Diskussion:Subdifferential

Was ist X^*?

Was ist das X^* in der Definition? (nicht signierter Beitrag von 131.220.141.100 (Diskussion) 10:20, 26. Jul 2012 (CEST))

Ich habe die Definition von $X^{*}$ dazugeschrieben. -- HilberTraum (Diskussion) 20:48, 29. Jan. 2013 (CET)

Änderungen

Was passt an den Änderungen nicht?

• Das Subdifferential ist eine Verallgemeinerung des Differential für nicht differenzierbare Funktionen. Das Subdifferential spielt eine wichtige Rolle in der konvexen Analysis sowie der konvexen Optimierung.

In der aktuellen Version steht "... Verallgemeinerung auf die Menge der konvexen Funktionen". Das ist m.M.n. zu eng. Das Subdifferential gibt es soweit ich weiß auch für nicht glatte, nicht konvexe Funktionen. Es ist eben eine Verallgemeinerung des Differential, auf welche Funktionen (konvex oder nicht konvex) spielt erstmal keine Rolle, wichtig ist aber dass es auch für nicht differenzierbare Funktionen gilt. Der Begriff kommt natürlich aus der konvexen Analysis, deshalb habe ich den zweiten Satz dazugefügt (den hast du ja übernommen).

• Sei $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ eine konvexe Funktion. Ein Vektor $c$ heißt Subgradient von $f$ an der Stelle

${\bar {x}}\in \mathrm {dom} \ f$, wenn für alle $x\in \mathrm {dom} \ f$ gilt

$f(x)\geq f({\bar {x}})+\langle c,x-{\bar {x}}\rangle$

Das Subdifferential $\partial f({\bar {x}})$ ist die Menge aller Subgradienten von $f$ im Punkt ${\bar {x}}$.

Das Subdiff. ist eine Menge von Subgradienten, deshalb macht es m.M.n. Sinn mit der Definition auch beim Subgradienten anzufangen. Das Subdiff. ist dann einfach die Menge aller Subgrad. in einem Punkt. Das ist leichter verständlich als die Menge gleich in der Definition zu haben. Außerdem ist mir nicht klar wie in der aktuellen Definition der Term $x^{*}(x-{\bar {x}})$ zu verstehen ist. Wenn der Vektorraum eine Dimension größer 1 hat dann ist $x^{*}$ ebenfalls ein Vektor und es müsste zumindest $x^{*T}(x-{\bar {x}})$ heißen, oder eben so wie ich es geschrieben habe als inprodukt.

• Ist das Subdifferential einer Funktion in allen Punkten $x\in \mathrm {dom} \ f$ eindeutig, dann ist die Funktion glatt und das Subdifferential ist equivalent zur herkömmlichen Ableitung.

Was ist daran nicht richtig? (nicht signierter Beitrag von 62.46.168.66 (Diskussion) 19:24, 19. Dez. 2013 (CET))

Hallo! Eigentlich müsste man jede Stelle einzeln analysieren, und Einiges wäre auch in Ordnung, aber insgesamt halte ich deine Version für eine Verschlechterung: Vor allem wird nicht erklärt, was $X$ ist, und damit ist auch unklar, was die spitzen Klammern in der Formel bedeuten. Auch „glatt“ ist unklar. Was ist mit „äquivalent“ gemeint? (da ist übrigens auch ein Rechtschreibfehler)

Zur Einleitung: Wenn du sagst, du willst auch nicht konvexe Funktionen betrachten, wieso schreibst du dann in der Definition nur über konvexe Funktionen? Man kann wohl auch von einer Verallgemeinerung des Differentials sprechen, aber dann besser nicht mit dem Link auf Differential (Mathematik); ich halte aber eine Erwähnung des Gradienten in der Einleitung für laienfreundlicher. Außerdem war dein erster Satz nicht vollständig: „ d.h. eine mengenwertig ???“ Grüße -- HilberTraum (Diskussion) 20:15, 19. Dez. 2013 (CET)

Hallo, danke für die Anmerkungen!

