Takai-Dualität

Takai-Dualität, benannt nach Hiroshi Takai, ist ein Konzept aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Ist $(A,G,\alpha )$ ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe, so operiert die Dualgruppe auf $A\ltimes _{\alpha }\!G$ derart, dass man die C*-Algebra $A$ bis auf Tensorierung mit den kompakten Operatoren aus $A\ltimes _{\alpha }\!G$ zurückgewinnen kann.

Die duale Operation

Es sei $(A,G,\alpha )$ ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe $G$. Dann gibt es dazu die Dualgruppe ${\hat {G}}$ der stetigen Gruppenhomomorphismen $G\rightarrow \{z\in \mathbb {C} ;\,|z|=1\}$, die mit der Topologie der kompakten Konvergenz wieder eine abelsche, lokalkompakte Gruppe ist. Weiter sei $K(A,G,\alpha )$ die in $A\ltimes _{\alpha }\!G$ dicht liegende Faltungsalgebra der stetigen Funktionen $G\rightarrow A$ mit kompaktem Träger. Für $\chi \in {\hat {G}}$ sei

${\hat {\alpha }}_{\chi }:K(A,G,\alpha )\rightarrow K(A,G,\alpha ),\,({\hat {\alpha }}_{\chi }(x))(t):=\chi (t)x(t)$, wobei $x\in K(A,G,\alpha ),t\in G$.

Dann lässt sich ${\hat {\alpha }}_{\chi }$ zu einem ebenso bezeichneten Automorphismus auf $A\ltimes _{\alpha }\!G$ ausdehnen und $\chi \mapsto {\hat {\alpha }}_{\chi }$ ist ein Gruppenhomomorphismus von der Dualgruppe ${\hat {G}}$ in die Automorphismengruppe von $A\ltimes _{\alpha }\!G$, der $(A\ltimes _{\alpha }\!G,{\hat {G}},{\hat {\alpha }})$ zu einem C*-dynamischen System macht, das man das duale C*-dynamische System nennt.

Dualitätssatz von Takai

Es sei $(A,G,\alpha )$ ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe $G$ und $(A\ltimes _{\alpha }\!G,{\hat {G}},{\hat {\alpha }})$ sei das duale C*-dynamische System. Ist $K(L^{2}(G))$ die C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Hilbertraum $L^{2}(G)$ der bzgl. des Haarmaßes quadratintegrierbaren Funktionen, so ist $(A\ltimes _{\alpha }\!G)\ltimes _{\hat {\alpha }}{\hat {G}}\cong A\otimes K(L^{2}(G))$.

Bemerkungen

Dies ist eine Analogie zur auf Takesaki zurückgehenden Dualität für W*-dynamischen Systeme. Die Tensorierung mit der vollen Operatorenalgebra für Von-Neumann-Algebren ist bei der hier vorgestellten Takai-Dualität durch das Tensorieren mit der C*-Algebra der kompakten Operatoren ersetzt.

Ist $L^{2}(G)$ separabel, zum Beispiel wenn $G$ abzählbar unendlich und diskret ist, so ist $K(L^{2}(G))$ isomorph zur C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Folgenraum $\ell ^{2}$. Man nennt zwei C*-Algebren $A$ und $B$ stabil-isomorph, wenn $A\otimes K(\ell ^{2})\cong B\otimes K(\ell ^{2})$. Der Satz über die Takei-Dualität sagt somit, dass das Kreuzprodukt des zu $(A,G,\alpha )$ dualen C*-dynamischen Systems stabil-isomorph zu $A$ ist.

Ist $G$ eine endliche Gruppe der Ordnung $n$, so ist $K(L^{2}(G))\cong K(\mathbb {C} ^{n})\cong M_{n}(\mathbb {C} )$ und daher $(A\ltimes _{\alpha }\!G)\ltimes _{\hat {\alpha }}{\hat {G}}\cong M_{n}(A)$. Insbesondere folgt bis auf Isomorphie $A\ltimes _{\alpha }\!G\subset M_{n}(A)$ und man erhält eine handliche Realisierung des Kreuzproduktes als Unteralgebra einer Matrizenalgebra.

Ist als konkretes Beispiel $G=\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}$ die zweielementige Gruppe, so ist $\alpha _{0}=\mathrm {id} _{A}$ und $\alpha _{1}\in \mathrm {Aut} (A)$ ein Automorphismus mit $\alpha _{1}\circ \alpha _{1}=\mathrm {id} _{A}$. Man erhält mit obiger Isomorphie

$A\ltimes _{\alpha }\!\mathbb {Z} _{2}\cong \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\\alpha _{1}(b)&\alpha _{1}(a)\end{pmatrix}}|a,b\in A\right\}\subset M_{2}(A)$.

Um dann daraus $M_{2}(A)$ zu erhalten, muss man nach obigem Satz die duale Operation ${\hat {\alpha }}$ von ${\hat {\mathbb {Z} _{2}}}=\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}$ auf $A\ltimes _{\alpha }\!\mathbb {Z} _{2}$ betrachten. ${\hat {\alpha }}_{0}$ ist natürlich die Identität auf dem Kreuzprodukt und

${\hat {\alpha }}_{1}({\begin{pmatrix}a&b\\\alpha _{1}(b)&\alpha _{1}(a)\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}a&-b\\-\alpha _{1}(b)&\alpha _{1}(a)\end{pmatrix}}$.

Wendet man darauf dieselbe Einbettung in die Matrizenalgebra $M_{2}(A\ltimes _{\alpha }\!\mathbb {Z} _{2})$ an, erhält man insgesamt eine Unteralgebra von $M_{4}(A)$, von der man zeigen kann, dass sie zu $M_{2}(A)$ isomorph ist.