Diskussion:Verschiebungssatz (Statistik)

allgemein

1. Ich suche noch nach einem ganz allgemeinen Ausdruck für den Verschiebungssatz, wobei mir das Maß über den Wahrscheinlichkeitsraum nicht allgemein genug ist, denn der Satz wird auch auf eine beliebige Folge reeller Zahlen angewendet. Hat da jemand eine zündende Idee?
2. Gibt es außer in Statistik noch andere Anwendungen?

--Philipendula 13:40, 15. Nov 2004 (CET)

Mir wuerden so keine weiteren Anwendungen einfallen. Das hantieren mit Mittelwerten ist ja auch ureigenstes statistisches Gebiet. Viele Gruesse --DaTroll 14:07, 16. Nov 2004 (CET)

Wenn Dir nichts einfällt, solltest Du vielleicht Architekt werden ;-) --Philipendula 16:53, 16. Nov 2004 (CET)

Nene, ich biedere mich derzeit eher bei den Bauingenieuren an. Die riechen das, wenn man was mit Architekten hat ;-) --DaTroll 13:42, 17. Nov 2004 (CET)

Verschiebungsatz mit c=0

genaugenommen handelt es sich bei dem genannten Beispiel nicht um einen guten Beweis für die Anwendung des Verschiebungssatzes, da hier die Verschiebung c = 0 ist. In diesem Fall wird der Verschiebungssatz auch als Zerlegungssatz bezeichnet.

Definition Stichprobenkovarianz

Seid ihr sicher, dass die Definition der Stichproben-Kovarianz Q so definiert ist, wie auf der Seite angegeben? Bei mir ist Q, so angegeben, nämlich null. Auch der Artikel Kovarianz definiert die Stichproben-Kovarianz anders.

beste Grüße

unbekannt

Ganz werde ich nicht schlau aus deinen Ausführungen, aber vielleicht ist das die richtige Antwort: Im Allgemeinen ist

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}x_{i}y_{j}$ ungleich $\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot \sum _{j=1}^{m}y_{j}$.

Gruß --Philipendula 15:20, 3. Feb 2006 (CET)

Ja genau das ist mein Problem, vielleicht steh' ich ja auf'm Schlauch, aber warum ist denn hier nicht

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}x_{i}y_{j}$ = $\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot \sum _{j=1}^{m}y_{j}$.

ist ja nur das Produkt zweier endlicher Summen. Dann könnte ich ja Mittelwerte einführen und hätte

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot \sum _{j=1}^{m}y_{j}$=$nm{\bar {x}}{\bar {y}}\ .$

oder wo ist der Fehler?

Gruß --unbekannt

Mei, es ist halt so. Z.B. x1=1, x2=1, y1=5, y2=6. Es ist 1x5 + 1x6 =11. Es ist (1+1)x(5+6)=13. Gruß --Philipendula 17:11, 3. Feb 2006 (CET)

Mhhh.. bei mir ist 1.

(1+1)x(5+6)=22 und nicht 13

und 2. 1x5 + 1x6 =11 werden Doppelsummen so nicht ausgeführt.

Gruß unbekannt

Ja stimmt, hatte das hingeschludert: Also 22 stimmt natürlich. Und die Doppelsumme ist auch Unfug. Neues Beispiel:

$x_{1}=2,x_{2}=3,y_{1}=5,y_{2}=8$

Doppelsumme: $2\cdot 5+2\cdot 8+3\cdot 5+3\cdot 8=65$

Produkt der einzelnen Summen: $(2+3)\cdot (5+8)=240$

Oki? --Philipendula 20:38, 3. Feb 2006 (CET)

fast richtig:

$(2+3)\cdot (5+8)=240$ ist natürlich falsch!

$2+3=5$

$5+8=13$

$5\cdot 13=65$

du hast die Produkte berechnet und kommst so natürlich auf 240

Also was ist jetzt mit der Doppelsumme?