1. Meine Intention war ebenfalls den Artikel laienfreundlicher zu machen... Die Frage ist wie rigoros man das ganze aufzieht und ob es z.b. nicht besser wäre die Funktion einfach so zu definieren: $f:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R}$. Was für ein Raum $X$ genau ist, ist nebensächlich für die Begrifferklärung Subdifferential (zumal der Laie ev. mit dem Begriff Raum sowieso wenig anfangen kann, geschweige denn spezielle Typen von Räumen)
2. Die spitzen Klammern bezeichnen wie allgemein üblich das Standard Skalarprodukt, das kann man dazuschreiben, ja.
3. Was ist an „glatte Funktion“ unklar? Im dritten Satz auf der verlinkten Seite (falls der Begriff "glatt" unklar ist: dafür ist ja der Link da :) ) steht: Der Graph einer glatten Funktion hat keine „Ecken“, also Stellen, an der sie nicht differenzierbar ist. Das ist ja gerade der Punkt, das Subdifferential ist auch für nicht differenzierbare (=nicht glatte) Funktionen definiert.
4. Mit "äquivalent" ist gemeint: Falls die Menge der Subgradienten genau ein Element enthält (=eindeutig ist), dann gilt $\partial f({\bar {x}})\equiv \nabla f({\bar {x}})$, d.h. $f$ ist differenzierbar und das Subdifferential ist genau der Gradient. Ich finde diesen Zusammenhang erwähnenswert und gut fürs Verständnis, es zeigt auch anschaulich wo und wie die "Verallgemeinerung" passiert.
5. Zur Einleitung: Ich schrieb ja explizit "nicht differenzierbare Funktionen" und nicht "nicht konvexe Funktionen". Ob konvex oder nicht, ist in der Einleitung erstmal egal, die Verallgemeinerung bezieht sich auf die Differenzierbarkeit einer Funktion und nicht auf deren Konvexität. Natürlich kommt der Begriff aus der konvexen Analysis und ist dort naturgemäß für konvexe Funktionen definiert, deshalb habe ich das Gebiet konvexe Analysis auch in der Einleitung erwähnt. In der Definition halte ich mich dann an die Ergebnisse aus der konvexen Analysis. Soweit ich weiß lässt sich die Definition des Subdifferential für nicht konvexe Funktionen auf die Definition für konvexe Funktionen zurückführen, deshalb halte ich es für vertretbar in der Einleitung von allgemeinen Funktionen zu sprechen (mit Hinweis dass der Begriff aus der konvexen Analysis kommt) und in der Definition konvexität vorauszusetzen. Macht die Sache einfacher.
6. Den Begriff Differential habe ich gewählt damit der Zusammenhang zum Artikeltitel Subdifferential deutlich wird, in der Einleitung fände ich es verwirrend wenn der Artiekl Subdifferential heißt und dann von einer Verallgemeinerung des Gradienten gesprochen wird. Das kann man aber sicher noch besser formulieren, ja.
7. Zum Aufbau: Ich fände es besser zuerst den Subgradient zu definieren (quasi die "Bausteine" des Subdifferential) und dann zu sagen das Subdiff ist die Menge aller Subgradienten. (nicht signierter Beitrag von 129.27.201.167 (Diskussion) 09:27, 20. Dez. 2013 (CET))

Ich habe mir erlaubt, deinen Beitrag durchzunummerieren:

1. und 2.: Was $X$ bedeutet, ist sicher nicht „nebensächlich“, das ist ja der Definitionsbereich von $f$. Aber ich fände es ebenfalls nicht schlecht, zuerst den Fall $\mathbb {R} ^{n}$ zu bringen, dann wäre wohl am besten $X$ eine offene konvexe Teilmenge von $\mathbb {R} ^{n}$ und $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ das Standardskalarprodukt. Andere Räume könnte man dann vielleicht am Ende des Artikels bringen.

3. Hast du den verlinkten Artikel überhaupt richtig angeschaut? Dort wird „glatt“ als unendlich oft differenzierbar definiert (so kenne ich das auch) und das ist ja sicher nicht richtig.

4. Ja wenn man das so erklärt, dann kann man es auch verstehen, aber nicht „äquivalent“

5. Ich denke mal im nicht konvexen Fall dürfte das Subdifferential nicht besonders hilfreich sein, weil es dann im Allgemeinen leer ist. „nicht differenzierbar“ habe ich ja mittlerweile in der Einleitung ergänzt. In der Definition würde ich dann „konvex“ eher weglassen, dann macht auch die Bemerkung über die „supporting hyperplanes“ mehr Sinn.

6. Dann aber eher Totales Differential verlinken. Ich finde „Gradient“ aber immer noch verständlicher und trotzdem ausreichend.

7. Ja, ich glaube, das würde ich ebenfalls besser finden.

-- HilberTraum (Diskussion) 20:35, 20. Dez. 2013 (CET)

Hallo, danke fürs nummerieren, ist übersichtlicher so, ja.

