Diskussion:Untermannigfaltigkeit

Warum wird das untere Kapitel 2 nicht in den eigentlichn Artikel integriert? Hier in der Diskussion kann das auch schon mal ungelesen bleiben, und der Artikel selbst ist ja ziemlich knapp geraten --Undergaveragent 00:06, 27. Jan. 2007 (CET)

Dieses Kapitel wurde in den Artikel Differenzierbare Mannigfaltigkeit eingearbeitet. Eventuell ist auf Untermannigfaltigkeit ein Verweis dahin angebracht. --TN

Der beschriebene Begriff ist "eingebettete Untermannigfaltigkeit" (oder immersiert? ich bin mir da immer unsicher). "Untermannigfaltigkeit" ist allgemeiner, also zB auch das Bild von

$\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{2},\quad t\mapsto (t,t{\sqrt {2}})$

unter der Projektion

$\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}/\mathbf {Z} ^{2}$

als Untermannigfaltigkeit des Torus.--Gunther 12:22, 13. Mär 2005 (CET)

Die im Artikel angegebene Definition stimmt mit der in den zwei Literaturquellen überein. Aus meiner Sicht wäre die einzige mögliche Verallgemeinerung, unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten zuzulassen (siehe [Abraham,Marsden,Ratiu]). Aber davon würde ich in diesem Wiki absehen. --Benutzer:TN

Referenz: S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces, American Mathematical Society 1962 ISBN 0821827359

Darin steht auf S. 23: „M is called a submanifold of N if (1) $M\subseteq N$ (set-theoretically); (2) the identity mapping I of M into N is regular at each point of M.“

--Gunther 11:18, 3. Mai 2006 (CEST)

Hallo Gunther, vielen Dank für den Literaturhinweis. Das Buch steht bei uns in der Bibliothek. Voraussichtlich am Samstag kann ich mir diese Version einmal anschauen. --TN 21:25, 4. Mai 2006 (CEST); Ich habe mir die betreffende Stelle im Buch heute angeschaut. Ist $M$ eine Untermannigfaltigkeit von $N$ und $x\in M$, so kann es sein, dass es in jeder $N$-Umgebung von $x$ Punkte von $M$ gibt, die jedoch in Bezug auf das Umgebungssystem von $M$ weit voneinander entfernt liegen (soll heißen, es ex. eine $M$-Umgebung von $x$ in der diese Punkte nicht mehr enthalten sind). Hm, na gut. Muss man einfach akzeptieren. --TN 23:24, 6. Mai 2006 (CEST)

Bezeichnung $\mathbb {R} ^{n}\times 0$

Die Bezeichnung $\mathbb {R} ^{n}\times 0$ ist kritisch. Zum Beispiel ist

$\mathbb {R} ^{n}\times \{0\}$ mit $0\in \mathbb {R} ^{m-n}$

nicht das selbe wie

$\left\{x\in \mathbb {R} ^{m}\mid x_{n+1}=\ldots =x_{m}=0\right\}$.

Das erste ist eine Paarmenge und das zweite ein Unterraum des $\mathbb {R} ^{m}$. Falls, wie üblich, diese Mengen miteinander identifiziert werden sollen, so muss ein Hinweis darauf in den Artikel.

Eine Alternative wäre, zu sagen, dass die Kartenabbildungen $\phi$ in einen Banachraum $B$ abbilden und mit einem Unterraum $B'$ von $B$ für jeden Punkt $x\in N$ eine Karte $(\phi ,U)$ mit $x\in U$ existieren muss, die der Bedingung $\phi (U\cap N)=B'\cap \phi (U)$ genügt.

Das würde dann sogar den Fall unendlichdimensionaler Untermannigfaltigkeiten mit abdecken.--TN 15:43, 30. Apr 2006 (CEST)

Der erste Punkt ist i.w. die Identifizierung $X^{m}\times X^{n}=X^{m+n}$; aber man kann das natürlich erwähnen.

Einen beliebigen Unterraum zu verwenden ist mir nicht so richtig sympathisch. Koordinaten dienen ja gerade dazu, um in eine Standardsituation zu gelangen, und dann frage ich mich: Wenn schon beliebige Unterräume, warum dann nicht gleich lokale Untermannigfaltigkeiten (definiert als Niveaufläche einer lokalen Submersion $\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m-n}$). Die Wahl dieses Unterraums bringt auch eine Struktur hinein, die (zumindest im endlichdimensionalen Fall) irrelevant ist. Man kann einer Untermannigfaltigkeit nicht ansehen, auf welchem $n$-dimensionalen Unterraum des $\mathbb {R} ^{m}$ sie modelliert ist.--Gunther 11:34, 3. Mai 2006 (CEST)

Hallo Gunther, vielen Dank für deinen Kommentar. Ich bin mir allerdings immer noch nicht sicher, welche Variante die bessere ist. Aus meiner Sicht zählt der Fakt, dass man auch ohne Identifikations-Trick hinkommt, relativ schwer. Man kann ja im Nachhinein sagen, dass die Wahl von $B'$ im Rahmen der Banachraum-Isomorphie willkürlich ist und dass man bei der Rechnung im $R^{n}$ für eine $m$-dimensionale Untermannigfaltigkeit einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit gerne $B'=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{m+1}=\ldots =x_{n}=0\}$ wählt.

