Dyson-Reihe

Die Dyson-Reihe ist eine nach Freeman Dyson benannte Reihe, welche in der zeitabhängigen Störungstheorie in der Quantenmechanik sowie in der Quantenelektrodynamik auftritt.^[1]^[2] In der Quantenelektrodynamik ist die Reihe divergent, führt aber zu Ergebnissen, die gut mit dem Experiment übereinstimmen, wenn sie nach endlich vielen Gliedern abgebrochen wird.^[3]

Wellenfunktionsdarstellung

Im Wechselwirkungsbild der Quantenmechanik spaltet man den Hamiltonoperator $H$ in einen ungestörten Teil $H_{0}$ und einen Wechselwirkungsterm $V$ auf: $H=H_{0}+V$ . Das Wechselwirkungsbild (Index ${\text{I}}$ für engl. interaction) hängt mit dem Schrödingerbild (ohne Index) wie folgt zusammen:

Zustände: $\psi _{\text{I}}(t):=e^{\mathrm {i} H_{0}t/\hbar }\;\psi (t)$
Störoperator: $V_{\text{I}}(t):=e^{\mathrm {i} H_{0}t/\hbar }\;V(t)\;e^{-\mathrm {i} H_{0}t/\hbar }$

Leitet man nun die Definitionsgleichung für $\psi _{\text{I}}(t)$ nach der Zeit $t$ ab und setzt die Schrödingergleichung ein, so ergibt sich für die Zeitentwicklungsgleichung:

\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{\text{I}}(t)=V_{\text{I}}(t)\psi _{\text{I}}(t)\;\;.

Eine Zeitintegration ergibt die Integralgleichung:

\psi _{\text{I}}(t)=\psi _{\text{I}}(t_{0})+{\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t_{1}\,V_{\text{I}}(t_{1})\,\psi _{\text{I}}(t_{1})\;\;.

Dies kann als Rekursionsgleichung für $\psi _{\text{I}}(t)$ gelesen werden. Iteratives Einsetzen von $\psi _{\text{I}}(t_{(n)})$ liefert:

\psi _{\text{I}}(t)=\psi _{\text{I}}(t_{0})+{\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t_{1}\,V_{\text{I}}(t_{1})\,\psi _{\text{I}}(t_{0})+{\frac {1}{(\mathrm {i} \hbar )^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathrm {d} t_{2}\,V_{\text{I}}(t_{1})\,V_{\text{I}}(t_{2})\,\psi _{\text{I}}(t_{0})+\ldots \;\;.

Im Allgemeinen kommutieren $V_{\text{I}}(t_{1})$ und $V_{\text{I}}(t_{2})$ nicht, $[V_{\text{I}}(t_{1}),V_{\text{I}}(t_{2})]\neq 0$ . Deshalb ist die Zeitordnung $t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}\leq t$ im Integrationsgebiet wichtig. Aufgrund der Symmetrie des Integranden ist es dennoch möglich, alle Integrale stattdessen von $t_{0}$ bis $t$ laufen zu lassen. Dann muss allerdings der Integrand nachträglich zeitgeordnet werden und der n-te Summand um den Faktor $1/n!$ korrigiert werden ( ${\mathcal {T}}$ steht für den Zeitordnungsoperator):

\psi _{\text{I}}(t)=\psi _{\text{I}}(t_{0})+{\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t_{1}\,V_{\text{I}}(t_{1})\,\psi _{\text{I}}(t_{0})+{\frac {1}{(\mathrm {i} \hbar )^{2}}}{\frac {1}{2!}}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t_{1}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t_{2}\,{\mathcal {T}}\,V_{\text{I}}(t_{1})\,V_{\text{I}}(t_{2})\,\psi _{\text{I}}(t_{0})+\ldots \;\;.

Dies ist die Dyson-Reihe für Wellenfunktionen:

\psi _{\text{I}}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(\mathrm {i} \hbar )^{n}}}{\frac {1}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t_{1}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t_{n}\,{\mathcal {T}}\,\left(\prod _{k=1}^{n}V_{\text{I}}(t_{k})\right)\psi _{\text{I}}(t_{0})\;\;.