Gruß --unbekannt

65 von oben ist die Doppelsumme. 4 Summanden. --Philipendula 23:17, 3. Feb 2006 (CET)

O.k. das hat keinen Sinn. Wir reden einander vorbei. Die Frage zielte auf das anfängliche Problem ab und nicht auf deine Rechnung. Du hast mit all deinen Beispielen gezeigt, dass du falsch liegst. Du hast es mit deinen Beispielen belegt und hast dich in jedem Beispiel sogar noch verrechnet. Deine Beispiele zeigen, dass gilt:

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}x_{i}y_{j}$ = $\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot \sum _{j=1}^{m}y_{j}$.

und ich sehe nicht, warum dass nicht auch im Allgemeinen gelten soll. Und komm mir nicht mit "65 von oben ist die Doppelsumme. 4 Summanden."

Gruß unbekannt

Sch ... Du hast recht. Der Witz dabei ist, dass die Stichprobenkovarianz gar keine Doppelsumme ist. Da hatte ich noch irgendwie die gemeinsame Häufigkeitstabelle zweier Zufallsvariablen im Kopf. Bei der Doppelsumme sind die Produkte sehr wohl gleich, denn das würde einer empirischen Häufigkeitsverteilung mit den zellenspezifischen Häufigkeiten 1 entsprechen, die Merkmale wären also unkorreliert. Dass ich mich x-mal verrechnet habe, ist aber normal bei mir. Die Formel im Artikel werde ich sofort ändern. Danke --Philipendula 11:23, 4. Feb 2006 (CET)

Sektion Formal

Ich kam von dem Varianz-Artikel und wollte mehr über den Verschiebungssatz wissen, insbesondere eine Herleitung. Dabei fiel mir auf, daß diese Seite hier keinen Inhalt in der Formal-Sektion hatte, und daß der eigentliche Verschiebungssatz gar nicht notiert war. Ich habe mir erlaubt, einige kleine Änderungen vorzunehmen, weiß aber nicht, wie die Sätze für gewöhnlich hier notiert werden. Ich hoffe, es hilft trotzdem dem ein oder anderen.

stw-3 08:58, 14. Mär 2006 (CET)

Steiner

Ernst (?) Steiner

Ich vermute doch sehr, daß der Satz auf den Mathematiker Jakob Steiner zurückgeht, nach dem ja auch der ganz analoge Steinersche Satz der Physik benannt ist. Wer ist Ernst Steiner? (nicht signierter Beitrag von 84.175.144.104 (Diskussion) )

Ernst oder Jakob Steiner?

Gibt es einen Beleg zu Ernst Steiner? Satz von Steiner hilft doch nicht weiter, ist was anderes. --NeoUrfahraner 10:14, 28. Nov. 2006 (CET)

Am zweiten Blick habe ich gesehen, dass Satz von Steiner doch sehr ähnlich zum Verschiebungssatz (Statistik) ist und einen gemeinsamen Ursprung haben dürfte. Weiß wer mehr dazu? --NeoUrfahraner 12:38, 28. Nov. 2006 (CET)

Ich habe jetzt den Artikel auf die Version ohne "Ernst Steiner" (unbelegt) und mit Link auf Satz von Steiner (wegen vermutlicher Verwandtschaft) reverted. --NeoUrfahraner 16:40, 30. Nov. 2006 (CET)

da mittlerweile der verweis auf steiner wieder geloescht worden war, habe ich ihn wieder eingefuegt.

siehe auch talk:Kovarianz_(Stochastik)#Verschiebungssatz_von_Steiner? -- seth 20:33, 3. Apr. 2011 (CEST)

Habe gerade ca. 2h die Ursprüngliche Arbeit von Steiner gesucht, aus der der Verschiebungssatz der Statistik, wie auch der Verschiebungssatz der Physik folgen soll. Konnte aber leider nichts gescheites finden. Habe in vielen anderen Büchern gelesen, dass beide Sätze von Steiner stammen und einen gemeinsamen geometrischen Ursprung haben. Jacob Steiner hat auch unglaublich viel Geometrie betrieben (siehe Jacob Steiner und dann unter Literatur). Kann mir irgendjemand die ursprüngliche Arbeit von Steiner zum Verschiebungssatz mitteilen (ich meine die Quelle). In seinen gesammelten Werken, die von Weierstrass rausgegeben wurden, konnte ich nichts finden.--svebert 03:52, 6. Apr. 2011 (CEST)

Wozu ist der Verschiebungsatz da?