Aber das ist wahrscheinlich Geschmackssache. Ein schwerwiegenderer Fakt ist, dass hier in der Wikipedia im Rahmen der Variationsprinzipien der klassischen Mechanik schon mit unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten gearbeitet wird (nämlich $C^{2}(I,N)$, wenn $I$ das Beobachtungszeitintervall und $N$ eine unendlichdimensionale Zwangsmannigfaltigkeit ist). Ein Beispiel für $N$ ist ein Balken, bei dem man die zunächst freie Bewegung des Balkenkontinuums so einschränkt, dass die Balkenquerschnitte starr bleiben. Bei der numerischen Simulation beschränkt man sich dann weiter, so dass man nur noch Balkenbewegungen zulässt, die sich mit gewissen gewichteten Formfunktionen darstellen lassen, dadurch entsteht dann eine endlichdimensionale Zwangsmannigfaltigkeit $N'$. Die zugehörige Untermannigfaltigkeit $C^{2}(I,N')$ von $C^{2}(I,N)$ ist jedoch immer noch unendlichdimensional. Zur Ermittlung der Lösung wird dann auf das reduzierte Problem ein Variationsprinzip angewandt und erst danach wird zeitlich diskretisiert. --TN 23:28, 5. Mai 2006 (CEST)

Die Frage, wie allgemein die erste Definition aussehen soll, ist mMn unabhängig davon, welche Allgemeinheit in der WP benötigt wird. Man kann den Artikel problemlos mehrteilig aufbauen mit einem elementareren und einem oder mehreren allgemeineren Abschnitten. Die Frage sollte in etwa sein: Welches ist der zentrale Begriff? In meiner Wahrnehmung sind alle Mannigfaltigkeiten endlichdimensional, aber die meisten kommen nicht zusammen mit einer Einbettung in irgendeinen $\mathbb {R} ^{N}$, bzw. eine Einbettung hilft nicht wirklich weiter (typisches Beispiel: $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$). Deshalb würde ich die Artikel im wesentlich auf endlichdimensionale abstrakte Mannigfaltigkeiten ausrichten und einerseits Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{N}$ als anschaulichen Spezialfall, andererseits unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten als eine Verallgemeinerung erwähnen.--Gunther 16:34, 6. Mai 2006 (CEST)

In die endlichdim. Fassung füge ich mich. Im Sinne des Aufbaus vom einfachen zum schweren würde ich eventuell die Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ gleich hinter der Einleitung einschieben. Etwas in dieser Richtung hatte ich schon auf deiner Diskussionseite erwähnt. Einen Vorschlag setze ich in Bälde als Vorschau hier auf die Diskussionsseite. --TN 23:11, 6. Mai 2006 (CEST)

Untermannigfaltigkeit des Rn

Zuerst sollen Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ beschrieben werden, da diese häufig in Anwendungen auftreten und eine besonders einfache Struktur besitzen.

Ausgewählte Beispiele in denen Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ eine Rolle spielen sind:

• Optimierung unter Nebenbedingungen
• Mechanische Systeme mit Zwangsbedingungen
• Algebro-Differentialgleichungssysteme bei der numerischen Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik

In all diesen Anwendungen wird die Menge der betrachteten Punkte von vornherein auf eine Teilmenge $M$ des $\mathbb {R} ^{n}$ eingeschränkt, die sich lokal durch Diffeomorphismen auf Gebiete eines $\mathbb {R} ^{m}$ mit $0\leq m\leq n$ abbilden lässt. Diese Teilmenge $M$ wird als $m$-dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet. Mit Hilfe der Diffeomorphismen kann man auf der Untermannigfaltigkeit im differentialgeometrischen Sinne genauso rechnen, wie in Gebieten des $\mathbb {R} ^{m}$.

Meistens wird die Menge $M$ durch Nebenbedingungen beschrieben. Das heißt, $M$ enthält gerade diejenigen Punkte $x$, die mit einer vorgegeben stetig differenzierbaren Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n-m}$ mit $0<m<n$ die Gleichung

$f(x)=0$

erfüllen. Außerdem wird noch gefordert, dass $0$ ein regulärer Wert von $f$ ist, d.h., dass die Jacobi-Matrix $Df(x)$ von $f$ für alle Punkte $x\in M$ den Maximalrang $\left.n-m\right.$ hat.

