Diskussion:Zwillingsparadoxon

Dieser Artikel war am 12. April 2019 der Artikel des Tages.

Diese Diskussionsseite dient dazu, Verbesserungen am Artikel „Zwillingsparadoxon“ zu besprechen. Persönliche Betrachtungen zum Thema gehören nicht hierher. Für allgemeine Wissensfragen gibt es die Auskunft.

Füge neue Diskussionsthemen unten an:

Klicke auf Abschnitt hinzufügen, um ein neues Diskussionsthema zu beginnen.

• Diskussionsregeln
• Hilfe zu Diskussionsseiten
• Sei sachlich und freundlich!
• Greife niemanden persönlich an!
• Geh von guten Absichten aus.

Archiv

2004 2005 2006 bis 2008 2009 bis 2011 ab 2012

Automatische Archivierung

Auf dieser Seite werden Abschnitte automatisch archiviert, wenn sie mit {{Erledigt|1=--~~~~}} markiert sind und ihr jüngster signierter Beitrag mehr als 3 Tage zurückliegt. Um die Diskussionsseite nicht komplett zu leeren, verbleiben mindestens 5 Abschnitte.

Automatische Archivierung

Auf dieser Seite werden Abschnitte donnerstags automatisch archiviert, deren jüngster Beitrag mehr als 700 Tage zurückliegt und die mindestens einen signierten Beitrag enthalten. Um die Diskussionsseite nicht komplett zu leeren, verbleiben mindestens 5 Abschnitte.

Automatische Archivierung

Auf dieser Seite werden Abschnitte donnerstags automatisch archiviert, deren jüngster Beitrag mehr als 350 Tage zurückliegt und die mindestens 2 signierte Beiträge enthalten. Um die Diskussionsseite nicht komplett zu leeren, verbleiben mindestens 5 Abschnitte.

Hinweis: Das Zwillingsparadoxon ist ein Thema der Relativitätstheorie und daher nicht leicht zu verstehen. Viele Leser suchen hier einen Diskussionspartner für ihre Fragen. Wir geben jedoch zu bedenken, dass die Diskussionsseiten der Wikipedia primär zur Diskussion von Fragen der Artikelgestaltung gedacht sind. Auch dient die Wikipedia nur der Theoriendarstellung und nicht der Theorienfindung. Leser mit allgemeinem Diskussionsbedarf und Fragen zum Zwillingsparadoxon bekommen in WP:Auskunft eher Antworten.

Saubere Erklärung, warum das Paradox nur scheinbar eines ist, mit 3 Inertialsystemen und korrekter Anwendung von Zeitdilatation und Längenkontraktion

Vorab: Ich schreibe dies nicht gleich in den Artikel, da ich als Physiker zwar gut im "Rechnen" und "logisch denken" bin, vielleicht aber nicht im Erklären für Laien. Problematisch an dem Artikel ist für mich, dass dort oft der Begriff der Gleichzeitigkeit verwendet wird, ohne zu erklären was Gleichzeitigkeit in der speziellen Relativitätstheorie ist. Tatsächlich ist dieser Ansatz zum Auflösen des scheibaren Paradox allerdings ohnehin reichlich kompliziert, und garnicht notwendig. Stattdessen kann man sich allein auf die Umrechnung von Zeitdifferenzen und Längen mit dem Lorentzfaktor beschränken. Dieses ist jedoch nur zwischen Inertialsystemen möglich. Da es kein Inertialsystem geben kann in dem der reisende Zwilling dauerhaft ruht, ist ein Versuch seine Reisezeit per Zeitdilatation in ein anderes Inertialsystem umzurechnen einfach nur ein Fehler. Stattdessen müssen die Zeitdifferenzen in drei Inertialsysteme betrachtet werden. Der nicht reisende Zwilling ruht in A, der Hinreisende in B und der Rückreisende in C. Wenn Hin- und Rückreise mit (bis auf das Vorzeichen) gleicher Geschwindigkeit erfolgen ist der Lorentzfaktor "A nach B" und "A nach C" identisch. Wir benötigen aber noch den für "B nach C". Hierbei ist die Relativgeschwindigkeit natürlich relativistisch zu berechnen (sonst erhält man schon in dem Beispiel im Artikel (3lj Entfernung, 0.6c) eine Überlichtgeschwindigkeit von 1,2c): vbc=vb-vc/(1-vb*vc/c^2) Der Einfachheit halber den Rest mit dem Zahlenbeispiel: va=0.6c, vb=-0.6c => vbc=15/17*c Gab=Gac=1.25, Gbc=17/8 Gesamte Reisedauer in A:2*3lj/(0.6c)=10a; für Hinreise in B 2.4lj/(0.6c)=4a;; für Rückreise in C 2.4lj/(0.6c)=4a, für den reisenden Zwilling ergibt sich 2*4a=8a, dies ist aber keine Zeitdifferenz in einem Inertialsystem. Aber Achtung(!!!): für Hinreise in C wegen Zeitdilatation mit Gbc: 17/8*4a=8,5a, und natürlich für Rückreise in B ebenfalls 8.5a. Mit anderen Worten dauert die gesamte Reise in den Systemen B und C 8,5a+4a=12.5a und in A 10a und die Zeitdilatation zwischen A und B bzw C ist wg. 12.5a/1.25=10a so wie sie sein soll. (nicht signierter Beitrag von 31.150.166.112 (Diskussion) 13:10, 2. Feb. 2025 (CET))

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Jack…D 22:15, 14. Feb. 2025 (CET) (Artikelvorversion war falsch. Die nun aktuelle Version enthält die korrekte Erklärung)

Erklärungen leider falsch. Artikel muss überarbeitet werden.