Vereinfacht er etwas? Was erspart man sich? Wozu wurde er erfunden/gefunden? --qwqch 11:40, 4. Jul. 2007 (CEST)

Ich sehe ferner nicht den Zusammenhang zwischen der Formel aus dem Artikel: $\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-n{\bar {x}}^{2}$

und der Formel aus meinem Lehrbuch (Schira "Statistische Methoden der VWL und BWL): $V(X)=E(X-\mu )^{2}=E(X-d)^{2}-(\mu -d)^{2}$

mit der reelen Zahl d. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Qwqchris (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 12:09, 4. Jul. 2007 (CEST))

1. Die erste Formel ergibt sich als Spezialfall der zweiten, wenn Du $d=0$ setzt und $X$ als Zufallsgröße mit $P(X=x_{i})={\frac {1}{n}}$ wählst (und dann die erhaltene Formel mit $n$ multiplizierst). Ich hab's im Artikel ausführlicher beschrieben. --NeoUrfahraner 12:48, 4. Jul. 2007 (CEST)
2. Der Verschiebungsatz erleichtert beispielsweise die Berechnung der Varianz, wenn Messwerte fortlaufend anfallen: Du merkst Dir nur die zwei Summen $s_{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ und $s_{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$; die Stichprobenvarianz ist dann ${\frac {s_{2}-ns_{1}^{2}}{n-1}}$. Kommt ein neuer Messwert $x_{n+1}$ dazu, brauchen nur $x_{n+1}$ bzw. $x_{n+1}^{2}$ zu den Summen addiert werden, um die neue Varianz zu berechnen; es ist weder nötig, alle $x_{i}$ abzuspeichern (spart Speicher), noch nochmals alle Summanden durchzulaufen (spart Rechenzeit). --NeoUrfahraner 12:22, 4. Jul. 2007 (CEST)

beweis

gudn tach!
der artikel ist etwas unuebersichtlich. deswegen platziere ich mal einen kurzen beweis hier, in der hoffnung, dass ihn jemand einbaut oder so. benutzt wird dabei lediglich die linearitaet des erwartungswertes.

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X-\operatorname {E} X)^{2}&=\operatorname {E} {\bigl (}(X-\operatorname {E} X)(X-\operatorname {E} X){\bigr )}\\&=\operatorname {E} {\bigl (}X^{2}-2X\operatorname {E} X-(\operatorname {E} X)^{2}{\bigl )}\\&=\operatorname {E} X^{2}-2\operatorname {E} X^{2}-(\operatorname {E} X)^{2}\\&=\operatorname {E} X^{2}-(\operatorname {E} X)^{2}\end{aligned}}$

-- 141.3.74.15 17:33, 10. Dez. 2007 (CET)

was soll denn das für ein beweis sein??? erst mal ist das kein beweis für den verschiebungssatz, sondern soll lediglich die anwendung des verschiebungssatzes auf das zweite zentrale moment einer zufallsvariable darstellen und zweitens wie willst du -2 EX^2 = 0 erklären (übergang vorletzte gleichung zu letzten)? drittens, der beweis des verschiebungssatzes ergibt sich einfach durch nachrechnen (oder scharfes hinsehen), sprich, expandiere die summe und wende die definition auf das mittel an. 80.144.180.58 15:28, 3. Jan. 2008 (CET)

ok, verstehe den beweis, wenn man das liest: http://www.matheboard.de/archive/16821/thread.html 80.144.180.58 16:44, 3. Jan. 2008 (CET)

