Diskussion:Verträglichkeit (Mathematik)

Morphismen

Was im Artikel noch fehlt, sind strukturverträgliche Abbildungen (Morphismen):

• Homomorphismen bei algebraischen Strukturen,
• stetige Abbildungen bei topologischen Räumen,
• isotone Abbildungen bei geordneten Strukturen und
• Abbildungen mit mehreren dieser Verträglichkeiten bei Mischstrukturen.

--RPI 15:02, 20. Okt. 2009 (CEST)

Ich habe den unterschiedlichen Begriffen von „verträglich“ eine einheitliche, gemeinsame Definition gegeben. In der Literatur habe ich allerdings noch keine so allgemeine und einheitliche Definition, wie die von mir, gefunden: es werden lediglich Definitionen für die Verträglichkeit mit endlichstelligen Relationen und Abbildungen gegeben (Ausnahme: Homomorphismen von σ- sowie von vollständigen Verbänden) sowie die bekannten strukturerhaltenden Morphismen benannt, ohne jedoch deren gemeinsame Grundlage darzustellen (ich habe dazu bisher nichts gefunden, u.a. auch in kategorientheoretischen Büchern). Ebenso werden die Verträglichkeit mit Relationen einerseits und mit Abbildungen (als Homomorphismus) andererseits getrennt definiert, ohne den leicht zu sehenden Zusammenhang von beidem (siehe Artikel) auch nur zu erwähnen.

Kennt jemand Literatur, in der die Verträglichkeit einheitlich definiert wird und die Zusammenhänge auch aufgezeigt werden? --RPI 16:41, 28. Okt. 2009 (CET)

Ich werd mal lesen, ob dazu was im Grätzer steht, komme aber eine Weile nicht dazu.

Bei der ganzen Thematik muss man zwei Fälle unterscheiden, was oft nicht gemacht wird:

• Man hat zwei Strukturen derselben Art (z.B. zwei Körper): dann reicht die Verträglichkeit der Funktionen und Relationen aus, um Homomorphismen und Quotientenstrukturen zu bekommen.
• Man hat eine solche Struktur und eine Kongruenzrelation, d.h. eine Äquivalenzrelation, die mit den Funktionen und Relationen verträglich ist: dann reicht das nicht aus. Beispiel: alle Elemente eine Körpers sind äquivalent (das ist mit allem verträglich, was sonst?), aber die einelementige Quotientenstruktur ist kein Körper. --Lantani (Diskussion) 15:29, 21. Apr. 2017 (CEST)

Ich habe hier lange nicht mehr vorbei geschaut, deswegen antworte ich erst jetzt:

Manche Autoren bezeichnen zwar eine Kongruenzrelation auf einer algebraischen Struktur leichtfertig als eine Äquivalenzrelation, die mit der jeweiligen Struktur „verträglich“ sei, aber diese Redensart entspricht keiner anderen Definition von „verträglich“. Sie rührt wohl daher, dass durch den Kern eines Homomorphismus, also einer mit der Struktur verträglichen Abbildung im hier definierten Sinne, immer eine Kongruenzrelation gegeben ist. Im hiesigen Artikel wird außerdem auch das Beispiel der Kongruenzrelation genannt und wie diese mit der hier gegebenen Definition erklärt werden kann (man beachte, dass sich so der Begriff der Kongruenzrelation auch auf Strukturen mit unendlichstelligen inneren Verknüpfungen/Operationen erweitern läßt).

Bei dem von dir genannten zweiten Fall (Allrelation auf einem Körper) bleibt bei der Quotientenstruktur tatsächlich nicht die Ausgangsstruktur (Körper) voll erhalten, sondern nur noch die Ringstruktur (Nullring). Aber weder hier noch im Artikel Kongruenzrelation wird etwas anderes auch behauptet. Die Ausgangsstruktur bleibt nur dann immer erhalten, wenn die Kongruenzrelation Kern eines Homomorphismus von der Ausgangsstruktur ist. --RPI (Diskussion) 18:42, 9. Okt. 2018 (CEST)

Belege

Ich habe jetzt kurz in die Bücher von Birkhoff, Klingenberg, Querenburg geschaut und habe auf die Schnelle erstmal keine der im Artikel stehenden Definitionen gefunden. Genaue Angaben (z.B. Definition 4.5.6 auf Seite 123) wären hilfreich.--Café Bene (Diskussion) 09:53, 9. Dez. 2013 (CET)

Verträglichkeitsdefinition zu $\chi \colon \,A^{K}\to A$

Im Artikel steht: "$\chi$ heißt dann verträglich mit $R$, wenn $\chi$ verträglich ist mit $S$ und $R$."

Diese Rückführung der Definition von "$\chi \colon \,A^{K}\to A$ verträglich mit ..." auf eine Definition weiter oben der Form "$\varphi \colon \,A\to B$ verträglich mit ..." setzt voraus, dass $S$ auf $A^{K}$ und $R$ auf $A$ "Relationen mit gleichen Eigenschaften" sind. Dazu wird jedoch im Artikel nichts festgestellt.

Eine direkte Verträglichkeitsdefinition zu $\chi$ ist deshalb angebracht, etwa so:
$\chi$ heißt dann verträglich mit $R$, wenn gilt:

$\alpha \in S\implies \chi \circ \alpha \in R$. (nicht signierter Beitrag von 2003:EA:5F25:D700:7024:B6F7:A76:C7F5 (Diskussion) 18:46, 9. Mai 2022 (CEST))