Diskussion:Untervektorraum

Projektion

Hallo! Was findest du an der Formulierung „erhält man durch“ besser? „Entspricht genau einem“ ist genauer und ich seh auch nicht, dass die Projektion irgendwie grundlegender wäre. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 17:56, 19. Sep. 2012 (CEST)

Mir gefällt die Formulierung Jeder Komplementärraum entspricht genau einer Projektion nicht so gut, weil man durch $P(V)$ den Untervektorraum und nicht den Komplementärraum erhält. Fällt dir vielleicht eine bessere Formulierung ein? Man kann die Formeln natürlich auch umdrehen und mit $P(V)$ den Komplementärraum bezeichnen, das ist nur weniger intuitiv. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:18, 19. Sep. 2012 (CEST)

Den Komplementärraum erhält man eben als Kern der Projektion. Sehe da keinen Bedarf in einem Umdrehen, ob Kern oder Bild ist doch einerlei. --Chricho ¹ ² ³ 18:25, 19. Sep. 2012 (CEST)

Tja, die Frage ist: was war zuerst da, der Komplementärraum oder die Projektion ;-). Wie wäre es mit „erhält man durch genau eine“? Irgendwie sollte man noch erwähnen, dass Projektion und damit Komplementärraum i.A. nicht eindeutig sind (daher mein ursprünglicher Hinweis auf Orthogonalprojektionen). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:58, 19. Sep. 2012 (CEST)

Wie wär's etwas ausführlicher so? "Die Komplementärräume von $U_{1}$ entsprechen wie folgt eindeutig den Projektionen auf $U_{1}$, also den ... : Ist $P\colon V\to U_{1}$ eine Projektion auf $U_{1}$, so ist der Kern von $P$ ein Komplemetärraum zu $U_{1}$. Ist umgekehrt $U_{2}$ ein Komplementärraum, so existiert genau eine Projektion $P\colon V\to U_{1}$ mit $\ker P=U_{2}$" --Digamma (Diskussion) 19:25, 19. Sep. 2012 (CEST)

Ich wüdre da nicht mit dem Kern ins Haus fallen, sondern die $\operatorname {Id} -P$-Variante wählen. Ich probiers mal. --Chricho ¹ ² ³ 19:41, 19. Sep. 2012 (CEST)

Id - P erscheint mir, zumindest so formuliert, komplizierter als der Kern. Da müsste man fast dazu schreiben, dass das Bild von Id - P aus den Verbindungsvektoren v - P(v) besteht, damit das leicht verständlich ist. Bzw. dass man v zerlegt in die Summe aus P(v) und v - P(v). Aber ich überlasse das gerne euch. --Digamma (Diskussion) 20:01, 19. Sep. 2012 (CEST)

Ich finde, da sieht man besser den Bezug zu einer Zerlegung. --Chricho ¹ ² ³ 20:05, 19. Sep. 2012 (CEST)

$\operatorname {Id} -P$ finde ich auch besser, denn der Kern kommt an sich erst im folgenden Abschnitt dran. Vielen Dank für die Verbesserungen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:19, 19. Sep. 2012 (CEST)

Ich bin nochmal drübergegangen, habe den Text etwas gestrafft und den Komplementärräumen einen eigenen Abschnitt gewidmet. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:45, 19. Sep. 2012 (CEST)

Danke für den (die) Artikel. ;) Die jüngste Änderung mit dem orthogonalen Komplement gefällt mir nicht so. Jede Teilmenge eines Skalarproduktraums besitzt „genau ein orthogonales Komplement“, nur ist das nicht unbedingt ein Komplementärraum, deshalb ist die Formulierung irgendwie komisch, auch „Auskunft über die Existenz von orthogonalen Komplementen“. Da erschien mir die vorherige Formulierung präziser und allgemeiner. Was war denn dein Ziel bei dieser Formulierungsänderung? Fändest du ein Zurückgehen auf die vorherige ergänzt um einen Verweis auf den Projektionssatz in Ordnung? --Chricho ¹ ² ³ 22:06, 19. Sep. 2012 (CEST)

Ändere ruhig, was du nicht gut findest, ich schaue mir den Text dann morgen an. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:08, 19. Sep. 2012 (CEST)

Vielleicht sollten wir den Artikel (mit Rücksicht auf die Leser) doch in der linearen Algebra belassen und auf den Projektionssatz verzichten? Der Homomorphiesatz und Faktorräume kommen auch nochmal ein paar Zeilen später. Hättest du was dagegen, wenn ich die beiden Sätze streiche? Letztendlich gibt es ja einen eigenen Artikel Komplementärraum und der Abschnitt hier kann nur eine kurze Zusammenfassung sein. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:08, 20. Sep. 2012 (CEST)

Auf das orthogonale Komplement in Hilberträumen kann man da gerne verzichten. Aber dass Faktorräume Komplementärräumen entsprechen – wo ist das denn im Folgenden erwähnt? Das ist doch bemerkenswert, gilt immerhin für Banachräume nicht. Was stört dich an der „[…] was insbesondere für endlichdimensionales $V$ stets der Fall ist […]“-Formulierung? --Chricho ¹ ² ³ 13:49, 21. Sep. 2012 (CEST)

