mabit1 (Diskussion) 11:08, 30. Sep. 2020 (CEST)

@Mabit1 Das ist zwar schon drei Jahre her, aber ich würde Antinomien der Mengenlehre zu einem eigenen Übersichtsartikel ausbauen. Es geht (wie der Plural nahelegt) eindeutig nicht nur um die eine Antinomie, sondern darunter zählen auch andere Paradoxa wie die Cantorsche Antinomie oder das Burali-Forti-Paradoxon.

Wenn du nichts dagegen hast, werde ich das die nächsten Tage in Angriff nehmen. --Bildungskind (Diskussion) 02:30, 27. Feb. 2024 (CET)

Dagegen habe ich keine Einwände. Beste Grüße --Mabit1 (Diskussion) 08:48, 27. Feb. 2024 (CET)

"rein logischer Natur und unabhängig von Mengenaxiomen"

Mich stört schon seit einer ganzen Weile diese Behauptung. Das Fregesche Abspraktionsprinzip ist natürlich ein mengentheoretisches Axiom(enschema): Es postuliert die Existenz einer Menge zu einem gegebenem Prädikat. Das müsste man umformulieren. Ich bin mir aber noch nicht ganz sicher, wie man das am besten umformuliert; besonders, weil dieser Satz mehrmals im Artikel steht. --Bildungskind (Diskussion) 02:26, 27. Feb. 2024 (CET)