Für die Störungstheorie nützlich sind weiterhin die Überlappelemente:

\langle \psi (t)\mid \psi (t_{0})\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(\mathrm {i} \hbar )^{n}}}\underbrace {\int \mathrm {d} t_{1}\cdots \mathrm {d} t_{n}} _{t\geq t_{1}\geq \cdots \geq t_{n}\geq t_{0}}\,\langle \psi (t)|e^{-\mathrm {i} H_{0}(t-t_{1})}Ve^{-\mathrm {i} H_{0}(t_{1}-t_{2})}\cdots Ve^{-\mathrm {i} H_{0}(t_{n}-t_{0})}|\psi (t_{0})\rangle \;.

Aufgrund obiger Definition von $\psi _{\text{I}}(t)$ sind die Skalarprodukte im Wechselwirkungsbild und Schrödingerbild identisch.

Operatordarstellung

Es ist auch möglich, die Dyson-Reihe direkt mit dem Zeitentwicklungsoperator $U$ zu entwickeln, ohne Wellenfunktionen explizit zu verwenden. $U$ wird auch Propagator – oder in diesem Zusammenhang auch Dyson-Operator – genannt. Per Definition liefert der Zeitentwicklungsoperator $U(t,t_{0})$ angewandt auf eine Wellenfunktion zur Zeit $t_{0}$ die Wellenfunktion zur Zeit $t$ :

\psi _{\text{I}}(t)=U_{\text{I}}(t,t_{0})\psi _{\text{I}}(t_{0})

Setzt man dies in die obige Zeitentwicklungsgleichung ein, erhält man unter der Annahme, dies gelte für jede Wellenfunktion $\psi$ :

\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U_{\text{I}}(t,t_{0})=V_{\text{I}}(t)U_{\text{I}}(t,t_{0})\;\;.

Durch formale Integration erhält man dann analog zu oben eine Rekursionsgleichung:

U_{\text{I}}(t,t_{0})=1+{\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t_{1}\,V_{\text{I}}(t_{1})\,U_{\text{I}}(t_{1},t_{0})\;\;.

Dies führt mit einer analogen Herleitung (siehe Artikel zur zeitabhängigen Störungstheorie) zur Dyson-Reihe für den Zeitentwicklungsoperator:

U_{\text{I}}(t,t_{0})={\mathcal {T}}\,e^{{\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\int _{t_{0}}^{t}V_{\text{I}}(t_{1})\,\mathrm {d} t_{1}}.

Im Schrödingerbild gilt entsprechend:

U(t,t_{0})={\mathcal {T}}\,e^{{\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\int _{t_{0}}^{t}H(t_{1})\,\mathrm {d} t_{1}}.

Literatur

Franz Schwabl, Quantenmechanik (QM I). Eine Einführung, 7. Auflage, Springer Verlag, München 2007, ISBN 978-3-540-73674-5. Kapitel 16.3.1 Störungsentwicklung

Einzelnachweise

↑ F. J. Dyson: The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman. In: Phys. Rev. 75. Jahrgang, Nr. 3, 1949, S. 486–502, doi:10.1103/PhysRev.75.486 (aps.org).
↑ F. J. Dyson: The S Matrix in Quantum Electrodynamics. In: Phys. Rev. 75. Jahrgang, Nr. 11, 1949, S. 1736–1755, doi:10.1103/PhysRev.75.1736 (aps.org).
↑ F. J. Dyson: Divergence of Perturbation Theory in Quantum Electrodynamics. In: Phys. Rev. 85. Jahrgang, Nr. 4, 1952, S. 631–632, doi:10.1103/PhysRev.85.631 (aps.org).

[Dyson1949a-1] F. J. Dyson: The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman. In: Phys. Rev. 75. Jahrgang, Nr. 3, 1949, S. 486–502, doi:10.1103/PhysRev.75.486 (aps.org).

[Dyson1949b-2] F. J. Dyson: The S Matrix in Quantum Electrodynamics. In: Phys. Rev. 75. Jahrgang, Nr. 11, 1949, S. 1736–1755, doi:10.1103/PhysRev.75.1736 (aps.org).

[Dyson1952-3] F. J. Dyson: Divergence of Perturbation Theory in Quantum Electrodynamics. In: Phys. Rev. 85. Jahrgang, Nr. 4, 1952, S. 631–632, doi:10.1103/PhysRev.85.631 (aps.org).

[1]

[2]

[3]