Dualität von Tests und Konfidenzbereichen

Die Dualität von Tests und Konfidenzbereichen, auch Dualität von Tests und Konfidenzintervallen, ist in der mathematischen Statistik eine Verbindung zwischen Konfidenzbereichen und statistischen Tests, die es ermöglicht, aus Konfidenzbereichen Tests zu konstruieren und umgekehrt. Somit können auch Konstruktionsverfahren aus dem einen Themengebiet in das andere übertragen werden. Des Weiteren wird diese Dualität beispielsweise zur Beschreibung von Optimalitätseigenschaften von Konfidenzbereichen verwendet.[1]

Einführendes Beispiel

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Gegeben sei ein statistisches Modell   sowie ein Messraum  . Ein wesentlicher Unterschied zwischen statistischen Tests und Konfidenzintervallen ist, dass ein Test als Funktionswerte 0 oder 1 annimmt bzw. im Falle eines randomisierten Tests Werte zwischen null und eins. Ein Test ist also eine Abbildung

 .

Konfidenzintervalle hingegen nehmen als Werte Mengen an, also Elemente aus  , sind also Abbildungen

 

mit zusätzlichen Messbarkeitseigenschaften, für Details siehe Bereichsschätzer.

Angenommen es handelt sich um ein parametrisches Modell und der Parameter soll geschätzt werden. Dann ist   und die zu schätzende Funktion (Parameterfunktion) ist

 .

Per Definition eines Konfidenzintervalls   mit Konfidenzniveau   gilt

 .

Wählt man nun konkret ein fixes   aus  , so ist

  (1)

und

 .

Definiert man nun einen statistischen Test

 

durch

 ,

wobei   die Indikatorfunktion auf der Menge   bezeichnet, so ist dies ein statistischer Test der Hypothese   gegen die Alternative  . Nach der Gleichung (1) hält er das Signifikanzniveau   ein.[2]

Als konkretes Beispiel betrachte man das Normalverteilungsmodell mit bekannter Varianz   und unbekanntem Erwartungswert  , also das statistische Modell  . Ein rechtsseitig unbeschränktes Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert zum Konfidenzniveau   ist gegeben durch

 .

Hierbei bezeichnet   das  -Quantil der Standardnormalverteilung, welches aus der Quantiltabelle der Standardnormalverteilung entnommen werden kann und

 

das Stichprobenmittel. Es folgt für einen festen Mittelwert  

 .

Somit ergibt sich als statistischer Test zum Niveau   von   gegen  

 

Dualität mittels Formhypothesen

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Allgemeiner kann eine Bijektion zwischen den Konfidenzbereichen und den nichtrandomisierten Tests mittels des Konzepts der Formhypothesen hergestellt werden. Gegeben seien Formhypothesen   und korrespondierende Testhypothesen   zu einem statistischen Modell   und einem Entscheidungsraum  .

Nichtrandomisierte Tests aus Konfidenzbereichen

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Sei   ein Konfidenzbereich zu den Formhypothesen   zum Konfidenzniveau  . Definiere für jedes   die Menge

 .

Dann ist für jedes  

 

ein Test zum Niveau   für die Nullhypothese   gegen die Alternative  . Die Menge   ist somit genau der Annahmebereich des Tests  .

Konfidenzbereiche aus nichtrandomisierten Tests

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Gegeben sei für jedes   ein nichtrandomisierter Test zum Niveau   der Nullhypothese   gegen die Alternative   mit dem Annahmebereich  . Die Tests sind also von der Form

 .

Dann ist

 

ein Konfidenzbereich zum Konfidenzniveau   zu den Formhypothesen  

Korrespondenz der Optimalitätsbegriffe

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Über die Formhypothesen und die korrespondierenden Testhypothesen lassen sich nicht nur Tests konstruieren, sondern es lassen sich auch Optimalitätsaussagen von Tests auf Konfidenzbereiche übertragen und umgekehrt. Es gilt:

Ein Konfidenzbereich zu den Formhypothesen   und dem Konfidenzniveau   ist genau dann ein gleichmäßig bester Konfidenzbereich (bzw. ein gleichmäßig bester unverfälschter Konfidenzbereich), wenn für jedes   der Test   wie er oben beschrieben wurde eine gleichmäßig bester Test (bzw. ein gleichmäßig bester unverfälschter Test) zum Niveau   für die Nullhypothese   gegen die Alternative   ist.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 240, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  2. Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 158, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.