Dunkl-Operator

Der Dunkl-Operator ist ein Differential-Differenz-Operator aus der Lie-Theorie, der einer endlichen Reflexionsgruppe eines Wurzelsystems zugeordnet ist. Er wurde 1989 von dem amerikanischen Mathematiker Charles F. Dunkl eingeführt.

In der Stochastik untersucht man die Dunkl-Prozesse, die càdlàg Markow-Prozesse sind, deren infinitesimaler Generator eine Summe von Dunkl-Operatoren ist.

Dunkl-Operator

Wir betrachten $\mathbb {R} ^{d}$ mit euklidischem Skalarprodukt $\langle ,\rangle$ und Skalarproduktnorm $\|\cdot \|$.

Sei

• $R$ ein Wurzelsystem in $\mathbb {R} ^{d}$,
• $R_{+}$ ein positives Teilsystem von $R$,
• $G$ die Spiegelungsgruppe von $R$, d. h. die Gruppe, die durch die Spiegelungen $\{\sigma _{\alpha }\mid \alpha \in R\}$, definiert durch

$\sigma _{\alpha }(x)=x-2{\frac {\langle \alpha ,x\rangle }{\|\alpha \|^{2}}}\alpha$,

erzeugt wird,

• $k\colon R\to \mathbb {C}$ eine Multiplizitätsfunktion, d. h. eine Funktion auf dem Wurzelsystem, die invariant unter $G$ ist, d. h. $k(\sigma _{\alpha }(x))=k(x)$. Die Menge aller Multiplizitätsfunktionen bezeichnen wir mit $K$,
• $D_{\xi }$ die Richtungsableitung bezüglich eines Vektores $\xi \in \mathbb {R} ^{d}$.

Dunkl-Operator

Sei nun $\xi \in \mathbb {R} ^{d}$ und $k\in K$ und $u\in C^{1}(\mathbb {R} ^{d})$. Der zugehörige Dunkl-Operator $T_{\xi }:=T_{\xi ,k}$ ist definiert durch

$T_{\xi }u(x)=D_{\xi }u(x)+\sum _{\alpha \in R_{+}}k(\alpha )\langle \alpha ,\xi \rangle {\frac {u(x)-u(\sigma _{\alpha }x)}{\left\langle \alpha ,x\right\rangle }}.$

Da noch weitere Dunkl-Operatoren existieren, nennt man diesen auch rationaler Dunkl-Operator.

Eigenschaften

Für ein fixes $k\in K$ kommutiert der Dunkl-Operator, d. h für $u,v\in \mathbb {R} ^{d}$ und $u,v\neq 0$ gilt

$T_{u}T_{v}=T_{v}T_{u}.$

Dunkl-Prozess

Für eine nichtnegative Multiplizitätsfunktion $k\in K$ und Standardvektoren $e_{1},\dots ,e_{d}$ definieren wir nun die Dunkl-Operatoren $T_{i}:=T_{e_{i}}$ definiert für $u\in C^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ durch

$T_{i}u(x)={\frac {\partial u(x)}{\partial x_{i}}}+\sum _{\alpha \in R_{+}}k(\alpha )\alpha _{i}{\frac {u(x)-u(\sigma _{\alpha }x)}{\left\langle \alpha ,x\right\rangle }}.$

Der Dunkl-Laplace-Operator ist definiert als

$\Delta _{k}:=\sum \limits _{i=1}^{d}T_{i}^{2}.$

Der Dunkl-Prozess ist der Markow-Prozess $X=(X)_{t\geq 0}$ mit dem infinitesimalen Generator

$L:={\frac {1}{2}}\Delta _{k}.$

Beispiel

Für $u\in C_{c}^{2}(\mathbb {R} ^{d})$, eine Multiplizitätsfunktion $k$ und einen Dunkl-Prozess $X$ lautet der infinitesimale Generator explizit

$Lu(x)={\frac {1}{2}}\Delta u(x)+\sum _{\alpha \in R_{+}}k(\alpha )\left[{\frac {\langle \nabla u(x),\alpha \rangle }{\langle \alpha ,x\rangle }}+{\frac {u(\sigma _{\alpha }x)-u(x)}{\langle \alpha ,x\rangle ^{2}}}\right],$

wobei $\Delta$ den gewöhnlichen Laplace-Operator auf $\mathbb {R} ^{d}$ bezeichnet.

Literatur

• Charles F. Dunkl: Differential-difference operators associated to reflection groups. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 311, Nr. 1, 1989, ISSN 0002-9947, S. 167–183, doi:10.2307/2001022. 
• Margit Rösler: Dunkl Operators: Theory and Applications. 2002, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0210366. 

Dunkl-Prozesse

• Léonard Gallardo und Marc Yor: A chaotic representation property of the multidimensional Dunkl processes. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 34, Nr. 4, 2006, S. 1530–1549, doi:10.1214/009117906000000133. 
• Margit Rösler, Michael Voit: Markov Processes Related with Dunkl Operators. In: Advances in Applied Mathematics. Band 21, Nr. 4, 1998, S. 575–643, doi:10.1006/aama.1998.0609 (sciencedirect.com).