Dissipativer Operator

In der linearen Theorie sind dissipative Operatoren lineare Operatoren, die auf reellen oder komplexen Banachräumen definiert sind und gewisse Normabschätzungen erfüllen. Durch den Satz von Lumer-Phillips spielen sie eine wichtige Rolle bei der Betrachtung stark stetiger Halbgruppen.

Definition

Seien $X$ ein Banachraum und $D(A)\subset X$. Ein linearer Operator $A\colon D(A)\rightarrow X$ mit

$\|(\lambda -A)x\|\geq \lambda \|x\|$

für alle $\lambda >0$ und $x\in D(A)$ wird dissipativ genannt. Diese Bezeichnung geht auf Ralph Phillips zurück.

Ist $A$ ein linearer Operator und $-A$ dissipativ, so wird $A$ akkretiv genannt. Diese Bezeichnung wurde von Tosio Kato und Kurt Friedrichs eingeführt.

Hilbertraum

Wenn $X$ ein Hilbertraum ist, ist ein linearer Operator $A\colon D(A)\rightarrow X$ genau dann dissipativ, falls

$\operatorname {Re} \,\langle Ax,x\rangle \leq 0$

für alle $x\in D(A)$ gilt, wobei $\operatorname {Re}$ den Realteil bezeichnet.

Folgerungen

Sei $(A,D(A))$ ein dissipativer Operator auf einem Banachraum $X$.

• $\lambda -A$ ist für ein $\lambda >0$ surjektiv genau dann, wenn $\lambda -A$ für alle $\lambda >0$ surjektiv ist. Alsdann heißt $(A,D(A))$ m-dissipativ und erzeugt eine stark stetige Operatorhalbgruppe.
• $A$ ist abgeschlossen genau dann, wenn das Bild von $\lambda -A$ für ein $\lambda >0$ abgeschlossen ist.

Beispiel

Betrachtet man auf einem beschränkten Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ den Laplace-Operator $\Delta$ mit Dirichlet-Randbedingung auf $L^{2}(\Omega )$ (siehe $L^{p}$-Raum), also $D(\Delta )=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )$, erhält man:

$\langle \Delta u,u\rangle =-\langle \nabla u,\nabla u\rangle =-\|\nabla u\|^{2}\leq 0$.

Der Satz von Lax-Milgram beweist, dass $\Delta :D(\Delta )\rightarrow L^{2}(\Omega )$ m-dissipativ ist und somit eine stark stetige Operatorhalbgruppe erzeugt.