Das Drei-Untergruppen-Lemma ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Es ist eine direkte Konsequenz aus der Wittschen Identität, die auch als Hall-Witt-Identität bekannt ist, diese ist nach Ernst Witt und Philip Hall benannt.

Definitionen

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Es sei   eine Gruppe. Bekanntlich heißt

  für  

der Kommutator von   und  . Induktiv definiert man dann höhere Kommutatoren durch

  für  

Sind   Untergruppen, so sei   die von allen Kommutatoren  , erzeugte Untergruppe. Für Untergruppen   erklärt man dann induktiv

 .

Beachte, dass die Menge der Kommutatoren im Allgemeinen keine Untergruppe bildet und dass daher bei dieser induktiven Definition mehrfach zur erzeugten Untergruppe überzugehen ist.

Schließlich erinnern wir an die Definition der Konjugation. Ist  , so ist   ein Automorphismus auf  , den man gerne als Potenz schreibt:

  für  .

Wittsche Identität

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Es sei   eine Gruppe. Dann gilt für alle   die Wittsche Identität[1][2]

  für alle  

wobei   das neutrale Element der Gruppe bezeichnet.

Um sich diese Identität besser einprägen zu können, beachte man, dass der Exponent stets mit dem mittleren invertierten Element zusammenfällt, und dass der zweite und dritte Faktor aus dem ersten   durch zyklische Vertauschung   hervorgehen.

Diese Identität wird auch Hall-Witt-Identität genannt.[3][4] Philip Hall hat diese Gleichung Ernst Witt zugeschrieben, letzterer war sich dessen allerdings nicht bewusst.[5] Man findet diese Identität auch in folgender Form:[6]

  für all  .

Beachtet man, dass die Konjugation mit   ein Automorphismus ist, dessen Umkehrung die Konjugation mit   ist, so zeigt die Rechnung

 ,

dass dies tatsächlich eine Variante der Wittschen Identität ist.

Der Beweis der Wittschen Identität ist nichts anderes als eine einfache Rechnung nach Ausschreiben der Definitionen:

 
 
 
 ,

wobei sich gleich gefärbte Formelteile gegenseitig wegheben, zuerst die schwarzen Formelteile, dann rot und grün und schließlich blau.

Bemerkung zu den Definitionen

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Die Definitionen von Kommutatoren und Konjugation sind in der Literatur nicht einheitlich. Definiert man alternativ für Elemente   einer Gruppe  :

 
 
 ,

so gilt auch mit diesen Definitionen die Wittsche Identität.

Das Drei-Untergruppen-Lemma

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  • Sind   Untergruppen einer Gruppe und ist   und  , so gilt auch  .[7]

Sind nämlich  ,  ,  , so folgt   nach Voraussetzung und daher auch   nach der Wittschen Identität, denn die Konjugation ist ein Automorphismus und muss 1 auf 1 abbilden. Also vertauscht jedes   mit jedem   und daher mit der davon erzeugten Gruppe  , und daraus folgt  .

Etwas allgemeiner gilt folgende ebenfalls als Drei-Untergruppen-Lemma bezeichnete Aussage:

  • Sind   Untergruppen und   ein Normalteiler einer Gruppe und ist   und  , so gilt auch  .[8][9]

Bertram Huppert schreibt dieses Lemma Philip Hall zu.[10] Es ist klar, dass der Spezialfall   zur ersten Form des Drei-Untergruppen-Lemmas führt.

Anwendungen

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Nilpotente Gruppen

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Man definiert für eine Gruppe   induktiv

 

und nennt eine Gruppe nilpotent, wenn es ein   gibt mit  . Ein wichtiges Lemma ist

  für alle  .

Beim Induktionsbeweis dieses Lemmas kann das Drei-Untergruppen-Lemma (in der einfacheren Form) eingesetzt werden.

Abelsche Gruppen

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Es seien   eine Gruppe und   Untergruppen. Man nennt

  den Normalisator von   in   und
  den Zentralisator von   in  .
  • Ist nun   und  , so ist   abelsch.[11]

Da  , ist   ein Normalteiler und es ist   zu zeigen, das heißt  . Da nach Voraussetzung  , folgt aber   und wegen   auch  , die Behauptung folgt nun aus dem Drei-Untergruppen-Lemma.

Einzelnachweise

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  1. Gernot Stroth: Endliche Gruppen, Eine Einführung, Walter de Gruyter – Verlag (2013), ISBN 978-3-11-029157-5, Lemma 1.2.5
  2. B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag (1967), Kapitel III, § 1, Satz 1.4
  3. Yakov Berkovich, Zvonimir Janko: Groups of Prime Power Order. Volume 1, Verlag Walter de Gruyter GmbH & Co.KG (2008), ISBN 978-3-11-020822-1, Introduction, Exercise 13
  4. Steven Roman: Fundamentals of Group Theory An Advanced Approach, Birkhäuser Boston (2011), ISBN 978-0-8176-8301-6, Theorem 3.43
  5. B. A. F. Wehrfritz: Finite Groups, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. (1999), ISBN 981-02-3874-6, Seite 11
  6. Charles Richard Leedham-Green, Susan McKay: The Structure of Groups of Prime Power Order, Oxford University Press (2002), ISBN 0-19-853548-1, Satz 1.1.6
  7. Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen, Springer-Verlag (1998), ISBN 3-540-60331-X, Abschnitt 1.5.6
  8. Gernot Stroth: Endliche Gruppen, Eine Einführung, Walter de Gruyter – Verlag (2013), ISBN 978-3-11-029157-5, Lemma 1.2.6
  9. Steven Roman: Fundamentals of Group Theory An Advanced Approach, Birkhäuser Boston (2011), ISBN 978-0-8176-8301-6, Korollar 3.44
  10. B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag (1967), Kapitel III, § 1, Hilfssatz 1.10 (b)
  11. Ernest Shult, David Surowski: Algebra A Teaching and Source Book, Springer-Verlag (2015), ISBN 978-3-319-19733-3, Korollar 5.2.2