Die letzte Bedingung sichert die Anwendbarkeit des Satzes über implizite Funktionen. Dieser besagt, dass es zu jedem Punkt ${\bar {x}}\in M$ eine $\mathbb {R} ^{n}$-Umgebung $U_{\bar {x}}$ von ${\bar {x}}$ gibt, in der die Punkte $x\in U_{\bar {x}}\cap M$ schon eindeutig durch $m$ Koordinaten parametrisiert sind. Die Abbildung, die $x\in U_{\bar {x}}\cap M$ auf die zur Parametrisierung benötigten Koordinaten projiziert, ist ein Beispiel für eine Kartenabbildungen und $U_{\bar {x}}\cap M$ ist das zugehörige Kartengebiet. Da es zu jedem Punkt ${\bar {x}}\in M$ eine Kartenabbildung gibt, kann man ganz $M$ mit den zugehörigen Kartengebieten überdecken. Eine Menge solcher Karten, mit deren Kartengebieten man $M$ überdecken kann, ist ein Beispiel für einen Atlas.

Mit Hilfe der Kartenabbildungen kann man auf $M$ lokal wie im $\mathbb {R} ^{m}$ rechnen. Das motiviert, dass die natürliche Zahl $m$ Dimension von $M$ genannt wird und $M$ als $m$-dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet wird.

Beispiel

Kartengebiete und Projektionen als Kartenabbildungen für die eindim. Einheitssphäre

Die Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{n}$ wird mit der stetig differenzierbaren Funktion $f(x):=\|x\|^{2}-1$ durch die Gleichung $f(x)=0$ beschrieben. Die Jacobi-Matrix $Df(x)=2x^{T}$ hat für $x\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $\|x\|=1$ ihren Maximalrang eins. Also ist $M:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|x\|^{2}-1=0\}$ eine $\left.(n-1)\right.$-dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$. In jedem Punkt ${\bar {x}}\in M$ ist mindestens eine Koordinate ${\bar {x}}_{k}$ ungleich null. Für ${\bar {x}}_{k}>0$ kann man mit $U_{\bar {x}}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{k}>0\}$ die Menge $M\cap U_{\bar {x}}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|x\|=1,\,x_{k}>0\}$ als Kartengebiet nutzen und für ${\bar {x}}_{k}<0$ mit $U_{\bar {x}}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{k}<0\}$ die Menge $M\cap U_{\bar {x}}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|x\|=1,\,x_{k}<0\}$. Die Abbildung $\phi (x)=(x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{k}\pm {\sqrt {1-x_{1}^{2}-\ldots -x_{k-1}^{2}-x_{k+1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}}},x_{k+1},\ldots ,x_{n})$ eignet sich dann für den ersten Fall mit dem Minus vor der Wurzel und im zweiten Fall mit dem Plus vor der Wurzel als lokaler Flachmacher.

Am einfachsten zu veranschaulichen ist dieses Vorgehen für die eindimensionale Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{2}$. Im nebenstehenden Bild sind die vier Kartengebiete als dick durchgezogene Linien eingezeichnet. Die Vereinigung der Kartengebiete überdeckt die gesamte Einheitssphäre, also bilden diese Karten zusammen einen Atlas. Die jeweils zu den Kartengebieten gehörigen Flachmacher sind durch einen kleinen Pfeil angedeutet. Die Bilder der Kartengebiete sind dick gestrichelt.

Für die zweidimensionale Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{3}$ benötigt man schon zwei Koordinaten zur eindeutigen Parametrisierung der Punkte in den Kartengebieten. Zum Beispiel wählt man für ${\bar {x}}_{1}>0$ die Menge $U_{\bar {x}}:=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid x_{1}>0\},$ und als Kartenabbildung $\phi (x)=(x_{2},x_{3})$.

Auch das Möbiusband hat lokal Eigenschaften wie ein Gebiet des $\mathbb {R} ^{2}$ und soll deshalb auch als zweidimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{2}$ bezeichnet werden können. Wäre das Möbiusband als Urbild eines regulären Wertes einer stetig differenzierbaren Funktion $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ darstellbar, so müsste der senkrecht auf $M$ stehende stetige Gradient dieser Funktion überall in eine Richtung zeigen (als z.B. von der Vorderseite wegzeigen). Das geht jedoch nicht, da das Möbiusband keine Vorder- oder Rückseite hat. Deshalb muss die Definition der differenzierbaren Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ etwas allgemeiner gefasst werden.

Allgemeine Definition [Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$]

Eine Menge $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ ist eine $m$-dimensionale $k$-mal stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$, wenn es zu jedem Punkt ${\bar {x}}\in M$ eine $\mathbb {R} ^{n}$-Umgebung $U_{\bar {x}}$ und eine $k$-mal stetig differenzierbare Funktion $f_{\bar {x}}:U_{\bar {x}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n-m}$ mit regulärem Wert 0 gibt, so dass $f^{-1}(\{0\})=N\cap U_{\bar {x}}$ gilt.

