Diskussion:Vermutung (Mathematik)

Was ist, wenn die Nichtbeweisbarkeit bewiesen ist? (2008)

Gälte eine Aussage auch dann noch als Vermutung, wenn die Nichtbeweisbarkeit bewiesen ist? --black_dude (Diskussion) 14:19, 7. Jun. 2007 (CEST)

Im Sinne der Mathematik eigentlich nicht, denn die Aussage ist entweder falsch oder unabhängig, aber auf keinen Fall ein Theorem der betrachteten Theorie. Nun ist jedoch etwa "ZFC ist widerspruchsfrei" eine solche Aussage und taugt demnach nicht mehr als mathematische Vermutung. Ich persönlich vermute natürlich dennoch, dass die Aussage stimmt, im Sinne einer vernünftigen Arbeitshypothese. --Hagman (Diskussion) 23:09, 16. Jan. 2008 (CET)

Unabhängiuge Aussagen

Ich wüsste gern näheres (z.B. Beleg oder bessere „Exegese“) über die Aussage: Im streng mathematischen Sinn enthält die 4. Klasse nach Gödel nur Aussagen, die zu schwach sind, um Mathematik zu betreiben. Wenn T zur 4. Klasse gehört, bedeutet dies doch lediglich, dass weder $ZFC\vdash T$ noch $ZFC\vdash \neg T$ gilt. Hierdurch wird aber gewiss nicht $T\vdash ZFC$ ausgeschlossen,also eine Situation, die ich durchaus mit „T ist stärker als ZFC“ oder auch „T ist stark genug, um Mathematik und sogar noch mehr zu betreiben“ umschreiben würde.--Hagman 13:24, 15. Jan. 2011 (CET)

Die Missverständlichkeit des Satzes muss ich wohl auf meine Kappe nehmen. Die Systeme $S$, deren logische Konsistenz, also deren Widerspruchsfreiheit bewiesen werden kann (und vor Gödel auch schon bewiesen wurde) sind "schwächer" als ZF ($ZF\vdash S$, aber nicht $S\vdash ZF$). Neben einigen Formalia ist der hervorstechendste Unterschied wohl der, dass man in S keine Aussage über eine unendliche Menge als Ganzes machen kann, sondern nur über "jedes ihrer Elemente". Damit kann man in einem solchen System bereits die ganzzahlige Arithmetik nur in Ansätzen modellieren. Der Artikel klassifiziert aber, wie ja auch gesagt wird, "als ob" ZFC konsistent wäre. Ich formuliere mal in diese Richtung (Versuch). Beleg wäre schön... ich bemühe mich. -- KleinKlio 10:17, 24. Jan. 2011 (CET)

Irgendwo ist da der Wurm drin. Die 4. Klasse wird im Artikel beschrieben durch:

eine mathematische Aussage,von der bewiesen ist, dass sie von dem heute akzeptierten logischen Grundsystem der Mathematik logisch unabhängig ist. Informell kann man die 4. Klasse beschreiben als Grundaussagen, deren Annahme nicht zu einem logischen Widerspruch führt.

Ich interpretiere das als Es ist bewiesen, dass "ZF (bwz. ZFC) + diese Aussage" widerspruchsfrei ist (kurz "Wf(ZF + A)", wobei A für die betrachtete Aussage steht). In dieser Version ergibt das nicht wirklich Sinn, denn nach dem 2. Gödelschen Unvollständigkeitssatz lässt sich diese Widerspruchsfreiheit für keine Aussage beweisen. Deshalb kann damit nur ein relativer Unabhängigkeitsbeweis gemeint sein, dh. "Wf(ZF) → Wf (ZFC + A)". So interpretiert gehören zum Beispiel die Kontinuumshypothese oder die Suslin-Hypothese zur Klasse 4. -- Digamma 21:46, 24. Jan. 2011 (CET)

Die gemeinte Interpretation folgt im nächsten Absatz:

