Disphenocingulum

Das Disphenocingulum ist ein Ikositetraeder mit 20 kongruenten gleichseitigen Dreiecken und 4 kongruenten Quadraten als Flächen, 16 Ecken und 38 Kanten. An vier der Ecken grenzen vier Kanten und an die anderen zwölf Ecken grenzen fünf Kanten an. Im Körper gibt es zwei Kanten, die jeweils 2 Quadrate miteinander verbinden. Diese zwei Kanten sind orthogonal und windschief.

Disphenocingulum

Drahtgittermodell eines Disphenocingulums

Körpernetz eines Disphenocingulums

Es ist der Johnson-Körper J₉₀ aus einer Reihe von 92 nach dem Mathematiker Norman Johnson benannten Körpern.

Kartesische Koordinaten

Die kartesischen Koordinaten der Eckpunkte können lauten, bei Mittelpunkt im Ursprung und Kantenlänge 2:

${\begin{alignedat}{4}&(&0,&&\;\pm 1,&&\;p&)\\&(&\pm s,&&\;\pm 1,&&\;q&)\\&(&0,&&\;\pm t,&&\;r&)\\&(&\pm t,&&\;0,&&\;-r&)\\&(&\pm 1,&&\;\pm s,&&\;-q&)\\&(&\pm 1,&&\;0,&&\;-p&)\end{alignedat}}$

Nach dem Satz von Pythagoras gilt:

$(p-q)^{2}+s^{2}=4$

$(p-r)^{2}+(t-1)^{2}=4$

$4q^{2}+s^{2}+(t-s)^{2}=4$

$2q^{2}+(s-1)^{2}=2$

$(q+r)^{2}+(t-s)^{2}=3$

mit

${\begin{aligned}p&={\frac {a+b}{2}}\approx 2{,}21\\q&={\frac {a+b}{2}}-{\frac {2}{a}}\approx 0{,}93\\r&={\frac {b-a}{2}}\approx 0{,}65\\s&={\frac {2}{a}}{\sqrt {a^{2}-1}}\approx 1{,}53\\t&={\sqrt {4-a^{2}}}+1\approx 2{,}25\end{aligned}}$

bestehend aus

$b={\frac {2}{a}}+{\sqrt {3-\left({\sqrt {4-a^{2}}}+1-{\tfrac {2}{a}}{\sqrt {a^{2}-1}}\right)^{2}}}\approx 2{,}86$

$a\approx 1{,}55886993226$ als einzige reelle Lösung der Gleichung:

$4=2\left({\frac {2}{a}}{\sqrt {a^{2}-1}}-1\right)^{2}+\left({\sqrt {3-\left({\sqrt {4-a^{2}}}-{\tfrac {2}{a}}{\sqrt {a^{2}-1}}+1\right)^{2}}}+a-{\frac {2}{a}}\right)^{2}$

Formeln

Größen eines Disphenocingulums mit Kantenlänge a
Oberflächeninhalt	$A_{O}=a^{2}\left(4+5{\sqrt {3}}\right)$

Weblinks

Commons: Disphenocingulum – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Disphenocingulum. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Die Johnson-Körper. In: MathWorld (englisch).