Korrekte Erklärungen finden sich in Rainer Oloffs "Geometrie der Raumzeit" oder dem leicht verdaulichen New York Bestseller von Sean Carroll "The Biggest Ideas in the Universe - space, time and motion".

Die korrekte Auflösung: Ursache für das schnellere Altern des Erdzwillings ist rein geometrischer Natur. Im Minkowski-Raum gilt die sog. inverse Dreiecksungleichung, derzufolge die geradlinige Verbindung zwischen zwei zeitartig getrennten Ereignissen, die längste Eigenzeit besitzt. Das ist ein rein geometrisches Fakt und Folge der Minkowski-Metrik. Alle anderen Erklärungsversuche führen am Kern vorbei. In Formeln besagt die inverse Dreicksungleichung:
Seien $p,r,q$ Raumzeitpunkte (Ereignisse) mit $p\prec \!\prec r\prec \!\prec q$ dann gilt: $\tau ({\overrightarrow {pq}})\geq \tau ({\overrightarrow {pr}})+\tau ({\overrightarrow {rq}})$. Das Gleichheitszeichen gilt dann und nur dann wenn die drei Ereignisse auf einer Geraden liegen.

Anders gesagt: Die geradlinige Verbindung (= Geodäte) zwischen zwei Ereignissen besitzt die längste Eigenzeit. Jede "Kurve mit Umwegen" zwischen den beiden Ereignissen führt zu einer kürzeren Eigenzeit. Lorentz-Transformationen sind Isometrien des Minkowski-Raums, insbesondere werden Geraden (Geodäten) auf Geraden abgebildet. Eine Weltlinie die zwei Ereignisse geradlinig verbindet, tut das daher auch in jedem anderen Inertialsystem, umgekehrt kann aus einer nicht geradlinigen Verbindung (also einer Kurve mit Umwegen) durch Lorentz-Trafos keine geradlinige Verbindung erzeugt werden.

Dies ist ein rein geometrisches, mathematisches Resultat und lässt sich nicht physikalisch ableiten, es folgt einzig und allein aus der Form der Minkowski-Metrik und lässt sich mithilfe der im Minkowski-Raum gültigen inversen Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung beweisen (ebenfalls ein geometrisches Ergebnis). Anders ausgedrückt: Physik kommt nur dadurch ins Spiel, dass man (Einstein/Minkowski) postuliert, dass ein flaches Universum durch einen Minkowski-Raum beschrieben werden kann (oder aus verallgemeinerter ART-Sicht, dass das Universium lokal wie ein Minkoswki-Raum aussieht) und dass der Faktor c eine Naturkonstante ist, eine absolute Obergrenze für die Geschwindigkeit physikalischer Objekte (auch Licht), welche der Konversionsfaktor in der Theorie ist, der aus der Zeitachse durch Multiplikation eine Achse mit Raumdimension macht. Dennoch ist es kein euklidischer vierdimensionaler Raum, sondern hat z.B. gemäß West Coast Convention die Signatur (+,-,-,-). Dieser Vorzeichenwechsel in der Signatur ist verantwortlich dafür, dass aus der "normalen" euklidischen Cauchy-Schwarzschen Ungleichung und der Dreiecksungleichung die inversen Minkowski-Varianten werden. Das ist reine Mathematik, reine Geometrie und hat nichts mit Physik, Beschleunigung oder Bezugsysstemwechsel zu tun (die tauchen hier in dem Kontext gar nicht auf).

Abb.1 Metrik-Vergleich euklidisch vs. Minkowski: Die Auswirkungen des Minuszeichens auf die Geomtrie der Raumzeit

Dass die Beschleunigungsphasen (bzw. der Wechsel der Bezugsysteme) nicht der Hauptgrund für die unterschiedliche Alterung ist, sieht man in Abb. 1. Statt des geradlinigen Weges für den Erdzwilling Alan in der Raumzeit, kann man dieselben Beschleunigungsphasen (oder Bezugssystemwechsel) wie Bob einbauen (nur zu anderen Zeitpunkten). Solange die "Umwege" in Alans Weltline (Folge der inversen Dreicksungleichung) nicht zu groß werden, bleibt Alans Eigenzeit länger als Bobs. Dies widerlegt, dass die Beschleunigung (oder Bezugssystemwechsel) der eigentliche Ursache sind. Die eigentliche Ursache ist, dass Bob "größere Umwege" in der Raumzeit nimmt, um vom Raumzeitpunkt p zum Raumzeitpunkt q zu gelangen. Die Beschleunigung spielt insofern auch eine (wenngleich "sekundäre") Rolle, als dass Umwege natürlich nur möglich sind, wenn auf der Weltlinie Beschleunigungen (oder Bezugssystemwechsel) stattgefunden haben; aber es ist eben nicht der eigentliche Grund, denn Alan und Bob haben in dem konstruierten Gedankenexperiment (Abb. 1) genau die gleichen Beschleunigungsphasen (oder Bezugssystemwechsel).