Wichtige Aussagen

Äquivalent dazu ist: Eine Menge $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ ist genau dann eine $k$-mal stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$, wenn es zu jedem Punkt ${\bar {x}}\in M$ einen lokalen Flachmacher gibt, d.h., zu ${\bar {x}}$ existieren eine $\mathbb {R} ^{n}$-Umgebung $U_{\bar {x}}$ und ein $C^{k}$ Diffeomorphismus $f:U_{\bar {x}}\rightarrow f(U_{\bar {x}})\subset \mathbb {R} ^{n}$ mit $f_{m+1}(x)=\ldots =f_{n}(x)=0$ für alle $x\in M\cap U_{\bar {x}}$.

Eine reguläre Parameterdarstellung ist eine stetig differenzierbare Funktion $g$, die ein Gebiet $\Omega$ des $\mathbb {R} ^{m}$ in den $\mathbb {R} ^{n}$ $(n,m\in \mathbb {N} ,m<n)$ abbildet und deren Jacobi-Matrix $Dg(p)$ für jeden Parameter $p\in \Omega$ den Maximalrang $m$ hat.

Ist $f_{\bar {x}}:U_{\bar {x}}\rightarrow f(U_{\bar {x}})$ ein lokaler Flachmacher einer Mannigfaltigkeit $M$, so ist $g:={\Big (}\mathrm {pr} _{1:m}f_{\bar {x}}|(U_{\bar {x}}\cap M){\Big )}^{-1}$ eine reguläre Parameterdarstellung, die zumindestens den Teil $U_{\bar {x}}\cap M$ von $M$ parametrisiert. Dabei projiziert $\mathrm {pr} _{1:m}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit $\mathrm {pr} _{1:m}(x)=(x_{1},\ldots ,x_{m})$ auf die wesentlichen Komponenten des lokalen Flachmachers.

Beispiel für eine Immersion, deren volles Bild keine Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ ist

Lokal kann man durch reguläre Parameterdarstellungen auch Mannigfaltigkeiten definieren: Ist $g:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine reguläre Parameterdarstellung und $p\in \Omega$ beliebig, so exisitert eine Umgebung $U_{p}\subset \Omega$ von $p$, so dass das Bild $g(U_{p})\subset \mathbb {R} ^{n}$ von $U_{p}$ unter $g$ eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ darstellt.

Beispiel

Die rechts veranschaulichte Immersion $g:(-\pi /2,3\pi /2)\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ mit $g(p):={\big (}2\cos(p),\sin(2p){\big )}$ ist ein Beispiel dafür, dass die vorstehende Aussage nicht notwendigerweise auf das volle Bild einer Immersion verallgemeinerbar ist (sogar dann nicht, wenn, wie in diesem Beispiel, die Immersion injektiv ist). Die Menge $M:=g{\big (}(-\pi /2,3\pi /2){\big )}$ ist lokal um den Punkt $(0,0)$ nicht diffeomorph zu einem Intervall der reellen Achse und stellt somit keine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ dar.

Tangentialvektoren/Tangentialraum/Tangentialbündel

Tangentialvektor an $M$ in $x\in M$ definiert als Geschwindigkeitsvektor einer Kurve $\gamma$ durch $x$ sowie Tangentialraum an den Punkt $x$

Sei $M$ eine $m$-dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ und $x\in M$. Ein Vektor $v\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt Tangentialvektor an $M$ im Punkt $x$, falls es eine differenzierbare Kurve $\gamma :(-\epsilon ,\epsilon )\rightarrow M$ mit $\left.\gamma (0)=x\right.$ und ${\dot {\gamma }}(0)=v$ gibt.

Betrachtet man $t\in (-\epsilon ,\epsilon )\mapsto \gamma (t)$ als Bahnkurve eines sich auf der Untermannigfaltigkeit $M$ bewegenden Teilchens, so passiert dieses Teilchen zur Zeit $t=0$ den interessierenden Punkt $x$ gerade mit der Geschwindigkeit $v$.

Die Menge $T_{x}M$ aller Tangentialvektoren an $M$ im Punkt $x\in M$ ist ein $m$-dimensionaler linearer Raum und wird als Tangentialraum an $M$ im Punkt $x$ bezeichnet.

Definitionsgemäß lässt sich die Untermannigfaltigkeit in einer Umgebung $U_{\bar {x}}$ des Punktes ${\bar {x}}\in M$ als reguläre Nullstelle einer Funktion $f:U_{\bar {x}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n-m}$ darstellen. Sei $\gamma :(-\epsilon ,\epsilon )\rightarrow U_{\bar {x}}\cap M$ eine beliebige stetig differenzierbare Kurve mit $\gamma (0)={\bar {x}}$. Da diese auf der Mannigfaltigkeit verläuft, erfüllt sie die Gleichung $f(\gamma (t))=0$. Ableiten nach $t$ an der Stelle $t=0$ ergibt $Df(\gamma (t)){\dot {\gamma }}(t)|_{t=0}=0$, woraus folgt:

Der Tangentialraum $T_{x}M$ ergibt sich gerade als Kern der zu $f$ gehörigen Jacobi-Matrix $Df({\bar {x}})$, das heißt, es gilt $T_{\bar {x}}M=\{v\in \mathbb {R} ^{n}\mid Df({\bar {x}})v=0\}$.

