Diskussion:Zyklotron-Resonanzheizung

Folgender Satz erscheint mir nicht logisch:
"Bei gleicher Bewegungsenergie (d. h. gleicher Temperatur) ist dafür der Gyrationsradius wegen der erhöhten Fliehkraft größer."
Nach meinem Kenntnisstand gilt folgendes (Annahme von $B\perp v,\omega \perp r$ bzw. komplett skalare Betrachtungsweise):
$(1)\,v=\omega r$
$(2)\,E_{kin}={\frac {1}{2}}mv^{2}{\overset {(1)}{=}}{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}r^{2}\Leftrightarrow 2E_{kin}=m\omega ^{2}r^{2}$
$(3)\,F_{Flieh}=m\omega ^{2}r={\frac {m\omega ^{2}r^{2}}{r}}{\overset {(2)}{=}}{\frac {2E_{kin}}{r}}$
Alternativ kann statt Gl (1) und (2) direkt mit der Rotationsenergie gearbeitet werden (Annahme von genau einem Massepunkt für die Berechnung des Trägheitsmoments):
$(4)\,E_{rot}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}={\frac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}\Leftrightarrow 2E_{rot}=m\omega ^{2}r^{2}$
$(5)\,F_{Flieh}=m\omega ^{2}r={\frac {m\omega ^{2}r^{2}}{r}}{\overset {(3)}{=}}{\frac {2E_{rot}}{r}}$
In beiden Fällen erhält man also den Zusammenhang, dass bei konstanter Energie eine Zunahme des Radius mit einer Verringerung Fliehkraft einhergeht und vice versa. Dies sollte zur zitierten Aussage im Widerspruch stehen, wenn mich nicht alles täuscht. Dass der Radius bei konstanter Energie und einer Zunahme der Masse ebenfalls größer wird, sollte hingegen korrekt sein (gleiche Annahmen wie oben):
$(6)\,v=\omega r$
$(7)\,F_{Flieh}=m\omega ^{2}r{\overset {!}{=}}qvB=F_{Lorentz}{\overset {(6)}{\Leftrightarrow }}m\omega =qB$
$(8)\,E={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}r^{2}={\frac {r^{2}}{2m}}m^{2}\omega ^{2}{\overset {(7)}{=}}{\frac {r^{2}}{2m}}q^{2}B^{2}\Leftrightarrow {\frac {2E}{q^{2}B^{2}}}={\frac {r^{2}}{m}}$
Unter der Annahme, dass die Größen auf der linken Seite von Gl. (8) konstant bleiben, ergibt sich dass bei einer Zunahme von $m$ auch $r^{2}$ und damit $r$ zunehmen muss. Somit geht dies mit der Aussage des obrigen Satzes d'accord.

Habe ich einen Denkfehler gemacht? Ggf. ist doch eine vektorielle Betrachtung notwendig? Aber das sollte nicht sein, da doch die relevanten Größen orthogonal zueinander sein sollten. Oder ist die Begründung "[...]wegen der erhöhten Fliehkraft größer." einfach nicht korrekt?

Grüße C.B.

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