Zur Demonstration der inversen Dreiecksungleichung und dass Beschleunigung nicht die eigentliche Ursache ist, hier ein Zahlenbeispiel zur Abb. 1 für eher Rechenorientierte:
Rechenkonventionen, setze c=1 und 2-dim Minkowski-Raum mit West Coast Metric $\tau ^{2}=(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}$. Die Raumzeitpunkte $(t|x)$ seien wie folgt
$p=(0|0),q=(10|0),a_{1}=(4|0),a_{2}=(5|0.8),a_{3}=(6|0),r=(5|4)$

Berechnung der Eigenzeiten (= verstrichene Zeit, die jeder Beobachter auf seiner mitgeführten Uhr abliest):

Für auf der Erde ruhenden Alan mit Weltline $[p\,q]$: $\tau ({\overrightarrow {pq}})=10$ $\Rightarrow \tau ({\text{Alan}})=10$

Für Alan mit eingebauten Beschleunigungsphasen (die gleichen wie Bob, nur zu anderen Zeiten) mit Weltlinie $[p\,a_{1}a_{2}a_{3}q]$:

$\tau ({\overrightarrow {pa_{1}}})=\tau ({\overrightarrow {a_{3}q}})=4$, $\tau ({\overrightarrow {a_{1}a_{2}}})=\tau ({\overrightarrow {a_{2}a_{3}}})={\sqrt {1^{2}-0.8^{2}}}=0.6$ $\Rightarrow \tau ({\text{Alan mit Umwegen}})=9.2$

Für Bob mit Weltlinie $[p\,r\,q]$: $\tau ({\overrightarrow {pr}})=\tau ({\overrightarrow {rq}})={\sqrt {5^{2}-4^{2}}}=3$ $\Rightarrow \tau ({\text{Bob}})=6$

Dieses Beispiel widerlegt, dass die Beschleunigungsphasen die eigentliche Ursache sind, denn $\tau ({\text{Alan mit Umwegen}})=9.2>6=\tau ({\text{Bob}})$, d.h. Alans Eigenzeit ist größer als Bobs, obwohl beide identische Beschleunigungsphasen erfahren (halt nur zu unterschiedlichen Zeitpunkten)! Der eigentliche Grund ist somit rein geometrische Natur, nämlich die inverse Dreieckungleichung. Bob macht in der Raumzeit schlicht größere Umwege von p nach q. Anschaulich kommt es durch das Minuszeichen (West Coast Convention) vor dem raumartigen Glied in der Minkoswki-Metrik zustande: Je mehr man sich in der Raumzeit in x-Richtung bewegt (also je größer der raumartige Anteil an der Weltlinie), desto kleiner wird die Eigenzeit (wegen des Minus, vgl. Abb. 1). Aufgrund unseres gewohnheitsmäßigen euklidischen Denkens erscheint das Ergebnis angesichts der optisch länger wirkenden Weltlinie nicht intuitiv, das ist vollkommen ok, denn SRT und ART sind nicht intuitiv (sonst hätte es Einstein und Minkowksi nicht gebraucht), der Minkowski-Raum (in der lokal flachen Näherung) beschreibt nunmal (Stand heute) unser Universum korrekt. Man kann nicht früh genug anfangen, sich mit der Minkowski-Geometrie vertraut zu machen, damit der Umgang mit ihr genauso behände vonstatten geht wie mit der euklidischen Geometrie:

Das Rechenresultat $\tau ({\text{Alan}})=\tau ({\overrightarrow {pq}})=10>\underbrace {\tau ({\overrightarrow {pr}})} _{=3}+\underbrace {\tau ({\overrightarrow {rq}})} _{=3}=6=\tau ({\text{Bob}})$ ist nochmal ein konkretes Beispiel dafür, dass das schnellere Altern von Alan eine unmittelbare Folge der inversen Dreiecksungleichung ist.