Hat man eine (lokale) reguläre Parameterdarstellung $g:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\rightarrow M$ gegeben, die einen Parameterpunkt $p\in \Omega$ in $x\in M$ abbildet, so lässt sich der Tangentialraum an $M$ in $x$ auch als volles Bild der zugehörigen Jacobi-Matrix $Dg(p)$ darstellen:

$T_{x}M=\{Dg(p)u\mid u\in \mathbb {R} ^{m}\}.$

Die Relation $TM:=\{(x,v)\in M\times \mathbb {R} ^{n}\mid v\in T_{x}M\}$, die jedem Punkt $x\in M$ alle Tangentialvektoren an $M$ in diesem Punkt zuordnet, heißt Tangentialbündel von $M$.

Sei $M$ eine mindestens zweimal stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ und ${\bar {x}}\in M$ beliebig. Aus einer lokalen Darstellung $M\cap U_{\bar {x}}=\{x\in U_{\bar {x}}\mid f(x)=0\}$ von $M$ in einer Umgebung $U_{\bar {x}}$ von ${\bar {x}}$ lässt sich eine lokale Darstellung von $TM$ konstruieren:

$TM\cap (U_{\bar {x}}\times \mathbb {R} ^{n})=\{(x,v)\in U_{\bar {x}}\times \mathbb {R} ^{n}\mid f(x)=0{\mbox{ und }}Df(x)v=0\}.$

Damit ist $TM$ eine $2m$-dimensionale (mindestens einmal) stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{2n}$ (im Sinne der üblichen Identifikation des $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ mit dem $\mathbb {R} ^{2n}$).

--TN 15:36, 7. Mai 2006 (CEST)

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Diskussion zu Untermannigfaltigkeiten des Rn

Ich bin noch nicht so ganz glücklich damit. Du lässt als lokale Koordinaten nur Auswahlen aus den Standardfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ zu, und das deckt weder Kugelkoordinaten noch stereographische Projektionen ab.--Gunther 10:24, 7. Mai 2006 (CEST)

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Das ist mir bewusst.

1. Das Schriftstück ist noch weniger als ein Stub. Es ist eine Diskussionsgrundlage (vielen Dank für den ersten Beitrag). Vorschläge für den Text sind willkommen. Aufgrund des Problems konkurrierender Versionen bin ich mir noch nicht sicher, ob es günstig wäre, wenn jeder seine Verbesserungsvorschläge gleich in den obigen Text einarbeitet.
2. Dass das ein spezielles Beispiel für Kartenabbildungen ist, hoffe ich, im Text deutlich gemacht zu haben. Was an dieser Stelle weiter geschieht, hängt von einer Grundsatzentscheidung ab: Soll der Text
   1. auf die Seite Untermannigfaltigkeit?
   2. auf die Seite Mannigfaltigkeit?
   3. auf eine eigene Seite Untermannigfaltigkeit des Rn?
   4. einfach nur gelöscht werden? (Wäre ich natürlich etwas traurig darüber.)
3. Ich habe für den einleitenden Text diese Kartenvariante genutzt, da sie
   1. immer realisierbar ist
   2. direkt aus dem Satz über implizite Funktionen folgt und somit (meiner Ansicht nach) am einfachsten nachvollziehbar ist
4. Dass hier nur eine spezielle Variante von Karte vorgestellt wird, ist eins der kleinsten Probleme. Glatter Kartenwechsel fehlt noch vollständig. Daran arbeite ich jetzt.
5. Das Nächste sind dann Tangentialvektoren und Tangentialraum/Tangentialbündel. Das ist das, worauf es mir persönlich am meisten ankommt, da ich nach Fertigstellung endlich den diesbezüglichen Hinweis aus Algebro-Differentialgleichung#Geometrischer Index durch einen Link ersetzen könnte. (Die besonders einfache Struktur von Tangentialvektoren an Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ trägt an dieser Stelle extrem zur Vereinfachung bei. Bei Tangentialvektoren an allgemeinen Mannigfaltigkeiten hat man das Problem, dass zwischen Tangentialvektoren an einer Mannigfaltigkeit und denen an einer Untermannigfaltigkeit wieder so eine kanonische Identifikation notwendig wird. Solches Zeug umgehe ich wo es nur geht.)

Mit freundlichen Grüßen, --TN 14:39, 7. Mai 2006 (CEST)

Also wenn ich mich jetzt nicht vertan habe, ist bei einer Def. einer Mannigfaltigkeit über $f(x)=0$ mit einer stetig diff'baren Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n-m}$ und regulärem Wert 0 sowie einer Kartierung der Mannigfaltigkeit über kanonische Projektionen der Kartenwechsel immer ein Diffeomorphismus. Damit bräuchte man auf den glatten Kartenwechsel in dem einführenden Abschnitt noch nicht einzugehen, sondern man kann dieses Thema nach hinten in dem Artikel verschieben (bzw. das Thema ist auf der Seite Mannigfaltigkeit schon abgehandelt.

