Diskussion:Zerlegung der Eins

Ehrbare Mathematik! Ich fände es dennoch viel schöner, wenn fürs gemeine Volk auch noch etwas abfallen würde ;-) Will also in diesem Augenblick heißen: meine Oma sollte in ein oder zwei Sätzen aufgeklärt werden, was das denn in aller Welt so ist, die Zerlegung der Eins.

Grüsse von Markus Schweiß 19:10, 22. Mai 2004 (CEST)

Zustimmung, man muss es ja nicht verstehen, aber sich zumindest etwas darunter vorstellen zu können wär schon nett... Jakob stevo 21:42, 22. Mai 2004 (CEST)

Anmerkung

Der unter "Differentialgeometrie" angedeutete Punkt, dass man häufig Partitionen der Eins sucht, die einer vorgegebenen offenen Überdeckung untergeordnet sind, sollte noch explizit erwähnt werden.-- Gunther 11:28, 15. Apr 2005 (CEST)

Falls meine Änderung von „auf“ zu „in“ inkorrekt sein sollte (dies fiel mir erst zu spät als möglich ein), bitte ich um Verzeihung. Eine Frage bleibt aber noch: Sind in der Definition wirklich Mengen oder Familien gemeint? Herzliche Grüße, Gandalf Mithrandir 13:35, 25. Nov. 2008 (CET)

Antwort: Die Änderung von "auf" zu "in" ist sehr sinnvoll, da die Funktionen im Allgemeinen die Zahl 1 nicht annehmen. (Dann müssten ja alle anderen Funktionen dort 0 sein - das ist zwar manchmal, aber nicht immer so)

Zu Mengen oder Familien: Ich vermute, dass man normalerweise von Familien redet, aber es macht keinen soo großen Unterschied, weil man für gewöhnlich keine Funktion zweimal nehmen wird. --Cosine 16:01, 25. Nov. 2008 (CET)

Wichtiger Punkt fehlt!

Die angegebene Definition

Eine Zerlegung der Eins (auch: Unterteilung der Einheit oder Teilung der Eins) über einem topologischen Raum E ist eine Familie (f_i)_{i \in I} stetiger Funktionen von E in das Intervall [0,1], so dass für jeden Punkt x aus E gilt:

• x hat eine Umgebung, in der nur endlich viele Funktionen einen von 0 verschiedenen Wert haben; und
• die Summe aller Funktionswerte im Punkt x ist 1.

ist meines Erachtens unsinnig, da die (einzelne) Funktion f: E -> [0,1], die konstant 1 ist, diese Bedingung immer erfüllt. Der wichtige Aspekt einer Zerlegung der Eins ist jedoch, daß der Träger der f_i innerhalb von vorgegebenen Mengen U_i einer Überdeckung liegen muß. In dieser Form ist der Artikel sehr irreführend.--129.70.24.171 18:39, 27. Mai 2010 (CEST)

Sei mutig, bau es ein, möglichst noch mit einer sinnvollen Quellenangabe. Die zwei Minimalforderungen sind aber schon ausreichend, man könnte diese aber noch zu einer auf eine Überdeckung angepasste ZdE ergänzen, je nach dem, was typischer ist.--LutzL 21:51, 27. Mai 2010 (CEST)

Beispiel ist nicht differenzierbar

Das Beispiel liefert zwar eine Zerlegung der Eins, ist aber nicht differenzierbar. Der Grund ist, dass die definierte Funktion $s(x)$ unstetig in den Punkten $\{1,-1\}$ ist.

Um eine beliebig oft differenzierbare Zerlegung der Eins zu bekommen, kann man für $s(x)$ den Faltung (Mathematik)#Glättungskern nehmen, also

$s(x)={\begin{cases}\exp \!\left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right)&-1<x<1\\0&\mathrm {sonst} \end{cases}}$

Damit funktioniert die Konstruktion problemlos und man erhält eine $C^{\infty }$-Zerlegung der Eins. -- Balkenbrenner 20:51, 25. Jan. 2012 (CET)

Der Glättungskern ist zwar als Formel schöner, könnte als Alternative in den Artikel, aber ich sehe die Unstetigkeit nicht. r ist überall stetig mit Wert 0 in Null, was sich auf die Funktion s mit Wert 0 in +1 und -1 fortsetzt.--LutzL 10:12, 26. Jan. 2012 (CET)

Unterteilung der Einheit

Warum wird o.g. nicht weitergeleitet, obwohl es der zweite „Auch-Begriff“ ist? Gruß -- 217.224.199.91 17:23, 19. Nov. 2014 (CET)

Gibt es denn eine Quelle für diese Bezeichnung. Ich hab’s noch nie gehört und mit kurzem Googlen habe ich auch nix gefunden. Im Moment wäre ich eher dafür, das aus dem Artikel rauszunehmen. -- HilberTraum (d, m) 20:50, 19. Nov. 2014 (CET)

Ich habe den Begriff auch noch nie gehört.--Christian1985 (Disk) 20:39, 20. Nov. 2014 (CET)

Ich auch nicht. Raus damit? --Chricho ¹ ² ³ 01:11, 21. Nov. 2014 (CET)

ja. --Kamsa Hapnida (Diskussion) 21:50, 23. Nov. 2014 (CET)