@Kein Einstein @Debenben Ich hatte grob im Diskussionsverlauf gesehen, dass ihr beiden euch auch mit dem Artikel auseinandergesetzt habt. Ich bin leider erst jetzt auf den Artikel gestoßen, sonst hätte ich mich schon früher eingebracht. Ich habe dem Diskussionsverlauf entnommen, dass Debenben sich auch stark gemacht hat, für eine geomtrische Erklärung. Wenn ich es richtig deute, haben Andersdenkende dagegen argumentiert. Ich denke dieser Diskussionbeitrag schafft Klärung und Hilfestellung bei der Entscheidung, dass die geometrische Erklärung die einzige ist (wie das Beispiel belegt, die irrtümlich genannten Gründe für das Altern des Erdzwillings sind damit widerlegt). Mein Vorschlag wäre, den gesamten Artikel zu überarbeiten, denn er enthält viel Falsches und Überflüssiges (z.B. auch den Abschnitt "Beschleunigte Bewegungen", das ist keine Besonderheit in der SRT wie fälschlich angenommen wird, gehört dann eher dahin, aber lenkt hier vom Zwillingsparadox ab, ändert im übrigen auch nichts an der Erklärung, sie gilt bei kontinuierlichen Beschleunigungsvorgängen genauso, man kann die Eigenzeit auch für differenzierbare Kurven erklären und die Ergebnisse der inversen Dreicksungleichung verallgemeinern, führt hier aber zu weit). Ich würde anbieten, einen neuen (viel kürzeren, von allem Unwesentlich entschlackten) Entwurf vorzubereiten. Wir können den dann gemeinsam versuchen, so OmA-tauglich wie möglich zu machen, allerdings warne ich schon vor: Ganz ohne Mathematik nur mit Bildern wird es nicht gehen, eben weil Bilder aufgrund euklidischer Denkgewohnheiten irreleiten. Die Minkowski-Metrik ist nunmal für einen Neuling ungewohnt und auch für Eingefleischte immer noch unintuitiv. --Jackwelsh007 (Diskussion) 23:57, 8. Feb. 2025 (CET)

@Jackwelsh007 - Danke, für Dein Angebot, einen OmA-tauglichen Vorschlag zu machen. Das würde ich bergrüßen, auch wenn ich weder @Kein Einstein noch @Debenben bin. "falsch" ist allerdings ein großes Wort - und wenn im Artikel etwas falsch wäre (was ich nicht beurteilen will, bin ja kein RT-Experte), sollte das schnellstmöglich korrigiert werden. Bislang hielt ich die Erklärung für plausibel, wenn auch kompliziert - die geometrische erscheint mir mit deutlich weniger Annahmen auszukommen und wäre deshalb vorzuziehen (s. Occam's Razor). Die in diesem Diskussionbeitrag gegebenen Erklärung, dass die Auflösung des Zwillingsparadoxon sich zwangsweise aus dem Postulat (=Behauptung) ergibt, ist allerdings logisch schwierig, weil zu weit gehend - denn daraus ergibt sich lediglich (was auch streng genommen richtig ist), dass die RT eine mögliche Erklärung für das schnellere Altern ist. Im Artikel würde ich mir eher wünschen, dass das schnelle Altern sich aus der Theorie selbst ohne eine Behauptung ergibt - dann gilt die Beobachtung als ein Hinweis auf Konsistenz der Theorie. --Alturand…D 19:46, 9. Feb. 2025 (CET)

@Alturand: Danke für deine Antwort. Möglichweise habe ich das nicht klar formuliert, insofern geht das Missverständnis ganz zu meinen Lasten. Weil Dir das vermutlich ohnehin klar ist, sei nur kurz erwähnt, Einstein selbst hat das Relativitätsprinzip und die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit als Postulate aufgestellt, um darauf seine SRT zu begründen, nur das war gemeint und nur das fließt in die geometrische Formulierung des Minkowski-Raumes ein.

Das schnelle Altern ergibt sich somit DIREKT AUS der Theorie (also aus der SRT). Der Minkowski-Raum ist lediglich die mathematisch saubere Einkleidung der SRT, was auch in den guten SRT-Vorlesungen so gelehrt wird (siehe z.B. Thomas Filk Physikprofessor an der Universität Freiburg, Nicolas Borghini von der Universität Bielfeld etc., auf deren Homepage kann man z.B. direkt deren Skripte zu den SRT und ART Vorlesungen einsehen, https://www.physik.uni-bielefeld.de/~borghini/Teaching/Theorie-II_17/SRT.pdf und https://www.mathphys.uni-freiburg.de/physik/filk/public_html/Skripte/Texte/SRT_ART_LA.pdf). Im Übrigen: Auch jedes moderne SRT-Buch, das die Theorie mathematisch sauber behandelt, führt nach ein paar Vorworten in den Minkowski-Raum ein und stellt die Resultate sauber als geometrische Ergebnisse dar (siehe Naber, Carroll, Oloff). Minkowski-Raum = mathematisches Modell --> Vorhersagen rein mathematisch dort --> Rückdeutung physikalische Realität.

Fazit: Die Auflösung ergibt sich direkt aus der Theorie (SRT), deren mathematische Darstellung ist der Minkowski-Raum. Als Wissenschaftler ist Falsifikation doch Alltag; auch wenn falsche Erklärungen sich lange halten (das soll gelegentlich vorkommen: kopernikanische Wende) muss man, sobald erkannt wurde, dass sie falsch sind, dieses aussprechen und in diesem Fall ist das hier beim Zwillingsparadox so. In Kürze folgt mein OmA-freundlicher Entwurf mit einem Minimum (aber unvermeidlichen Anteil) an Mathematik. Jackwelsh007 (Diskussion) 21:46, 9. Feb. 2025 (CET)

Der Entwurf ist fertig, ich stelle ihn nun vor. Alle für die Erklärung überflüssen Begriffe werden vermieden sowie Abschnitte, die nicht zur Erklärung beitragen. Ferner wird gleich zu Anfang aufgeklärt, in welchem Sinne Paradox hier zu verstehen ist, insbesondere wird vermieden, wie man den Sachverhalt unterschiedlichen Alterns fehlinterpretieren könnte, um dann im Nachhinein die angenommene Fehlinterpretation aufzuklären. Auf diese unnötigen Abschweifungen weist auch Physiker und Bestseller Autor Sean Carroll hin. Jackwelsh007 (Diskussion) 00:16, 10. Feb. 2025 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Jack…D 22:14, 14. Feb. 2025 (CET) (Ist inzwischen im Artikel korrigiert.)

