Diskussion:Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller

Interpretation

Ist der Satz von Lindeberg-Feller nicht eher eine Abschwächung in Hinblick auf die Gleichverteilung der Zufallsvariablen als in Hinblick auf die Unabhängigkeit? Also in dem anschaulichen Sinn, dass die normierte Summe „sehr vieler“ unabhängiger Zufallsvariabler „ungefähr“ normalverteilt ist. Die ZV müssen nicht unbedingt gleichverteilt sein, solange jede einzelne ZV keinen „großen Beitrag“ zu Summe liefert (Lindeberg-Bedingung). -- HilberTraum (d, m) 21:00, 1. Okt. 2015 (CEST) Ergänzung: Das bezog sich auf die Einleitung, ich sehe gerade, dass das in „Rahmenbedingungen“ genauer diskutiert wird, aber ist es wirklich die Idee des Satzes Abhängigkeiten der ZV zu berücksichtigen? -- HilberTraum (d, m) 21:04, 1. Okt. 2015 (CEST)

So wie es hier dargestellt wird ist die Verallgemeinerung zum gewöhnlichen Zentralen Grenzwertsatz die Verwendung von unabhängigen Schemata. Das liegt daran, dass im Artikel "zentraler Grenzwertsatz" bereits die Lindeberg- und Ljapunow-Bedingung als Vorraussetzung stehen und dementsprechend die Aussage auch für nicht identisch verteilte Zufallsvariable getroffen wird (die aber noch unabhängig sein müssen). Ein bisschen habe ich das Problem, dass jeder den zentralen Grenzwertsatz mit den Mitteln beweist, die er zur Verfügung hat und demnach viele verschiedene Varianten herumgeistern. Ich werde mit etwas Recherche in den nächsten Tagen versuchen, das Dickicht zu lüften. LG --NikelsenH (Diskussion) 10:22, 2. Okt. 2015 (CEST)

Danke. Die Frage ist, was eigentlich die Hauptmotivation ist, unabhängige Schemata zu betrachten. Ich weiß es ehrlich gesagt auch nicht. Ich hab jetzt mal bei Meintrup, Schäffler: Stochastik geschaut, die schreiben nur: „Aus beweistechnischen Gründen ist es für die folgende Version des zentralen Grenzwertsatzes, das Lindeberg-Theorem, einfacher, statt einer Folge von Zufallsvariablen ein Dreiecksschema zu betrachten, dessen Zeilen jeweils unabhängig sind.“ Das wäre ja noch nicht so eindrucksvoll. -- HilberTraum (d, m) 10:56, 2. Okt. 2015 (CEST)

Zur Hauptmotivation für Schemata habe ich explizit nichts gefunden. Wolfram MathWorld und Encyclopedia of Math finden unter Lindeberg-Feller theorem / Lindeberg-Feller Central Limit Theorem nur Varianten ohne Verwendung von Schemata für unabhängige aber nicht notwendigerweise identisch verteilte Zufallsvariablen. In der deutschen Literatur finde zu diesem Namen ich bloß die Angegebenen (Klenke und Meintrup/Schäffler), die beide mit Schemata arbeiten, aber nicht explizit sagen, dass es um eine Abschwächung der Unabhängigkeit geht. Was mich etwas stutzig gemacht hat bei Meintrup/Schäffler ist die Tatsache, dass man Schemata aus beweistechnischen Gründen einführt und die Abhängigkeit quasi gratis dazu bekommt. Meiner Meinung nach ist ein Verzicht auf Unabhängigkeit schon ein starkes Ergebnis (und auch als eigenständige Motivation durchaus plausibel) --NikelsenH (Diskussion) 10:02, 3. Okt. 2015 (CEST)