Mittlerweile weiß ich: Glattheit des Kartenwechsels ist bei diff'baren Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ immer gegeben. Also braucht man dieses Thema im Rahmen diff'barer Untermannigfaltigkeiten nicht wirklich ansprechen. (Dank an Prof. V.) --TN 20:09, 7. Mai 2006 (CEST)

ad 2: Als eigene Seite erscheint mir das nicht sinnvoll. Ich würde es eher in Mannigfaltigkeit als hier einarbeiten, weil es weniger um die relative Situation als um die eigentlichen Studienobjekte geht.

ad 3/4: Es wäre wohl vor allem noch sinnvoll, Parameterdarstellungen zu erwähnen.

ad 5: Tangentialbündel würde ich weglassen. (Differenzierbare) Vektorfelder gehen ja auch ohne.

--Gunther 11:30, 9. Mai 2006 (CEST)

Hm, jetzt habe ich wiedermal eine ganze Menge als unangemeldeter Benutzer eingefügt. Ich werde es wohl nie lernen...

zu ad 3/4: Reguläre Parameterdarstellungen definieren Immersionen und keine Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$. Was im Sinne einer Parametrisierung/Kartendarstellung geht, habe ich als Flachmacher oben ergänzt. (Den Unterschied zwischen Untermannigfaltigkeit und eingebetteter Untermannigfaltigkeit scheint es in der Literatur in Bezug auf Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ nicht zu geben.)

zu ad 5: bei verdeckten Zwangsmannigfaltigkeiten sind Tangentialbündel von Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ nahezu ein Segen. Mit einem verallgemeinerten Vektorfeld $N\in M\times \mathbb {R} ^{n}$ braucht man da gerade $\mathrm {pr} _{1}\left(N\cap TM\right)$, wobei $TM:=\{(x,dx)\in M\times T_{x}M\}$ das Tangentialbündel von $M$ und $\mathrm {pr} _{1}$ die Projektion auf die erste Komponente sind.

(nicht signierter Beitrag von TN (Diskussion | Beiträge) 23:39, 9. Mai 2006)

3/4: Das Bild einer Immersion ist (lokal im Definitionsbereich) eine Untermannigfaltigkeit. Beispiele: Kugelkoordinaten, oder auch die explizite Darstellung des Möbiusbandes wie im dortigen Artikel angegeben.

5: Ist ein bisschen unklar, Vektorfelder sind keine Elemente von $M\times \mathbb {R} ^{n}$. Es geht um diejenigen Punkte der Mannigfaltigkeit, in denen ein nicht tangentiales Vektorfeld doch tangential ist?

--Gunther 23:41, 9. Mai 2006 (CEST)

Ja, genau! Das durch die Algebro-Differentialgleichung vorgeschriebene allgemeine Vektorfeld $N$ kann in Punkten $x\in M$ Richtungen vorschreiben, die garnicht in $TM$ liegen. Dadurch wird die Mannigfaltigkeit, in der wirklich Lösungskurven der Algebro-Differentialgleichung liegen weiter eingeschränkt. Das sind gerade die sogenannten hidden constraints. (nicht signierter Beitrag von TN (Diskussion | Beiträge) 23:48, 9. Mai 2006)

Dann sehe ich allerdings nicht, wofür Du dabei das Tangentialbündel brauchst, ein nicht tangentiales Vektorfeld kannst Du doch auch einfach als Abbildung $M\to \mathbb {R} ^{n}$ auffassen.--Gunther 23:57, 9. Mai 2006 (CEST)

Doch, gerade das Tangentialbündel braucht man hier, um die verdeckte Zwangsmannigfaltigkeit, in der überhaupt Lösungskurven liegen können herauszufischen. Die Sache mit der Projektion, die ich oben kurz angesprochen habe und die in Algebro-Differentialgleichung näher beschrieben ist, kann sogar als Algorithmus zur Index-Reduktion bei Algebro-Differentialgleichungen benutzt werden.

3/4: lokal ja, im Definitionsbereich nein: $\phi \mapsto (\mathrm {cos} (\phi ),\mathrm {sin} (\phi ))$, die Kugelkoordinaten auf Kugelflächen mit Radius ungleich null werden von (inversen) Flachmachern erfasst. Vielleicht verstehe ich an dieser Stelle noch nicht, was du möchtest. Ah, ja: Königsberger nennt Flachmacher auch schon Karten. Vielleicht sollte man sich daran gewöhnen?

Beste Grüße, --TN 00:09, 10. Mai 2006 (CEST)

3/4: "Lokal im Definitionsbereich" sollte heißen: Zu jedem Punkt des Definitionsbereiches gibt es eine Umgebung, so dass die darauf eingeschränkte Abbildung als Bild eine Untermannigfaltigkeit hat.