Zwillingsparadox Neuentwurf

Das Zwillingsparadox, auch Uhrenparadox genannt, ist ein Gedankenexperiment, bei dem ein Zwilling eine Uhr auf einer Raumschiffreise mitführt, während eine zweite gleichartige Uhr bei dem anderen Zwilling auf der Erde verbleibt. Nach der Rückkehr stellen die Zwillinge fest, dass die Uhr des gereisten Zwilling nachgeht und dieser jünger ist als der zurückgebliebene Zwilling. Das beschriebene Phänomen ist kein reines Gedankenexperiment, sondern durchaus real: Eine Zeitdifferenz in der Art des Zwillingsparadox wurde bspw. in Speicherringen nachgewiesen, in welchen Myonen mehrfach auf einer kreisförmigen Bahn zum Ausgangsort zurückkehrten.

Zur Verwendung des Wortes "Paradox": Es gibt eine Reihe von Gedankenexperimenten zur speziellen Relativitätstheorie, die allesamt das Wort Paradox enthalten. Das griechische Lehnwort kann in zwei Bedeutungen verwendet werden: 1. Es beschreibt einen logischen Widerspruch. 2. Es beschreibt einen Sachverhalt, der unserer Alltagserwartung zuwiderläuft. Die in der speziellen Relativitätstheorien als Paradoxa bezeichneten Gedankenexperimente, verwenden das Wort in ihrer zweiten Bedeutung; diese sind keinesfalls widersprüchlich, sondern schlüssig, sie beschreiben lediglich Sachverhalte, welche auf den ersten Blick ungewöhnlich erscheinen, einfach deshalb, weil wir diese in unserem Alltag nicht antreffen. Dies liegt daran, dass sich die meisten der in den sog. Paradoxa beschriebenen Sachverhalte erst bei hohen Geschwindigkeiten (nahe Lichtgeschwindigkeit) für uns bemerkbar machen. Für Teilchenphysiker im DESY oder CERN ist das jedoch, wie oben erwähnt, alltäglich.

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Jack…D 22:12, 14. Feb. 2025 (CET) (Ist inzwischen im Artikel korrigiert.)

Einsteins ursprüngliche Fassung des Zwillingsparadox

Albert Einstein wies im Jahre 1905 darauf hin, dass eine Uhr, die sich von einem beliebigen Punkt entfernt und dorthin zurückkehrt, gegenüber einer am Ausgangspunkt zurückgelassenen unbewegten Uhr nachgeht. 1911 dehnte er diese Überlegung auf lebende Organismen aus:

„Wenn wir z. B. einen lebenden Organismus in eine Schachtel hineinbrächten und ihn dieselbe Hin- und Herbewegung ausführen liessen wie vorher die Uhr, so könnte man es erreichen, dass dieser Organismus nach einem beliebig langen Fluge beliebig wenig geändert wieder an seinen ursprünglichen Ort zurückkehrt, während ganz entsprechend beschaffene Organismen, welche an den ursprünglichen Orten ruhend geblieben sind, bereits längst neuen Generationen Platz gemacht haben. Für den bewegten Organismus war die lange Zeit der Reise nur ein Augenblick, falls die Bewegung annähernd mit Lichtgeschwindigkeit erfolgte! Dies ist eine unabweisbare Konsequenz der von uns zugrunde gelegten Prinzipien, die die Erfahrung uns aufdrängt.“

– Albert Einstein: Die Relativitäts-Theorie

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Jack…D 22:12, 14. Feb. 2025 (CET) (Ist inzwischen im Artikel korrigiert.)

Raumzeitgeometrie als Ursache für Gangunterschied der Uhren

Abb. 1 Abstandmessung in euklidischer Ebene (oben) vs raumzeitliche Abstandsmessung mit Minkowski-Metrik (unten)

In Newtons Vorstellung gibt es einen absoluten Raum mit der uns vertrauten euklidischen Abstandsmessung und einer absoluten Zeit, Raum und Zeit sind nicht miteinander verwoben. Die Zeit verstreicht in Newtons Vorstellung für jeden Beobachter gleich, unabhängig von seinem Ort und seinem Bewegungszustand. In Einsteins spezieller Relativitätstheorie können Raum und Zeit nicht mehr unabhängig voneinander gemessen werden, denn sie sind durch die sog. Minkowski-Metrik zu einer untrennbaren Einheit verknüpft, der sog. Raumzeit.