Der Komplementärraum ist doch der Bildraum von $\operatorname {Id} -P$ und damit nur ein Beispiel für die Aussage im Abschnitt "Lineare Abbildungen" und die Unterbanachräume haben jetzt einen eigenen Abschnitt. Ansonsten hatte ich mir auch schon überlegt, ob man nicht den Faktorräumen einen eigenen Abschnitt nach den Komplementärräumen gönnt (evtl. würde ich den Abschnitt "Eigenschaften" dann nochmal neu gliedern). Den unendlichdimensionalen Fall, dachte ich, handelt man jetzt bei den Unterhilberträumen ab, oder gibt es da nennenswerte Resultate zur Existenz von orthogonalen Komplementen auch bei Prähilberträumen? Mein Ziel war, dass Leser mit Kenntnissen einer Einführungsvorlesung in Linearer Algebra zumindest bis zu den Eigenwerten kommen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:01, 21. Sep. 2012 (CEST)

Achja, und die Formulierung suggeriert jetzt auch wieder, dass das orthogonale Komplement stets ein Komplementärraum wäre. So recht glücklich bin ich mit der Verknappung nicht. --Chricho ¹ ² ³ 14:26, 21. Sep. 2012 (CEST)

Im endlichdimensionalen Fall ist doch das orthogonale Komplement immer auch ein Untervektorraum!? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:47, 21. Sep. 2012 (CEST)

Ein Untervektorraum ist es immer. Nur nicht unbedingt ein Komplementärraum zu dem ersten Raum – im endlichdimensionalen Standardfall schon, nicht aber, wenn man Bedingungen an das Skalarprodukt abschwächt, oder in den unendlichdimensionalen Fall übergeht. Insofern erscheint mir der Zusammenhang nicht inhärent, ein orthogonales Komplement wird nicht als Komplementärraum definiert, nur „zufällig“ ist es stets einer, wenn man in den bekannten Fällen ist. Die Formulierung im Moment klingt so, als stünde das Wort Komplement in orthogonales Komplement für einen Komplementärraum. --Chricho ¹ ² ³ 14:53, 21. Sep. 2012 (CEST)

Also "orthogonaler Komplementärraum" statt "orthogonales Komplement"? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:59, 21. Sep. 2012 (CEST)

Möglich, aber dass das gerade das orthogonale Komplement ist, halte ich doch für erwähnenswert, wie es in der ausführlichen Fassung stand. --Chricho ¹ ² ³ 15:07, 21. Sep. 2012 (CEST)

So? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:09, 21. Sep. 2012 (CEST)

Jo, wenn du darauf stehst, dich von vorne herein auf endlichdimensionale zu begrenzen, ist das ok. :D Was machen wir mit den Faktorräumen? Eigener Abschnitt scheint mir nicht so sinnvoll, schließlich sind das ja nicht spezielle Unterräume, sondern es ist eine alternative Sichtweise auf Komplementärräume im Falle von Vektorräumen. --Chricho ¹ ² ³ 15:12, 21. Sep. 2012 (CEST)

Ich bestehe darauf, nicht immer sofort mit der Tür ins Haus zu fallen (man kann es auch Didaktik nennen) :-). Mit den Faktorräumen bin ich mir auch unsicher. Sie sind zwar als solches keine Untervektorräume, entstehen aber daraus, dass man einen Untervektorraum zu Null schrumpfen lässt, insofern ist schon ein klarer Bezug da. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:29, 21. Sep. 2012 (CEST)

Ich habe es mal mit einem kleinen Abschnitt versucht. Was meinst du dazu? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:07, 21. Sep. 2012 (CEST)

Funktionalanalysis

Ich habe nun einen eigenen Abschnitt zu Untervektorräumen in der Funktionalanalysis erstellt (bitte Korrekturlesen), damit der erste Teil des Artikels in der linearen Algebra bleibt. Dort darf sich Chricho dann nach Belieben austoben :-). Sollte man noch einen kurzen Abschnitt zu Dualräumen (Satz von Hahn-Banach, ...) ergänzen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:22, 21. Sep. 2012 (CEST)

In ähnlichem Stil wie in den beiden vorangegangenen Abschnitten ergänzt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:17, 2. Okt. 2012 (CEST)

Hallo, den Satz "Ist nun $U$ ein Untervektorraum von $V$, dann ist dessen Dualraum $U^{\ast }$ ein Untervektorraum von $V^{\ast }$." halte ich so für falsch oder zumindest für erklärungsbedürftig. -- HilberTraum (Diskussion) 10:47, 2. Okt. 2012 (CEST)

Hm, ja, erscheint mir auch seltsam, kann man so verstehen, dass man die Funktionale dann so fortsetzt, dass sie auf einem Komplementärraum $0$ werden, aber das ist ja nicht eindeutig. Und wieso steht das überhaupt unter Funktionalanalysis? --Chricho ¹ ² ³ 11:06, 2. Okt. 2012 (CEST)