5: Ja, ich hatte das gerade auch mal durchgelesen: Wenn man Gleichungen auf dem Tangentialbündel betrachtet, ist das die natürliche Sichtweise, klar.--Gunther 00:12, 10. Mai 2006 (CEST)

Ach ja: "Flachmacher" klingt komisch, und der Unterschied zu Karten ist ja nicht so groß.--Gunther 00:13, 10. Mai 2006 (CEST)

3/4: Ich war gestern nacht ein wenig blind. Habe jetzt reguläre Parameterdarstellung ergänzt. (Denke, das ist jetzt so ziemlich alles, was einfach machbar ist.) Dass Bilder von Immersionen nicht immer Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ sind, müsste noch rein. Schaffe ich jetzt aber nicht.

Bin jetzt erstmal bei Flachmacher geblieben. Unser Analysis-Prof. hat damals gesagt, dass der Begriff die Sache ziemlich gut trifft. Damit hat er meiner Ansicht nach recht. Habe jetzt auch keine Zeit, darüber nachzudenken. Müsste mind. schon eine viertel Stunde auf Arbeit sein!

Beste Grüße, --TN 08:48, 10. Mai 2006 (CEST)

Mittlerweile weiß ich: Flachmacher ist ein etablierter Begriff. Zum Beispiel Jänich benutzt ihn in seiner Vektoranalysis (findet man leicht im Index).

--TN 22:43, 12. Mai 2006 (CEST)

Mal wieder zwei kleine Kommentare: "Flachmacher" finde ich deshalb merkwürdig, weil "Flachheit" etwas mit der Metrik zu tun hat, und um die geht es ja gerade nicht. Aber wenn Jänich das schreibt, dürfen wir das auch. Zum anderen könnte man noch kurz darauf eingehen, dass das Beispiel demonstriert, dass selbst eine injektive Immersion keine Einbettung ist. Für nicht injektive Immersionen muss man sich nicht so anstrengen, vgl. Immersion (Mathematik) oder so etwas wie $(\cos t+t/2,\sin t)$.--Gunther 22:32, 13. Mai 2006 (CEST)

Hallo Gunther, du hast natürlich wiedermal recht. An diesen Aspekt bzgl. des Begriffs "Flachmacher" hatte ich noch garnicht gedacht. Mit der Bemerkung zur Injektivität der angesprochenen Immersion hast du mir die Worte aus dem Mund genommen;-)) Ich hatte an diese Sache schon gedacht, jedoch stand ich ein wenig unter Zeitdruck und habe die Bemerkung beim schnellen Texten einfach nicht sinnvoll unterbekommen. Mit dem Bild zu diesem Beispiel bin ich im Moment selber noch nicht so richtig glücklich. Man könnte den Eindruck bekommen, dass da irgendwelche Lücken in der Acht drin sind, was ja nicht der Fall ist. Das Bild sollte jedoch schon auf die Injektivität der Abbildung hinweisen (deshalb die Bögen an den Kurvenenden, die wie Grenzen eines offenen Intervalls aussehen). --TN 12:15, 14. Mai 2006 (CEST)

Neuster Stand: Der Flachmacher bildet die interessierende Untermannigfaltgikeit $M\cap U_{x}$ auf die neue Untermannigfaltigkeit $f(M\cap U_{x})$ des $R^{n}$ ab, die auch im Sinne der vom $R^{n}$ induzierten Metrik flach ist. Somit spricht auch von dieser Seite prinzipiell nichts gegen den Begriff "Flachmacher". Die Abbildung macht die UMF eben wirklich flach;-) Also: Ich bin definitiv für den Begriff. Punkt. Schluss. aus;-)) --TN 17:26, 15. Mai 2006 (CEST)

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Die Texte zu Tangentialvektoren/Tangentialraum/Tangentialbündel sind bis jetzt nur blanke Definitionen. Ein wenig erläuternter Text fehlt noch. --TN 22:24, 13. Mai 2006 (CEST)

Habe soeben noch etwas erläuternden Text zu den Tangetialsachen ergänzt. Welche Ecken und Kanten sind jetzt noch auszubügeln? Wann und wie wollen wir den Text auf eine richtige Seite stellen (Gunther erwähnte schon die Seite Mannigfaltigkeit als mögliches Ziel). --TN 23:06, 14. Mai 2006 (CEST) Ich habe den Eindruck, dass einen an manchen Stellen das Formelwerk ein wenig erschlägt. Außerdem tauchen die in der Einleitung erwähnten (Projektions)-Karten nicht mehr auf. Das ist natürlich unschön! --TN 23:50, 15. Mai 2006 (CEST)

Ich würde vorschlagen, dass Du das Ganze mal unter dem Lemma Differenzierbare Mannigfaltigkeit einstellst. Mannigfaltigkeit selbst würde dadurch gesprengt, und Untermannigfaltigkeit des Rn wäre (abgesehen vom unmöglichen Namen) mMn zu speziell. Man kann dann noch abstrakte diffbare Mf. ergänzen und auf den Satz von Whitney hinweisen usw. Riemannsche Mannigfaltigkeiten haben schon einen eigenen Artikel, und komplexe Mannigfaltigkeiten brauchen einen eigenen, u.a. weil bei ihnen die Entsprechung zu Untermf. des $\mathbb {C} ^{n}$ nicht gegeben ist (und sie sowieso komplett anders sind ;-).--Gunther 18:45, 30. Jul 2006 (CEST)

