Dutta-Ray-Lösung

Lösungskonzept der kooperativen Spieltheorie

Die Dutta-Ray-Lösung ist ein Lösungskonzept der kooperativen Spieltheorie. Streben eigennutzenmaximierende Individuen als soziales Ziel die Gleichheit an, so ist die Dutta-Ray-Lösung für kooperative Spiele mit transferierbaren Nutzen geeignet. Jede einzelne Koalition strebt dabei das Prinzip der Gleichheit an.[1]

Lorenz-Menge

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Die Lorenz-Menge wird mittels der (starken) Lorenz-Dominanz definiert. Dabei werden jene Zuteilungsvektoren verglichen, mittels derer die Lorenz-Kurven berechnet werden. In einem balancierten Spiel   ist die Lorenz-Menge definiert als:

 

Die Lorenz-Menge besteht somit aus allen nicht Lorenz-dominierten Kernzuteilungen. Außerdem ist die Lorenz-Menge eine Teilmenge des Kerns.[2]

Definition Dutta-Ray-Lösung

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Für konvexe Spiele   ist die Lorenz-Menge einelementig, d. h.  . Dieses Element wird dann auch Dutta-Ray-Lösung genannt. Die Dutta-Ray-Lösung eines konvexen Spiels   ist gegeben mit:

 [3]

Somit minimiert die Dutta-Ray-Lösung den euklidischen Abstand zwischen der Gleichverteilung und dem Kern.

Beispiele

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Beispiel 1

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Koalitionsfunktion des (Bei-)Spiels[4]
                 
                 

Es handelt sich um ein konvexes Spiel. Ist die Gleichverteilung im Kern des Spieles, so ist es die Dutta-Ray-Lösung. Hier sind die dafür notwendigen Bedingungen mit   erfüllt:

 

Beispiel 2

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Betrachtet man nun folgende Koalitionsfunktion mit ebenfalls  :

                 
                 

So kann festgehalten werden, dass dieses Spiel weiterhin konvex ist. Setzt man wieder die Gleichverteilung mit   in die Bedingungen ein:

 

ist die dritte Bedingung verletzt, d. h. die Gleichverteilung liegt nicht im Kern des Spieles. Spieler   und   wollen zusammen mindestens eine Auszahlung von   erhalten. Wird diese Auszahlung hälftig unter den beiden Spielern aufgeteilt  , dann kann Spieler   noch den Rest der Auszahlung der großen Koalition mit   ( ) erhalten. Somit ist eine Verteilung gefunden, die alle Bedingungen erfüllt. Zudem wird damit offensichtlich, dass es sich um die Dutta-Ray-Lösung handelt.

Literatur

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  • Bhaskar Dutta, Debraj Ray: A concept of egalitarianism under participation constraints. In: Econometrica, Volume 57, Issue 3, 1989, doi:10.2307/1911055, S. 615–635.
  • Bhaskar Dutta, Debraj Ray: Constrained Egalitarian Allocations. In: Games and Economic Behavior, Volume 3, Issue 4, 1991, doi:10.1016/0899-8256(91)90012-4, S. 403–422.
  • Toru Hokari, Anita van Gellekom: Population monotonicity and consistency in convex games: Some logical relations. In: International Journal of Game Theory, Volume 31, Issue 4, 2002 doi:10.1007/s001820300141, S. 593–607.
  • David Müller: Investitionscontrolling: Entscheidungsfindung bei Investitionen II: Entscheidungstheorie. 3. Aufl. Springer Gabler, Berlin u. a. 2022, ISBN 978-3-658-36596-7.

Einzelnachweise

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  1. Vgl. Dutta/Ray 1989, S. 615–617.
  2. Vgl. Müller 2022, S. 522.
  3. Vgl. Hokari/van Gellekom 2002, S. 596; Müller 2022, S. 524.
  4. Vgl. Müller 2022, S. 479.