In der linearen Theorie sind dissipative Operatoren lineare Operatoren, die auf reellen oder komplexen Banachräumen definiert sind und gewisse Normabschätzungen erfüllen. Durch den Satz von Lumer-Phillips spielen sie eine wichtige Rolle bei der Betrachtung stark stetiger Halbgruppen.

Definition

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Seien   ein Banachraum und  . Ein linearer Operator   mit

 

für alle   und   wird dissipativ genannt.[1] Diese Bezeichnung geht auf Ralph Phillips zurück.

Ist   ein linearer Operator und   dissipativ, so wird   akkretiv genannt.[1] Diese Bezeichnung wurde von Tosio Kato und Kurt Friedrichs eingeführt.

Hilbertraum

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Wenn   ein Hilbertraum ist, ist ein linearer Operator   genau dann dissipativ, falls

 

für alle   gilt, wobei   den Realteil bezeichnet.[1]

Folgerungen

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Sei   ein dissipativer Operator auf einem Banachraum  .

  •   ist für ein   surjektiv genau dann, wenn   für alle   surjektiv ist. Alsdann heißt   m-dissipativ und erzeugt eine stark stetige Operatorhalbgruppe.[2]
  •   ist abgeschlossen genau dann, wenn das Bild von   für ein   abgeschlossen ist.

Beispiel

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Betrachtet man auf einem beschränkten Gebiet   den Laplace-Operator   mit Dirichlet-Randbedingung auf   (siehe  -Raum), also  , erhält man:

 .

Der Satz von Lax-Milgram beweist, dass   m-dissipativ ist und somit eine stark stetige Operatorhalbgruppe erzeugt.

Einzelnachweise

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  1. a b c Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 375.
  2. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 376–377.