Da sich hier nichts mehr tut, habe ich den Text wie vorgeschlagen nach Differenzierbare Mannigfaltigkeit eingefügt; eine Überarbeitung folgt.--Gunther 12:30, 23. Nov. 2006 (CET)

Frage

Muss eine Untermannigfaltigkeit selbst eine Mannigfaltigkeit sein? -- 84.61.185.188 17:22, 17. Jun 2006 (CEST)

Ja. Das ist genauso wie bei Vektorräumen. Man definiert erst was eine Untermannigfaltigkeit beziehungsweise ein Untervektorraum ist und zeigt dann, dass dies wieder eine Mannigfaltigkeit bzw. ein Vektorraum ist. --Christian1985 (Diskussion) 16:13, 4. Nov. 2010 (CET)

Allgemeinverständlichkeit und Begriffserklärungen

Leider finde ich diesen Artikel nicht für "Lieschen Müller auf der Straße" verständlich.

Zudem fehlen ein paar weitere Informationen, um den Artikel zu verstehen. So z.B. muss man wissen, was eine Karte ist, um den Begriff Mannigfaltigkeit und damit Untermannigfaltigkeit zu verstehen.

OF

Differenzierbar oder topologisch

In der Definition werden ja Karten verwendet. Das spricht dafür, dass es um eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (oder eine Mannigfaltigkeit mit einer anderen durch einen Atlas gegebene Struktur) geht.

Wie ist das mit topologischen Mannigfaltigkeiten? Gilt da die Definition entsprechend? -- Digamma 19:18, 5. Dez. 2010 (CET)

Für topologische Mannigfaltigkeiten gibt es die analogen Definitionen und man sollte das m.E. in den Artikel einbauen. Nebenbei bemerkt führt im Text der Link unter "Mannigfaltigkeit" zum Artikel über topologische Mannigfaltigkeiten, gemeint ist aber im Kontext des Textes "differenzierbare Mannigfaltigkeit". Bleibt die Frage: ändern wir den Link oder den Artikel? --Suhagja (Diskussion) 22:09, 19. Okt. 2012 (CEST)

Wenn der Begriff bei topologischen Mannigfaltigkeiten genauso definiert wird und auch eine Rolle spielt, dann sollten wir den Artikel entsprechend ergänzen. Hast du Literatur dazu? --Digamma (Diskussion) 12:19, 20. Okt. 2012 (CEST)

Die erste Quelle, die ich jetzt gefunden habe, ist Seite 47f. von Tamura: Topology of Foliations. Dort werden allgemein Untermannigfaltigkeiten von $C^{r}$-Mannigfaltigkeiten für $r=0,1,\ldots ,\infty$ definiert, r=0 ist der topologische Fall. Eine deutschsprachige Quelle dürfte wohl Stöcker-Zieschang sein, aber das Buch habe ich jetzt nicht zur Verfügung. Und eine Standard-Referenz für topologische (ausdrücklich nicht-differenzierbare) Mannigfaltigkeiten ist eigentlich Kirby-Siebenmann, was ich jetzt aber auch nicht hier habe. Allgemein muss man sagen, dass viele Lehrbücher tatsächlich nur differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Untermannigfaltigkeiten betrachten, wahrscheinlich weil man für diese den Satz über implizite Funktionen anwenden und Untermannigfaltigkeiten dann als Levelmengen regulärer Werte von Funktionen bekommen kann. Trotzdem sollte man die topologische Definition jedenfalls erwähnen und falls jemand in seiner Bibliothek Stöcker-Zieschang zu stehen hat, wäre das wohl eine gute deutschsprachige Quelle. --Suhagja (Diskussion) 07:49, 21. Okt. 2012 (CEST)

Orientierbarkeit

Gehört das wirklich in den Artikel. Da in dem Abschnitt wird die Untermannigfaltigkeit ja nur als Mannigfaltigkeit aufgefasst. Die Untermannigfaltigkeit ist orientierbar, wenn sie als Mannigfaltigkeit orientierbar ist. Interessant wäre das m.E. nur, wenn man auf den Zusammenhang mit der Orientierung der umgebenden Mannigfaltigkeit und die Orientierbarkeit des Normalenbündels eingehen würde.

Das geschieht zwar am Beispiel des Möbiusbands, aber nur sehr oberflächlich. Das Möbiusband hat aber einen eigenen Artikel, wo das besser aufgehoben wäre. Wir haben außerdem einen Artikel über die Orientierbarkeit von Flächen. Wir haben außerdem den Artikel Untermannigfaltigkeit des Rn. --Digamma (Diskussion) 20:19, 10. Nov. 2016 (CET)