Diskussion:Spur (Mathematik)

Spurbildung von Teilsystemen

Bei theoretischen Physikbüchern findet sich eine Spurbildung über mehrere Teilsysteme, die (zumindest mir) nicht unmittelbar ersichtlich ist: (vgl. z.B. Leseprobe, Formel (1.5.9) (S.20))

$Sp_{1}Sp_{2}{\rho A}=Sp_{1}[(Sp_{2}{\rho })A]$ mit der Erklärung "Hier bedeutet Spi die Spurbildung über das Teilsystem i"

Kann jemand erklären, wie dies zu verstehen ist? Ich fände dies eine hilfreiche Ergänzung des Artikels

$Sp_{1}$ bezeichnet die "partielle Spur" oder "Partialspur" der Matrix $A$. $A$ ist auf einem Tensorprodukt von Hilberträumen $H_{i}$ definiert: $A:H_{1}\otimes H_{2}\otimes ...H_{N}\to H_{1}\otimes H_{2}$. Seien nun $\{e_{i}\}$ eine Orthonormalbasis von $H_{1}$ und $\{f_{i}\}$ von $H_{2}$, und sei $|f_{j}\rangle \langle e_{i}f_{j}|$ die lineare Abbildung von $H_{1}\otimes H_{2}$ nach $H_{2}$ mit $|f_{j}\rangle \langle e_{i}f_{j}|:e_{k}\otimes f_{l}\mapsto \delta _{ik}\delta _{lj}f_{j}$ (mit Kronecker-Delta $\delta _{ij}$), dann ist

${\text{Sp}}_{1}(A)=\sum _{i,j,k}|f_{j}\rangle \langle e_{i}f_{j}|A|e_{i}f_{k}\rangle \langle f_{k}|$

eine Matrix auf $H_{2}$ (die "reduzierte Matrix"); in Physiker-Notation: ${\text{Sp}}_{1}(A)=\sum _{i}{}_{1}\langle i|A|i\rangle _{1}$. Bezeichnet man die Elemente von $A$ in der Basis $\{e_{i}\otimes f_{j}\}$ mit $a_{ik,jl}$, dann sind die Einträge der reduzierten Matrix (in der Basis $\{f_{j}\}$) durch

$\left({\text{Sp}}_{1}(A)\right)_{k,l}=\sum _{i}a_{ik,il}$

gegeben.

Es wäre mE nicht schlecht, wenn Partialspur kein Redlink wäre. Meint Ihr, dass ein entsprechender Abschnitt in Spur (Mathematik) hineinpasst oder wäre ein eigener Artikel besser?--Qcomp 22:29, 24. Mär. 2011 (CET)

Gerne ein eigener Artikel--biggerj1 (Diskussion) 10:33, 27. Feb. 2014 (CET)

Tensoren

Ist die Spur auch für Tensoren höherer Stufe als 2 definiert? Wenn ja: Wie?

Als Tensorverjüngung ist sie dann definiert.--Christian1985 (Disk) 15:47, 15. Mär. 2013 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 15:47, 15. Mär. 2013 (CET)

Andere Definitionen

Ich kenn aus der Maßtheorie noch folgende Definition für eine Spur:

Sei ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ $\sigma$-Algebra. Sei $E\subseteq X$ mit $E\neq \emptyset$ fix, dann ist ${\mathcal {A}}_{E}:=\{A\subseteq E\ |A=A'\cap E,\ A'\in {\mathcal {A}}\}\quad =$  Spur von ${\mathcal {A}}$ auf E.

