Dyson-Reihe

nach Freeman Dyson benannte Summenfolge

Die Dyson-Reihe ist eine nach Freeman Dyson benannte Reihe, welche in der zeitabhängigen Störungstheorie in der Quantenmechanik sowie in der Quantenelektrodynamik auftritt.[1][2] In der Quantenelektrodynamik ist die Reihe divergent, führt aber zu Ergebnissen, die gut mit dem Experiment übereinstimmen, wenn sie nach endlich vielen Gliedern abgebrochen wird.[3]

Wellenfunktionsdarstellung

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Im Wechselwirkungsbild der Quantenmechanik spaltet man den Hamiltonoperator   in einen ungestörten Teil   und einen Wechselwirkungsterm   auf:  . Das Wechselwirkungsbild (Index   für engl. interaction) hängt mit dem Schrödingerbild (ohne Index) wie folgt zusammen:

  • Zustände:  
  • Störoperator:  

Leitet man nun die Definitionsgleichung für   nach der Zeit   ab und setzt die Schrödingergleichung ein, so ergibt sich für die Zeitentwicklungsgleichung:

 

Eine Zeitintegration ergibt die Integralgleichung:

 

Dies kann als Rekursionsgleichung für   gelesen werden. Iteratives Einsetzen von   liefert:

 

Im Allgemeinen kommutieren   und   nicht,  . Deshalb ist die Zeitordnung   im Integrationsgebiet wichtig. Aufgrund der Symmetrie des Integranden ist es dennoch möglich, alle Integrale stattdessen von   bis   laufen zu lassen. Dann muss allerdings der Integrand nachträglich zeitgeordnet werden und der n-te Summand um den Faktor   korrigiert werden (  steht für den Zeitordnungsoperator):

 

Dies ist die Dyson-Reihe für Wellenfunktionen:

 

Für die Störungstheorie nützlich sind weiterhin die Überlappelemente:

 

Aufgrund obiger Definition von   sind die Skalarprodukte im Wechselwirkungsbild und Schrödingerbild identisch.

Operatordarstellung

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Es ist auch möglich, die Dyson-Reihe direkt mit dem Zeitentwicklungsoperator   zu entwickeln, ohne Wellenfunktionen explizit zu verwenden.   wird auch Propagator – oder in diesem Zusammenhang auch Dyson-Operator – genannt. Per Definition liefert der Zeitentwicklungsoperator   angewandt auf eine Wellenfunktion zur Zeit   die Wellenfunktion zur Zeit  :

 

Setzt man dies in die obige Zeitentwicklungsgleichung ein, erhält man unter der Annahme, dies gelte für jede Wellenfunktion  :

 

Durch formale Integration erhält man dann analog zu oben eine Rekursionsgleichung:

 

Dies führt mit einer analogen Herleitung (siehe Artikel zur zeitabhängigen Störungstheorie) zur Dyson-Reihe für den Zeitentwicklungsoperator:

 

Im Schrödingerbild gilt entsprechend:

 

Literatur

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  • Franz Schwabl, Quantenmechanik (QM I). Eine Einführung, 7. Auflage, Springer Verlag, München 2007, ISBN 978-3-540-73674-5. Kapitel 16.3.1 Störungsentwicklung

Einzelnachweise

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  1. F. J. Dyson: The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman. In: Phys. Rev. 75. Jahrgang, Nr. 3, 1949, S. 486–502, doi:10.1103/PhysRev.75.486 (aps.org).
  2. F. J. Dyson: The S Matrix in Quantum Electrodynamics. In: Phys. Rev. 75. Jahrgang, Nr. 11, 1949, S. 1736–1755, doi:10.1103/PhysRev.75.1736 (aps.org).
  3. F. J. Dyson: Divergence of Perturbation Theory in Quantum Electrodynamics. In: Phys. Rev. 85. Jahrgang, Nr. 4, 1952, S. 631–632, doi:10.1103/PhysRev.85.631 (aps.org).