>>Im streng logischen Sinn müsste die 4. Klasse anstelle des „heute akzeptierten logischen Grundsystem der Mathematik“ als Grundlage von einem System $S$ von Axiomen ausgehen, deren Widerspruchsfreiheit bewiesen ist. Bei dieser Formulierung enthielte diese 4. Klasse nach Gödel dann nur Aussagen, die beweisbar keinen Widerspruch zu $S$ erzeugen - die Gesamtheit solcher Aussagen genügt nicht, um moderne Mathematik zu betreiben.<<

Die pragmatische Antwort ebenso: Die Einteilung in dem Artikel geht davon aus, dass ZFC niemals widerlegt werden wird (eine kühne Vermutung). Das heißt, dass die mögliche und immer denkbare Widersprüchlichkeit von ZFC nie bewiesen wird. Der ganze Artikel ist historisch ("es war einmal, in den Zehnerjahren des 21. Jahrhuunderts) gefasst. Nur in diesem historischen Sinn kann man überhaupt vernünftig über Vermutungen (nicht nur in der Mathematik) sprechen. --KleinKlio 20:59, 26. Jan. 2011 (CET)

Zeitabhängige Formulierung

Ich bin mit der Formulierung Eine Vermutung ist eine mathematische Aussage, [...] von der einige Zeit lang nicht klar war, ob (oder wie) sie beweisbar oder widerlegbar ist, die aber heute bewiesen oder [...] nicht wirklich glücklich. Vergleiche "Ein Fötus ist jemand, der vor einigen Jahren sich noch im Uterus befand". Ich finde man sollte durchaus lieber irgendwie schreiben, dass nur die Sorte "3." eine Vermutung ist, dass aber eine frühere Vermutung heute durchaus einen anderen Status (nämlich bewiesen, widerlegt, (bewiesenermaßen) unabhängig, oder halt doch immer noch eine Vermutung) haben kann. Die Zeit- (und Lehrmeinungs?)-Abhängigkeit bleibt natürlich bestehen, kommt wie jetzt formuliert aber irgendwie komisch rüber--Hagman 21:15, 26. Jan. 2011 (CET)

Diese Betonung der Zeitabhängigkeit halte ich auch nicht für sinnvoll. Natürlich ist eine Vermutung auch personenabhängig – was Fermat vermutet, muss Mertens noch lange nicht vermuten und umgekehrt. Das ist alles in der Grundbedeutung des Wortes "Vermutung" bereits enthalten und nicht mathematikspezifisch. Betonen könnte man stattdessen die mathematikhistorische Bedeutung mancher Vermutungen. --91.32.84.26 16:56, 28. Jan. 2011 (CET)

Naja, eine Vermutung ist aber ja erstmal eine Aussage, deren Wahr- oder Falschheit (trotz idR langjährigem Bemühen) nicht klar ist. Wenn ein Erstsemester-Student nun irgendeine -- für Fortgeschrittene triviale -- Aussage vermutet ist das wenig spektakulär. Wenn aber jemand eine Vermtung äußert, und jahre- oder gar jahrzehntelang nicht klar ist, ob oder wie man das beweisen könnte wird es interessant.--ThoRunge 04:27, 29. Jan. 2011 (CET)

Soll das jetzt ein Plädoyer für die besondere Betonung der Zeitabhängigkeit sein? Oder ein Einwand dagegen, dass man stattdessen die mathematikhistorische Bedeutung mancher Vermutungen betonen könnte? Dann verstehe ich das, ehrlich gesagt, nicht. Die Argumente stützen im Gegenteil die, die darüber stehen. --91.32.63.97 09:58, 29. Jan. 2011 (CET)

Zunächst einmal soll das eine Antwort auf die Personenbezogenheit sein. Ansonsten halte ich etwas mit historischer Bedeutung immer für zeitabhängig, ich sehe da keinen Widerspruch.--ThoRunge 16:18, 30. Jan. 2011 (CET)

Ich auch nicht. --91.32.65.147 18:05, 30. Jan. 2011 (CET)

Aus dem Feuer nehmen

Anscheinend hat der Artikel insbesondere durch seine Einleitung viele offene Fragen aufgeworfen.