Auch wenn ich dafür keine Bücher angeben kann glaub ich nicht das sich mein Professor sich das nur ausgedacht hat... Gruß Azrael. 21:00, 23. Jul. 2007 (CEST)

Ja, es gibt noch andere Begriffe von "Spur" in der Mathematik. Ganz entsprechend wie diese Spur-sigma-Algebra heißt in der Topologie die Unterraumtopologie auch Spurtopologie. Es gibt außerdem einen "Spuroperator" in der Theorie der Sobolevfunktionen. Wenn ich mich nicht täusche, dann heißt auch in der Differenzialgeometrie die Menge der Bildpunkte einer parametrisierten Kurve (Weg) die Spur der Kurve. --Digamma 22:49, 30. Nov. 2007 (CET)

Meine letzte Ergänzung "reelle und komplexe Matrizen"

Meine letzte Änderung an diesem Artikel wurde mit der Begründung "(keine Verbesserung des Artikels; es gibt mehr als reelle und komplexe Matrizen)" rückgängig gemacht. Aus genau diesem Grund (dass es eben mehr als reelle und komplexe Matrizen gibt), bin ich aber dafür, bei Eigenschaften, die nicht für beliebige Körper gelten, dazuzusagen, dass man gerade nur über den reellen oder komplexen Zahlen ist: Konkret:

1. Die Aussage "Die Spur einer idempotenten Matrix $A$ ist gleich ihrem Rang:" ist falsch, sobald wir nicht Charakteristik Null haben, denn dann ist die Spur ein Element des Grundkörpers und der Rang ist eine natürliche Zahl. Die können schon reintypenmäßig nicht gleich sein.

2. Ich bin mir bewusst, dass man auch über einigen anderen Körpern, außer R oder C eine Matrix-Exponentialfunktion definieren kann. Da diese aber nicht soo weit verbreitet ist, würde ich vorschlagen, keine Matrizen über beliebigen Körpern in die Exponentialfunktion zu werfen.

3. Wenn wir das Skalarprodukt von A und B definieren wollen, indem wir die Spur von A mal B* bilden, dann sollte klar sein, was B* ist. Das ist im Kontext von reellen und komplexen Matrizen klar, im allgemeinen Kontext aber (mir) nicht. Außerdem ist mir nicht klar, wie die Cauchy-Schwartz-Ungleichung in Charakteristik p funktioniert.

Ich sehe grundsätzlich zwei Möglichkeiten: Entweder man nimmt im ganzen Artikel an, dass der Grundkörper R oder C ist. Dann sind die meisten Besucher dieser Wikipedia-Seite zufrieden oder man lässt dies im allgemeinen Rahmen, also über beliebigem Körper K, aber dann muss man eigentlich dazusagen, wo dies nicht mehr über allgemeinem Körper K funktioniert. Viele Grüße, --Cosine 00:44, 31. Jul. 2008 (CEST)

Mein Fehler. Ich habe deine Version wieder hergestellt. --Stefan Birkner 08:46, 31. Jul. 2008 (CEST)

Danke :-) --Cosine 09:41, 31. Jul. 2008 (CEST)

Spur in der Geometrie

In der Geometrie ist meinem Halbwissen nach der Begriff Spur noch für die Schnittlinie einer Fläche mit der Darstellungsebene üblich. Wenn das jemand mit fundierten Kenntnissen in dieser Richtung bestätigen kann, würde ich denjenigen bitten, das im Artikel zu ergänzen.

--TN 09:18, 16. Nov. 2009 (CET)

Ja, man spricht zum Beispiel von Spurgeraden und Spurpunkten. Das Wort "Spur" hat in der Geometrie und in der Mathematik noch weitere Bedeutungen. Zum Beispiel nennt man die Menge der Punkte einer parametrisierten Kurve die "Spur" der Kurve. Bei Sobolevfunktionen nennt man die Einschränkung der Funktion auf ein niederdimensionales Gebilde (zum Beispiel den Rand eines Gebiets) "Spur" der Funktion. Vielleicht sollte man den Artikel umbenennen in "Spur (Lineare Algebra)"? Zumindest ein Begriffsklärungshinweis wäre nützlich. -- Digamma 19:36, 25. Mär. 2011 (CET)

Spur als Summe der Eigenwerte

Wäre es nicht sinnvoll diese Tatsache auch anzumerken? Damit wird auch sofort die Basisunabhängigkeit ersichtlich. -- Erazortt 12:13, 16. Nov. 2010 (CET)

Das steht doch da. Gleich als erste unter "Eigenschaften". -- Digamma 13:57, 16. Nov. 2010 (CET)

