Diskussion:Satz von Banach-Alaoglu

Folgenkompakt

Ich habe den Satz so in Erinnerung, dass die Einheitskugel in der schwach-*-Topologie folgenkompakt ist. Ist das hier dasselbe? In allen Anwendungen, die ich kenne, benutzt man die Existenz von konvergenten Teilfolgen.--Digamma 22:03, 15. Jan. 2007 (CET)

Antwort

Normierte Räume sind ja insbesondere metrische Räume, und in diesen sind kompakte und folgenkompakte Mengen identisch. Der Beweis ist gar nicht mal so schwer, siehe z.B. in dem zitierten Buch von Jänich auf S. 105.

Schon. Aber bei dem Satz von Banach-Alaoglu geht es nicht um Kompaktheit in der von der Metrik induzierten ("starken") Topologie, sondern um Kompaktheit in der "schwachen" Topologie, die meines Wissens in der Regel nicht metrisierbar ist.--Digamma 19:22, 17. Jan. 2007 (CET)

Ok, da hast Du natürlich recht, das war ein Schnellschuss von mir! Ich hab nochmal in der Literatur gekramt und herausgefunden: Ist der normierte Raum separabel, dann ist die duale Einheitskugel schwach-*-folgenkompakt; sie ist dann sogar schwach-*-metrisierbar. I.a. ist die duale Einheitskugel aber nicht schwach-*-folgenkompakt. Als Gegenbeispiel dient: $E=\ell ^{\infty }$ und die Folge der $\ell ^{\infty }$-Funktionale $x_{n}'(x)=x(n)$.

Herzlichsten Dank.--Digamma 10:07, 21. Jan. 2007 (CET)

Aussage falsch?

Ich habe die Aussage so in Erinnerung, dass die offene Kugel B(0,1) (oder jede andere) schwach* realativ-kompakt ist. Der Unterschied zu der hier genannten Aussage ist halt, dass M der Abschluss von B in der Normtopologie ist, aber eigentlich nur der Abschluss in der schwach*Topologie kompakt ist (und der eben anders aussehen kann).