Dyadische Elementarzellen

Die Menge der dyadischen Elementarzellen ist eine Partitionierung des p-dimensionalen Raumes.

Definition

Mit

${\mathcal {W}}_{n,\,(k_{1},\ldots ,k_{p})}:=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{p})\in \mathbb {R} ^{p}:{\frac {k_{i}}{2^{n}}}\leq x_{i}<{\frac {k_{i}+1}{2^{n}}}\right\},\;k_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N}$

definiert man einen halboffenen Würfel im $\mathbb {R} ^{p}$, der die Kantenlänge $2^{-n}$ hat.

${\mathcal {D}}_{n}$ bezeichnet die Menge der dyadischen Elementarzellen der Ordnung $n$:

${\mathcal {D}}_{n}:=\left\{{\mathcal {W}}_{n,\,(k_{1},\ldots ,k_{p})}:k_{i}\in \mathbb {Z} \right\},\;n\in \mathbb {N} \;.$

Elementarzellen selber Ordnung sind also disjunkt und voneinander durch ein Gitter getrennt.

Die Menge aller dyadischen Elementarzellen im $\mathbb {R} ^{p}$ wird dann mit ${\mathcal {D}}$ bezeichnet:

${\mathcal {D}}:=\left\{{\mathcal {W}}_{n,\,(k_{1},\ldots ,k_{p})}:k_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}\;.$

Die Menge der Eckpunkte der dyadischen Elementarzellen $\left\{({\tfrac {k_{1}}{2^{n}}},\ldots ,{\tfrac {k_{p}}{2^{n}}}):k_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}$ wird das dyadische Gitter genannt.

Bedeutung

Die Menge ${\mathcal {D}}$ der dyadischen Elementarzellen ist ein Halbring und erzeugt die Borelsche σ-Algebra ${\mathcal {B}}$ des $\mathbb {R} ^{p}$. Da ${\mathcal {D}}$ abzählbar ist, ist ${\mathcal {B}}$ eine separable σ-Algebra.

Beispiele

• $p=1$: Elementarzellen sind halboffene Intervalle.
• $p=2$: Elementarzellen sind Quadrate.
• $p=3$: Elementarzellen sind Würfel.