Fehler

Punkt 8 unter Eigenschaften muss präzisiert werden. Das gilt nämlich nur, wenn A diagonalisierbar ist, also n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt. 141.3.212.119 15:55, 12. Jul. 2011 (CEST)

Punkt

Ich habe immer gedacht es sei ziemlich unueblich das Produkt zweier Matrizen mit einem Punkt zu notieren. Nijdam 22:20, 1. Sep. 2011 (CEST)

Ohh man, ich habe da letztens erst so einen überpingeligen Betreuer gehabt, der wollte auch Wert drauf legen, wann man wo ein Symbol (Malpunkt,...) zeichnet und wann nicht, weil es "üblich" ist. Das ist aber tatsächlich völliger Schwachsinn und daher muss ich hier deutlichst widersprechen! Symbole, die eine mathematische Operation kennzeichnen, die man ausführen will, sind niemals falsch und dürfen daher immer gezeichnet werden (und eigentlich ist das notieren dieser Operationen sogar nötig - man denke an Computeralgebrasysteme)! Oftmals ist es so, dass der Autor damit einen bestimmten Aspekt betonen will! Außerdem schreibt man das Matrixproduktzeichen doch bei ausgeschriebenen Matrizen auch wirklich hin!

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. 92.201.19.117 10:04, 25. Mai 2014 (CEST)

Abschn. Koordinatenfreie Definition der Spur: Def fehlen

Was bedeuten hier die Symbole in $(v\otimes \alpha )(w)=\alpha (w)v$? --jbn (Diskussion) 12:23, 28. Mai 2014 (CEST)--jbn (Diskussion) 12:23, 28. Mai 2014 (CEST)

Es ist $v\otimes \alpha \in V\otimes V^{*}$ gemeint. Also ist v ein Element eines endlichdimensionalen Vektorraums und $\alpha$ ein Element aus seinem Dualraum. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 14:16, 28. Mai 2014 (CEST)

Diagonalisierbarkeit

Hallo,

die Spur einer Matrix ist doch auch bei nicht diagonalisierbaren Matrizen die Summe ihrer Eigenwerte. Das folgt doch aus der Jordanschen Normalform, oder nicht?--Christian1985 (Disk) 16:28, 29. Jul. 2014 (CEST)

Ich glaube nicht. Bzw. das hängt wohl davon ab, wie man die Vielfachheiten zählt. Die Matrix ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ besitzt den Eigenwert 1 mit einem eindimensionalen Eigenraum, aber die Spur ist 2. Zählt man die Vielfachheit im charakteristischen Polynom (algebraische Vielfachheit), so hast du wohl recht. Zumindest dann, wenn man auch bei reellen Matrizen die komplexen Eigenwerte mit einrechnet. Bei einer Drehmatrix im $\mathbb {R} ^{2}$ würde ich normalerweise nicht sagen, sie habe Eigenwerte. --Digamma (Diskussion) 17:05, 29. Jul. 2014 (CEST)

Man könnte sagen, dass die Spur die Summe der Eigenwerte (mit algebraischer Vielfachheit) ist. Allerdings frage ich mich, ob das nicht eher verwirrt. --V4len (Diskussion) 17:39, 29. Jul. 2014 (CEST)

Das hat aber nichts mit Diagonalisierbarkeit zu tun. Das ist doch alles z. B. bei ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ genauso. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 19:05, 4. Aug. 2014 (CEST)

Ja, genau.

Entweder man sagt "die Spur einer Matrix ist die Summe der Eigenwerte (mit algebraischer Vielfachheit)"

oder man sagt "die Spur einer diagonalisierbaren Matrix ist die Summe der Eigenwerte (mit Vielfachheit)".--V4len (Diskussion) 13:09, 5. Aug. 2014 (CEST)

Ach so, „Vielfachheit“ allein steht hier für „geometrische Vielfachheit“, nicht für „algebraische Vielfachheit“. Das kenne ich eigentlich andersrum. Aber ein bisschen genauer/vorsichtiger muss man hier wohl schon sein, denn $K$ steht ja im ganzen Artikel für einen beliebigen Körper. Das richtige Kriterium für die Gültigkeit der Aussage wäre vermutlich, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 15:10, 5. Aug. 2014 (CEST)