Takai-Dualität, benannt nach Hiroshi Takai, ist ein Konzept aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Ist ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe, so operiert die Dualgruppe auf derart, dass man die C*-Algebra bis auf Tensorierung mit den kompakten Operatoren aus zurückgewinnen kann.

Die duale Operation

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Es sei   ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe  . Dann gibt es dazu die Dualgruppe   der stetigen Gruppenhomomorphismen  , die mit der Topologie der kompakten Konvergenz wieder eine abelsche, lokalkompakte Gruppe ist. Weiter sei   die in   dicht liegende Faltungsalgebra der stetigen Funktionen   mit kompaktem Träger. Für   sei

 , wobei  .

Dann lässt sich   zu einem ebenso bezeichneten Automorphismus auf   ausdehnen und   ist ein Gruppenhomomorphismus von der Dualgruppe   in die Automorphismengruppe von  , der   zu einem C*-dynamischen System macht, das man das duale C*-dynamische System nennt.

Dualitätssatz von Takai

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Es sei   ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe   und   sei das duale C*-dynamische System. Ist   die C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Hilbertraum   der bzgl. des Haarmaßes quadratintegrierbaren Funktionen, so ist  .[1][2][3]

Bemerkungen

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Dies ist eine Analogie zur auf Takesaki zurückgehenden Dualität für W*-dynamischen Systeme. Die Tensorierung mit der vollen Operatorenalgebra für Von-Neumann-Algebren ist bei der hier vorgestellten Takai-Dualität durch das Tensorieren mit der C*-Algebra der kompakten Operatoren ersetzt.

Ist   separabel, zum Beispiel wenn   abzählbar unendlich und diskret ist, so ist   isomorph zur C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Folgenraum  . Man nennt zwei C*-Algebren   und   stabil-isomorph, wenn  . Der Satz über die Takei-Dualität sagt somit, dass das Kreuzprodukt des zu   dualen C*-dynamischen Systems stabil-isomorph zu   ist.

Ist   eine endliche Gruppe der Ordnung  , so ist   und daher  . Insbesondere folgt bis auf Isomorphie   und man erhält eine handliche Realisierung des Kreuzproduktes als Unteralgebra einer Matrizenalgebra.

Ist als konkretes Beispiel   die zweielementige Gruppe, so ist   und   ein Automorphismus mit  . Man erhält mit obiger Isomorphie

 .

Um dann daraus   zu erhalten, muss man nach obigem Satz die duale Operation   von   auf   betrachten.   ist natürlich die Identität auf dem Kreuzprodukt und

 .

Wendet man darauf dieselbe Einbettung in die Matrizenalgebra   an, erhält man insgesamt eine Unteralgebra von  , von der man zeigen kann, dass sie zu   isomorph ist.

Einzelnachweise

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  1. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 10.1.2
  2. H. Takai: On a duality for crossed products of C*-algebras, Journal of Functional Analysis, Band 19 (1975), Seiten 25–39
  3. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, Satz 7.9.3