Hierbei ist eine Metrik eine Vorschrift, die einem sagt, wie Abstände in dem zugrundeliegendem Raum gemessen werden. Die euklidische Metrik $d^{2}=(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}$ sagt einem z. B. wie räumliche Abstände $d$ in der Ebene zu messen sind (es gibt auch andere nicht-euklidische Messvorschriften); diese Vorschrift lernt man schon in der Schule kennen als pythagoreische Addition. Die Minkowski-Metrik in der 4-dimensionalen Raumzeit sagt einem, wie Raumzeitabstände zu messen sind. In der Minkowski-Metrik stellt die Naturkonstante $c$, die Lichtgeschwindigkeit, den Umrechnungsfaktor dar, der die Zeitachse formal in eine Raumachse konvertiert. Im einfachsten 2-dimensionalen Fall (in welcher man sich räumlich nur in einer Dimension bewegt) ist die Minkowski-Metrik gegeben durch eine der pythagoreischen Addition ähnliche Vorschrift (jedoch mit einem Minuszeichen):

$(c\tau )^{2}=(c\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}$ bzw. wenn man $c=1$ setzt durch $\tau ^{2}=(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}$

Graphisch kann man die Raumzeit im 2-dimensionalen Fall durch ein sog. Minkowski-Diagramm darstellen (vgl. Abb. 1, unteres Bild); dies ist letztlich ein gewöhnliches Weg-Zeit-Diagramm, in welchem die Zeitachse mit dem Umrechnungsfaktor multipliziert und in welchem für raumzeitliche Abstandmessungen die obige Minkowski-Metrik (!) verwendet wird. Raumzeitpunkte im Minkowski-Diagramm nennt man Ereignisse und Kurven Weltlinien. Die "Länge" $\tau$ einer Weltlinie heißt Eigenzeit und gibt die Zeitspanne an, die für einen Beobachter, dessen Bewegung in der Raumzeit durch diese Weltlinie beschrieben wird, gemäß einer von ihm mitgeführten Uhr zwischen Anfangs- und Endpunkt der Weltlinie gemessen wird. Die Winkelhalbierenden (und Geraden parallel dazu) sind Weltlinien von Photonen (Licht). Hervorzuheben: Nicht das Diagramm selbst ist die Besonderheit, sondern die Art der raumzeitlichen Abstandsmessung.

Abb. 2 Raumzeitgeometrie (d. h. die Minkowski-Metrik) als Ursache des Gangunterschieds der Uhren

Die besondere Verküpfung von Raum und Zeit durch einen Vorzeichenwechsel zwischen zeitlichen und räumlichen Komponenten in der Metrik, hat zur Folge, dass Bewegungen in der Raumzeit, welche in "räumliche Richtung" erfolgen, die Eigenzeit verringern. Das entnimmt man direkt obenstehender Formel: Jede "Bewegung in x-Richtung" innerhalb der Raumzeit verringert die Eigenzeit $\tau$. Das Minuszeichen - dieser kleine Unterschied gegenüber der euklidischen Abstandsmessung - ist also die Ursache dafür, dass der gereiste Zwilling Bob eine gegenüber Alan nachgehende Uhr aufweist.

Auf die Frage, warum das so ist, müsste man antworten: "Weil die Natur eben so funktioniert" (die Minkowsi-Metrik ist Stand heute nun einmal die angemessene Beschreibung für unser Universum, wenn man sich auf kurze Zeitspannen und räumlich kleine Umgebungen beschränkt; man sagt, das Universum ist lokal flach und kann lokal näherungsweise durch den Minkowski-Raum beschrieben werden).

Dies ist eine kontraintuitive Eigenschaft der Minkowski-Metrik (also der speziellen Relativitätstheorie) - kontraintuitiv infolge unserer euklidischen Denkgewohnheiten (vgl. Abb.1): Optisch länger wirkende Wege ("euklidische Wahrnehmung") mit Bewegungsanteil in x-Richtung, die nicht strikt geradlinig sind, z. B. Zick-Zack-Kurven haben im Minkowski-Diagramm einen kleineren Raumzeitabstand bzgl. der Minkowski-Metrik, d. h. eine kürzere Eigenzeit.

Zahlenbeispiel: Im folgenden werden die Eigenzeiten für die Weltlinien vom auf der Erde verbleibenden Alan und dem gereisten Bob beispielhaft gemäß Abb. 2 berechnet; hierbei reise Bob mit 60% Lichtgeschwindigkeit an einen 3 Lichtjahre entfernten Ort und kehre dann instantan mit gleicher Geschwindigkeit zurück. Die Raumzeitpunkte $(t|x)$ seien also $p=(0|0),r=(5|3),q=(10|0)$. Mit c=1 und obiger Minkowski-Metrik $\tau ^{2}=(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}$ ergibt sich $\tau ({\overrightarrow {pq}})=10$ und $\tau ({\overrightarrow {pr}})=\tau ({\overrightarrow {rq}})={\sqrt {5^{2}-3^{2}}}=4$ und somit

$\tau ({\text{Alan}})=\tau ({\overrightarrow {pq}})=10>\underbrace {\tau ({\overrightarrow {pr}})} _{=4}+\underbrace {\tau ({\overrightarrow {rq}})} _{=4}=8=\tau ({\text{Bob}})$

Während für Alan 10 Jahre vergehen, verstreichen für Bob nur 8 Jahre. Für mathematisch Interessierte: Die hier stehende Ungleichung ist ein konkretes Beispiel für die sog. in Minkowski-Räumen geltende inverse Dreiecksungleichung (ein rein mathematischer Lehrsatz), welche den Gangunterschied der Uhren tiefer begründet. Gleichheit kann nur eintreten, wenn die Ereignisse p,r,q auf einer Geraden liegen.