1. Ich meine es ist nebensächlich für die Begriffserklärung Subdifferential. Ob $f$ auf ganz $\mathbb {R} ^{n}$ oder auf einer Teilmenge oder auf einem bestimmten Raum definiert ist ändert nichts an der Definition Subdifferential und trägt nichts zum Verständnis bei. Insofern mein Vorschlag einfach $\mathbb {R} ^{n}$ als Def.Bereich zu nehmen.

3. Tut mir leid, du hast recht, glatt ist natürlich nicht richtig. Was ich sagen wollte ist, wenn $\partial f$ eindeutig ist dann ist $f$ diffbar. Was nicht bedeutet dass $f$ glatt ist. *self facepalm*

4. Wie würdest du es sagen? Äquivalent bedeutet doch soweit ich weiß "gleich", "gleichwertig" usw. Ich wollte damit die Formel $\partial f({\bar {x}})\equiv \nabla f({\bar {x}})$ in Worte fassen. Für bessere Vorschläge bin ich natürlich jederzeit offen.

5. Warum sollte das subdiff für nicht konvexe Funktionen leer sein? Ich bin mir nicht sicher wie man diese konvex/nicht konvex Sache am besten einbaut. Soweit ich das überblicke gilt die Definition für das subdiff auch für nicht konvexe Funktionen, aber fast alle grundlegenden Ergebnisse kommen aus der konvexen Analysis (und dort natürlich konvexe Funktionen) Ich fände es gut wenn konvexität in der Einleitung keinen prominenten Platz einnimmt, einfach deswegen weil es fürs Verständnis des Begriffs erstmal keine Rolle spielt. Ich halte es für vertretbar wenn es in der Einleitung erwähnt wird, so wie es jetzt drinsteht (spielt eine wichtige Rolle in der konvexen Analysis), und dann in der Def. einfach konvexe Funktionen vorauszusetzen. Vielleicht kann man noch erwähnen dass die Definition klassische Resultate aus der konvexen Analysis wiedergibt, das Subdiff aber in sehr ähnlicher (oder gleicher, das wäre zu klären) Weise auch für nicht konvexe Funktionen gilt.

6. Mir ging es nur darum einen wichtigen Teil des Artikeltitels der dem Leser wahrscheinlich bekannt ist (Differential) auch in der Einleitung zu haben. vielleicht kann man einfach einen Satz zur Relation zwischen Gradient, totales differential usw einfügen, sodass der Lesefluss erhalten bleibt. ansonsten finde ich auch den Begriff Gradient besser, ja.

Was hältst du von diesen Vorschlägen? (nicht signierter Beitrag von 178.188.54.226 (Diskussion) 21:01, 21. Dez. 2013 (CET))

Ich denke bevor wir hier austüffteln, was wir gut finden, wäre es am besten, sich ein gängiges Lehrbuch herauszusuchen und sich möglichst daran zu orientieren, der Artikel ist ja bislang völlig unbelegt, vielleicht so etwas. Abstraktere Konzepte könnte man weiter hinten in einem eigenen Abschnitt besprechen, siehe z.B. [1]. -- HilberTraum (Diskussion) 18:29, 23. Dez. 2013 (CET)

Definition

Die aktuelle Definition des Subdifferential $\partial f({\bar {x}})=\{x^{*}\in X^{*}:f(x)-f({\bar {x}})\geq x^{*}(x-{\bar {x}})$ für alle $x\in X\}$ ist nur für konvexe Funktionen gültig, im ersten Satz ist aber von allgemeinen Funktionen $f:X\mapsto \mathbb {R}$ die Rede. Entweder die Definition ändern oder dazuschreiben dass es nur für konvexe Funktionen gilt. Ich würde letzteres bevorzugen. (nicht signierter Beitrag von 193.83.52.28 (Diskussion) 15:57, 23. Dez. 2013 (CET))

Wie wäre denn die Definition für nicht konvexe Funktion? Auf die Schnelle finde ich nur Definitionen für konvexe Funktionen. Ich denke es wäre wohl doch am einfachsten, im ganzen Artikel nur konvexe Funktionen zu betrachten. -- HilberTraum (Diskussion) 18:19, 23. Dez. 2013 (CET)

Wenn man das Subdifferential als Verallgemeinerung des Differentials auffassen möchte, sollte man sich auf konvexe Funktionen beschränken. Ist $f$ glatt und die Hesse-matrix $Hf(x_{0})$ nicht positiv-semidefinit, so gilt für das Subdifferential $\partial f(x_{0})=\emptyset$. --V4len (Diskussion) 13:24, 15. Mai 2014 (CEST)

nun im Artikel

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. biggerj1 (Diskussion) 15:25, 27. Dez. 2023 (CET)

--biggerj1 (Diskussion) 15:25, 27. Dez. 2023 (CET)