• Ein einfacher Ausweg für die Einleitung des Artikels wäre: Eine mathematische Vermutung ist das, was die meisten Mathematiker heute (Januar 2011) so bezeichnen: Die Gründe dafür können sein:... Damit würde das ganz etwa auf die Niveau der Abgrenzungsproblematik von "Lemma" und "Satz" abgesenkt.
• Dann sollte man entsprechend die 4. Klasse der Vermutungen (beweisbar logisch unabhängig) hier herausnehmen.
• Als Begründung für die Klassifikation reicht das Vorhandensein eines Beweises (im Sinne von ZFC) für Klasse 1, einer Widerlegung für Klasse 2 und die Tatsache, dass wir heute weder das eine noch das andere kennen für Klasse 3.

-- KleinKlio 21:34, 26. Jan. 2011 (CET)

X ist das, was die entsprechende Fachleute X nennen, ist aber auch nicht prickelnd; es bleibt irgendwie ein Dilemma. Ich würde auch nicht so fast einseitig auf ZFC pochen; jemand mit anderen Grundlagen hat natürlich auch so seine Vermutungen (Es wurden auch schon vor ZFC Vermutungen aufgestellt, bewiesen und widerlegt - oder sogar als unabhängig nachgewiesen (Parallelenaxiom)). Und am allerliebsten würde ich bei meiner Kritik konstruktiver sein, aber ich steh auch ein weinig auf dem Schlauch.--Hagman 22:10, 26. Jan. 2011 (CET)

Das Problem dürfte hier aber sein, dass eine Vermutung in der Mathematik eben eine Vermutung in der Mathematik ist -- also eine Vermutung, wie jeder Mensch diesen Begriff benutzt, nur eben mit einem mathematischen Gegenstand. Gegenbeispiel wäre z.B. "Maß" oder "Körper", das sind Worte, die auch jeder (deutschsprachige) Mensch kennt, aber innerhalb der Mathematik anders definiert sind. Ich glaube hier wäre es wirklich sinnvoller, den Versuch einer Definition sein zu lassen und direkt zur Klassifikation überzugehen.

Die "4. Klasse" würde ich aber beibehalten, vgl. etwa Kontinuumshypothese (steht ja sogar als Bsp im Artikel) --ThoRunge 10:55, 28. Jan. 2011 (CET)

Gibt es nun eigentlich noch Bedenken bzgl QS? Es wurde ja nun seit einiger Zeit nichts mehr geändert. --ThoRunge 10:52, 23. Feb. 2011 (CET)

Wertlos?

Sollte die als Hypothese vorausgesetzte Vermutung irgendwann einmal falsifiziert werden, werden somit solche Arbeiten im wesentlichen wertlos. finde ich eine harte Aussage. Beispiel: Wie sieht die Maßtheorie aus, wenn jede Teilmenge der reellen Zahlen Lebesgue-messbar ist? Natürlich ist das eine falsche Hypothese - aber nur, wenn das Auswahlaxiom als wahr angenommen wird. Wenn in der Arbeit dann korrekt gefolgert wird, und in den Folgerungen kein AC verwendet wird, wäre es nicht schön, wenn die Arbeit als wertlos bezeichnet würde. Nur weil sie in der "üblichen Mathematik" gegenstandslos ist.--ThoRunge 11:37, 28. Jan. 2011 (CET)

Außerdem dürfte die bewiesene Aussage in der Mathematik mit dem Gegenteil des Auswahlaxioms nicht trivial oder jedenfalls bereits bewiesen sein. Das ist denkbar (also: der Beweis behält in etwas exotischer Mathematik seine Bedeutung). Aber auch in anderen Fällen sind solche Beweise nicht "im wesentlichen wertlos": Wie im Artikel bereits angedeutet wird, kann ein solcher Beweis eine neue Bedeutung gerade in der Widerlegung der Vermutung bekommen, oder er kann gerettet werden, indem eine schwächere, nicht widerlegte Vermutung oder sogar eine bewiesene Behauptung als ausreichender Ersatz nachgewiesen wird. --91.32.84.26 15:51, 28. Jan. 2011 (CET)