Ja, man muss fortsetzen, tut mir leid, da habe ich zu stark vereinfacht. Sollte man den ersten Absatz besser bei "Abgeleitete Räume" führen? Oder führt das alles ohnehin zu weit für diesen Artikel? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:58, 2. Okt. 2012 (CEST)

Ich denke, es führt zu weit für diesen Artikel. Der Dualraum hat zunächst ja gar nichts mit Unterräumen zu tun. Und nachdem die falsche Aussage über den Dualraum eines Unterraums entfernt wurde, hat das, was übrig bleibt, praktisch nichts mehr mit Unterräumen zu tun. --Digamma (Diskussion) 17:45, 2. Okt. 2012 (CEST)

Ok, ich habe den Abschnitt wieder entfernt. Ganz bezuglos war er aber nicht, denn das Wort "Untervektorraum" kam immerhin noch viermal vor. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:39, 3. Okt. 2012 (CEST)

Ich habe wohl etwas oberflächlich gelesen. Von mir aus kann der Abschnitt auch drin bleiben. Man könnte dann die Aussage ergänzen, dass der Dualraum eine Untervektorraums U von V isomorph ist zum Faktorraum V* modulo Annihilator von U.

Ich denke nur, dass man nicht jedes Faktum, dass irgendeine Teilmenge ein Untervektorraum ist, in diesen Artikel aufzunehmen braucht. --Digamma (Diskussion) 10:23, 3. Okt. 2012 (CEST)

So? Der erste Absatz gehört aber trotzdem eher in die lineare Algebra als in die Funktionalanalysis. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:50, 4. Okt. 2012 (CEST)

Ich habe es mal mit einer Auftrennung des Abschnitts versucht. Die Aussage zum Bidualraum habe ich dabei erstmal rausgenommen, weil ich nicht weiß wohin damit. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:21, 4. Okt. 2012 (CEST)

Ergänzungen

Ich habe eben auch noch Verschiedenes ergänzt, allerdings leider ein wenig nach der hochwissenschaftlichen Methode "Was mir auf die Schnelle alles noch so einfällt." Wäre also gut, wenn ihr nochmal drüberschauen könntet, ob alles so passt und an der richtigen Stelle steht. -- HilberTraum (Diskussion) 14:03, 25. Sep. 2012 (CEST)

Ich habe die Operationen mit mehreren Operanden mal in einen Abschnitt zusammengefasst und den Text etwas gestrafft. Ich hoffe, ich habe dabei den Sinn nicht entstellt und nichts Wichtiges weggelassen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:42, 25. Sep. 2012 (CEST)

Einen extra Abschnitt finde ich eine gute Idee, aber die drei Konstruktionen in einem einzigen Schachtelsatz halte ich für extrem schwer lesbar, das mMn ist viel zu stark gestrafft. -- HilberTraum (Diskussion) 20:21, 25. Sep. 2012 (CEST)

Okay, kein Problem. Ich wollte den Part knapp halten, vermutlich ist er dann doch zu knapp geworden :-). Magst du was formulieren? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:57, 25. Sep. 2012 (CEST)

Ich habe den Satz schnell selbst in drei Einzelsätze aufgetrennt, um die Lesbarkeit zu erhöhen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:10, 26. Sep. 2012 (CEST)

Danke erstmal, bei der direkten Summe müsste man aber nochmal umformulieren, weil man ja nicht einfach so eine (innere) direkte Summe bilden kann, sondern man bildet die Summe und die ist entweder direkt oder nicht. Aber ich muss selber erstmal noch überlegen, wie man den Absatz gut hinschreibt. -- HilberTraum (Diskussion) 09:15, 26. Sep. 2012 (CEST)

Könnte man die direkte Summe nicht auch so notieren:

$U_{1}\oplus U_{2}=\{v\in V\mid \exists !\,\,u_{1}\in U_{1},u_{2}\in U_{2},{\text{ sodass }}v=u_{1}+u_{2}\}$

Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:51, 28. Sep. 2012 (CEST)

Als "Definition" für beliebige $U_{1},U_{2}$? Würde ich sagen: nein. Wenn $U_{1}$ und $U_{2}$ z.B. die beiden Ebenen in Einleitungsbild wären, dann würde das ja bedeuten, dass $U_{1}+U_{2}=\mathbb {R} ^{3}$ und $U_{1}\oplus U_{2}=\varnothing$ also nicht mal ein UVR. Nach üblichem Sprachgebrauch ist "Direktheit" doch nur eine Eigenschaft, die die Summe entweder hat oder eben nicht. -- HilberTraum (Diskussion) 08:34, 28. Sep. 2012 (CEST)

Ja du hast recht. Ich wollte versuchen, die Eindeutigkeitseigenschaft mit in die Definition zu packen. In den Büchern finde ich irgendwie keine explizite Definition der inneren direkten Summe der Form $U_{1}\oplus U_{2}=\{\ldots \}$. Ist aber wohl auch egal. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:51, 28. Sep. 2012 (CEST)