Naja, der von 141.3.74.15 angegebene Beweis beinhaltet offensichtlich einen Vorzeichenfehler, richtig ist natürlich

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X-\operatorname {E} X)^{2}&=\operatorname {E} {\bigl (}(X-\operatorname {E} X)(X-\operatorname {E} X){\bigr )}\\&=\operatorname {E} {\bigl (}X^{2}-2X\operatorname {E} X+(\operatorname {E} X)^{2}{\bigl )}\\&=\operatorname {E} X^{2}-2\operatorname {E} X^{2}+(\operatorname {E} X)^{2}\\&=\operatorname {E} X^{2}-(\operatorname {E} X)^{2}\end{aligned}}$

--NeoUrfahraner 19:05, 3. Jan. 2008 (CET)

Verwirrt????

Ist euch überhaupt klar, dass das E keine Variable ist sondern für Erwartungswert steht? Der Beweis geht formal so:

$E((X-E(X))^{2})=E(X^{2}-2XE(X)+(E(X))^{2})=E(X^{2})-2(E(X))^{2}+(E(X))^{2}=E(X^{2})-(E(X))^{2}$

Dabei wurde im 2. Schritt verwendet, dass der Erwartungswert linear ist, also die Summe aufgespalten werden kann, sowie dass Konstanten aus dem Erwartungswert gezogen werden können. E(X) ist dabei selbst eine Konstante. Daher ist $E(XE(X))=(E(X))^{2}$. --svebert 04:01, 6. Apr. 2011 (CEST)

Sollte sowas nicht ins Beweisarchiv? --Sigbert 19:07, 7. Apr. 2011 (CEST)

Beispiel

Macht dieses Beispiel Sinn? Es ist zwar nicht falsch, aber ich sehe den Erklärungswert nicht. Es wird einfach nur mit der Formel rumgerechnet und später werden noch Zahlen eingesetzt. Ich finde, das ist trivial und nicht nötig.

Der Sinn des Beispiels ist folgender: Kommt nun eine weiteres Päckchen in die Stichprobe, so reicht es zur Neuberechnung der Stichprobenvarianz mit Hilfe des Verschiebungssatzes, lediglich die Werte für $s_{1}$ und $s_{2}$ neu zu berechnen. --NeoUrfahraner 19:11, 3. Jan. 2008 (CET)

Fehler im Beispiel

Bei der Berechnung von q1 fehlt noch die Division durch n (Mittelwert statt Summe). --24.134.197.17 21:34, 12. Jan. 2014 (CET)

Das q1 ist wohl so gemeint, aber dann trat der Fehler später bei Q auf. Ich hab’s korrigiert. Danke für den Hinweis. -- HilberTraum (Diskussion) 21:52, 12. Jan. 2014 (CET)

Weblink zu mathebibel.de

@JonskiC: Du hast hier einen Link auf mathebibel.de eingefügt. Das scheint mir doch eine stark werbelastige Seite zu sein … bietet dieser Link wirklich einen ausreichend großen Mehrwert zu dem, was schon im Artikel steht, und ist er mit WP:WEB vereinbar?
Troubled @sset  ^{Work  •  Talk  •  Mail}   16:57, 5. Mär. 2018 (CET)

Hallo Troubled asset. Ja, ich finde schon, dass die Rechenbeispiele auf der Seite sehr nützlich sind. Ich finde WP:WEB sollte generell nicht so streng ausgelegt werden. Grüße.--JonskiC (Diskussion) 01:12, 6. Mär. 2018 (CET)

Artikel überarbeiten

Aus meiner Sicht ist der Artikel unstrukturiert und bedarf einer Überarbeitung:

Verschiebungssatz zunächst allgemein für beliebiges c (siehe Diskussion oben) und anschießend Rechenformel als Spezialfall c=0 und dies jeweils für Stichprobenvarianz und Varianz von Zufallsvariablen. --KlausTh-Mathe (Diskussion) 09:53, 22. Nov. 2023 (CET)