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Jack…D 22:13, 14. Feb. 2025 (CET) (Ist inzwischen im Artikel korrigiert.)

Inkorrekte Erklärungen für Gangunterschied der Uhren

Abb. 3 Beschleunigungs­phasen bzw. Bezugs­system­wechsel können nicht eigentliche Ursache sein für den Gangunterschied der Uhren

In Lehre und Literatur zirkulieren leider immer noch inkorrekte Erklärungen, welche die Beschleunigungsphasen bzw. die Bezugssystemwechsel als Ursache für die nachgehende Uhr des gereisten Zwillings verantwortlich machen. Selbst Richard Feynman ist diesem Irrtum noch aufgesessen.

Dass diese jedoch nicht der eigentliche Grund für die unterschiedliche Alterung sein können, sieht man in Abb. 3, in der das Gedankenexperiment aus Abb. 2 leicht abgewandelt wird: Statt des geradlinigen Weges für den Erdzwilling Alan in der Raumzeit, kann man die gleichen Beschleunigungsphasen wie Bob einbauen (nur zu anderen Zeitpunkten). Solange die "Umwege" in Alans Weltline nicht zu groß werden, bleibt Alans Eigenzeit länger als Bobs. Dies widerlegt, dass die Beschleunigung (oder Bezugssystemwechsel) der eigentliche Ursache sind. Die eigentliche Ursache ist, dass Bob "größere Umwege" in der Raumzeit nimmt, um vom Raumzeitpunkt p zum Raumzeitpunkt q zu gelangen. Die Beschleunigung spielt zwar insofern auch eine (wenngleich nur sekundäre) Rolle, als dass "Umwege" natürlich nur möglich sind, wenn längs der Weltlinie Beschleunigungen stattgefunden haben (bzw. insofern als dass ohne sie keine Rückkkehr möglich wäre); aber es ist eben nicht der eigentliche Grund, denn Alan und Bob haben in dem konstruierten Gedankenexperiment (Abb. 3) genau die gleichen Beschleunigungsphasen.

Zahlenbeispiel: Alle Voraussetzungen und Daten aus vorangehendem Zahlenbeispiel werden übernommen, allerdings mit der Abwandlung durch die Beschleunigungsphasen (bzw. Bezugssystemwechsel) für Alan, welche durch die Ereignisse $a_{1}=(4|0),a_{2}=(5|0.6),a_{3}=(6|0)$ gemäß Abb. 3 realisiert werden sollen. Das heißt: 4 Jahre nach Abflug von Bob entfernt auch Alan sich mit 60% Lichtgeschwindigkeit um 0.6 Lichtjahre von der Erde, kehrt dann mit gleicher Geschwindigkeit zurück und wartet anschließend auf Bob, der dieselbe Reise wie vorher unternimmt. Damit berechnet man für Alans Weltlinie "mit Umwegen"

$\tau ({\overrightarrow {pa_{1}}})=\tau ({\overrightarrow {a_{3}q}})=4$, $\tau ({\overrightarrow {a_{1}a_{2}}})=\tau ({\overrightarrow {a_{2}a_{3}}})={\sqrt {1^{2}-0.6^{2}}}=0.8$ $\Rightarrow \tau ({\text{Alan mit Umwegen}})=9.6$

Ein Vergleich zeigt $\tau ({\text{Alan mit Umwegen}})=9.6>8=\tau ({\text{Bob}})$. Dieses Gegenbeispiel widerlegt oben genannte Erklärungen. Die hier genannte richtige Erklärung für das schnellere Altern des zurückbleibenden Zwillings finden sich mittlerweile auch in der einschlägigen Literatur, dort wird jedoch teilweise mathematisch etwas abstrakter als hier mit der inversen Dreiecksungleichung argumentiert .

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Jack…D 22:13, 14. Feb. 2025 (CET) (Ist inzwischen im Artikel korrigiert.)

Siehe auch

• Bellsches Raumschiffparadoxon

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Jack…D 22:13, 14. Feb. 2025 (CET) (Ist inzwischen im Artikel korrigiert.)

Einzelnachweise und Fußnoten

--Jackwelsh007 (Diskussion) 00:18, 10. Feb. 2025 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Jack…D 22:13, 14. Feb. 2025 (CET) (Ist inzwischen im Artikel korrigiert.)