Einordnung des Begriffs

Die vier Möglichkeiten (im derzeitigen Abschnitt Einordnung des Begriffs) erfassen nicht alle Fälle. Die vierte Möglichkeit soll ja vermutlich besagen, dass bewiesen wurde, dass bezüglich des akzeptierten Axiomensystems die Aussage selbst weder beweisbar noch widerlegbar ist. Es ist aber auch möglich, dass nur bewiesen wurde, dass die Aussage nicht beweisbar ist, oder nur bewiesen wurde, dass die Aussage nicht widerlegbar ist (letzteres traf zum Beispiel, unter Annahme einer widerspruchsfreien ZF-Mengenlehre, für das Auswahlaxiom in der Zeit zwischen Gödels Beweis 1938 und Cohens Beweis 1963 zu). --84.130.182.172 13:58, 30. Jan. 2012 (CET)

Ich habe es ein wenig umformuliert, so dass jetzt alle Fälle erfasst werden. --84.130.168.166 22:21, 11. Jun. 2014 (CEST)

So als Laie …

… fände ich es gut wenn im Abschnitt "Einordnung des Begriffs" die 4. Kategorie dort noch kurz erläutert würde, bzw. ein oder zwei möglichst klare, einfache Beispiele gegeben werden könnten. Oder nicht ? na denn … Fiiiisch! (Diskussion) 18:57, 11. Jun. 2014 (CEST)

Im darauffolgenden Abschnitt werden drei Beispiele genannt. --84.130.168.166 22:08, 11. Jun. 2014 (CEST)

hm, ja, schon ... aber die sind wohl nur für fortgeschrittenen MathematikerInnen ? Da ist mir die allgemeine Formulierung für diese 4.Kategorie noch eher verständlich als irgendeines der zugehörigen Beispiele. Naja, vielleicht geht's nicht einfacher als das. hm. danke jedenfalls. Fiiiisch! (Diskussion) 19:57, 27. Jul. 2014 (CEST)

Als einfaches Beispiel kann man ein beliebiges widerspruchsfreies Axiomensystem nehmen, in dem keines der Axiome aus den anderen folgt (Unabhängigkeit, eine übliche Forderung), daraus ein beliebiges Axiom entfernen und als bloße Aussage betrachten. Für Laien am leichtesten und schnellsten verständlich dürften in der Mathematik die Peano-Axiome sein, aber man kann sich auch selbst etwas ausdenken wie in der Logikecke von Zeitschriften. Die in der Mathematik bedeutendsten Beispiele sind die drei angegebenen, und der Nachweis von deren Unabhängigkeit war jeweils eine große intellektuelle Leistung, die man also auch nicht ohne etwas größeren denkerischen Aufwand nachvollziehen kann. --84.130.176.113 11:18, 30. Jul. 2014 (CEST)

P und NP

Die Sätze

Die Vermutung ist unter gewissen Voraussetzungen (bei entsprechender Definition der Turing-Maschinen) durch Beispiele bewiesen. Offen ist die Frage, ob es sinnvoll definierbare Automaten gibt, für die P=NP gilt.

habe ich gelöscht. Es gibt Varianten (etwa mit Orakeln), für die P=NP bekannt ist, und andere, für die die Ungleichung beiesen wurde. Aber die Vermutung selbst ist (soviel ich weiß) für keine "Beispiele" bewiesen. Es gibt verschiedene Varianten, wie man Turing-Maschine definieren kann, aber die sind alle polynomiell äquivalent. --Wuzel (Diskussion) 21:18, 21. Mär. 2016 (CET)