Einleitung

In der neuen Einleitung ist jetzt wieder die eigentliche Erklärung dafür verschwunden, warum hier von einem "Paradox" gesprochen wird. Stattdessen wird auf die Begriffserklärung des Wortes Paradox eingegangen, was hier deplatziert ist. Dass das Zwillingsparadoxon der Alltagsergahrung widerspricht, ist nicht der wesentliche Grund für die Bezeichnung (die gesamte SRT widerspricht der Alltagserfahrung). Die vorherige Einleitung war besser und weniger Essaylastig und sollte daher wiederhergestellt werden. --Relie86 (Diskussion) 06:00, 11. Feb. 2025 (CET)

Beziehst du dich auf die aktuelle Artikelversion? Inwiefern ist eine Klärung in zwei Sätzen ein Essay? Die Klärung ist dort genau richtig, weil das Wort Paradox im dort erläuterten Sinn gebraucht wird. Schon Sean Carroll (SRT/ART Spezialist) weist auf die inflationäre Fehlverwendung in diesem Kontext hin. Insbesondere gibt es hier keine Symmetrie (!) im Hinblick auf das Relativitätsprinzip wie z.B. beim Garagenparadox, wo beide Beobachter richtigerweise die Verkürzung mit vertauschten Rollen sehen (Symmetrie), was auf den ersten Blick zu einem scheinbaren Widerspruch führt. Hingegen existiert kein einziger (inertialer) Beobachter, für den sich die Situation beim Zwillingsparadox symmetrisch darstellt; insbesondere stellen beide (!) Zwillinge bei der Rückkehr fest, dass der Gereiste jünger ist (keiner sieht, die Rollen vertauscht!). Die Gedankenexperimente zur SRT unterscheiden sich fundamental, somit auch "was eine angemessene Einleitung" ist.

Hingegen ist die Aussage "die gesamte SRT widerspricht der Alltagserfahrung" grundlegend falsch. Die SRT ist eine Korrektur der Newtonschen Theorie, die bei hohen Geschwindigkeiten versagt; für Geschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit liefert die SRT die gleichen Ergebnisse wie Newtons Theorie, nämlich genau die unseres Alltags! Die vorige Einleitung hat vom Wesentlichen abgelenkt, nämlich zur Klärung, warum beide (!) Zwillinge bei der Wiederzusammenkunft feststellen, dass der Gereiste jünger ist; insbesondere waren auch die dann folgenden Erklärungen falsch. --Jack…D 19:18, 13. Feb. 2025 (CET)

Das weiß ich, steht alles nicht im Widerspruch zu meinem Beitrag. Hier lesen doch auch andere mit. Wie findet ihr die neue Einleitung? --Relie86 (Diskussion) 20:01, 13. Feb. 2025 (CET)

Es steht sehr wohl im Widerspruch zu deinem (inhaltlich fehlerhaften) Beitrag. Ebenso wie die Erklärungen der Artikelaltversion überholt und falsch sind, ist es auch die Auslegung/Verwendung des Wortes Paradox in diesem Kontext (vgl. z. B. Sean Carroll, The Biggest ideas in the universe - space, time and motion, S. 145 oder Nicolas Woodhouse: Spezielle Relativitätstheorie, S. 114). Auf welche Quellen beziehst du dich? (Bitte nur State-of-the-Art-Quellen mit korrekter Erklärung, also z.B. nicht Feynman, der dem Irrtum auch noch aufsaß...). --Jack…D 21:22, 13. Feb. 2025 (CET)

Moment, wir reden glaube ich auf mindeszens zwei Ebenen aneinander vorbei. Ich habe jetzt erst gesehen, dass Du die Einleitung seit meinem ersten Beitrag hier gestrafft hast. Das ist deutlich besser! In der jetzigen Version finde ich nur die Erklärung warum es "Paradox" heißt nicht aussagekräftig genug. Aber was genau ich meine, erkläre ich besser morgen nochmal, ist mir jetzt zu spät. --Relie86 (Diskussion) 21:34, 13. Feb. 2025 (CET)

Die Straffung geschah unabhängig von deinem Beitrag, den hatte ich nämlich vorhin erst entdeckt. Worauf du hinaus willst, ahne ich (Lehrbücher, die das noch so einführen, bieten eben auch noch die obsolete, falsche Erklärung an), genau das möchte ich vermeiden, weil es beim Zw-Pdx nicht adäquat ist (siehe Quellen oben). Bitte füge deiner angekündigten Darlegung State-of-the-Art-Quellen (solche die das Zw-Pdx richtig erklären) hinzu, damit wir eine solide Diskussionsgrundlage haben, die sich auf Fakten und nicht auf persönliche Präferenzen stützt. --Jack…D 22:06, 13. Feb. 2025 (CET)

@Relie86 Da ich weiß, dass das Zwillingsparadox gelegentlich fehlgedeutet wird (worauf in State-in-the-Art-Büchern zur SRT auch als Fehldeutung hingewiesen wird), habe ich dieser Fehldeutung vorbeugend einen klärenden Satz nachgeschoben - eine Vertiefung wäre jedoch ein Irrweg und inadäquat. Insofern danke für den Hinweis. --Jack…D 16:16, 14. Feb. 2025 (CET)

Danke! Ich habe gerade hier an einer Antwort geschrieben, als deine Änderung kam. Ich wollte eigentlich auch nur darauf hinaus, dass es imho interessant für den Artikel wäre, wenn noch etwas näher auf den Denkfehler eingegangen wird, der dazu geführt hat, dass das Phänomen "Paradoxon" genannt wurde bzw. wird. Sprich, die fälschlich angenommene Symmetrie der beiden Beobachter. Darauf wird ja mit deiner Ergänzung nun eingegangen. --Relie86 (Diskussion) 16:30, 14. Feb. 2025 (CET)