Elektrovakuumlösung

Eine Elektrovakuumlösung ist in der Allgemeinen Relativitätstheorie eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen mit dem elektromagnetischen Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes, genannt Elektrovakuumgleichungen (oder Einstein-Maxwell-Gleichungen). Dabei wird die Feldenergie des elektromagnetischen Feldes als Quelle des Gravitationsfeldes betrachtet, wobei sich jedoch zwei wichtige Unterschiede zu Vakuumlösungen ergeben. Zum einen ändert sich durch das elektromagnetische Feld die Abhängigkeit der Gravitatation vom Abstand, etwa von einer invers proportionalen zu einer quadratisch invers proportionalen Abhängigkeit. Zum anderen sorgt das elektromagnetische Feld durch dessen negativen Druck für eine abstoßende Wirkung, also eine antigravitative Wirkung. Jedoch ist diese äußerst schwach und dominiert etwa bei einem Elektron nicht weiter als der klassische Elektronenradius.

Elektrovakuumgleichungen

Die Elektrovakuumgleichungen sind mit dem Einstein-Tensor $G_{\mu \nu }$, dem Ricci-Tensor $R_{\mu \nu }$, dem Ricci-Skalar $R$ und dem Feldstärketensor $F_{\mu \nu }$ gegeben durch:

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }=-{\frac {\kappa }{\mu }}\left(F_{\mu \lambda }F_{\;\;\nu }^{\lambda }+{\frac {1}{4}}F^{\kappa \lambda }F_{\kappa \lambda }g_{\mu \nu }\right).$

Die Kontraktion mit $g^{\mu \nu }$ führt mit $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$ und $g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=4$ sowie der Antisymmetrie des Feldstärketensors auf:

$R=0.$

Eingesetzt in die Elektrovakuumgleichungen ergibt sich die Vereinfachung:

$R_{\mu \nu }=-{\frac {\kappa }{\mu }}\left(F_{\mu \lambda }F_{\;\;\nu }^{\lambda }+{\frac {1}{4}}F^{\kappa \lambda }F_{\kappa \lambda }g_{\mu \nu }\right).$

Beispiele

• Reissner-Nordström-Metrik (nicht rotierend und ohne dunkle Energie)
• Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik (kurz RN(A)dS-Metrik, nicht rotierend und mit dunkler Energie)
• Kerr-Newman-Metrik (rotierend und ohne dunkle Energie)
• Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik (kurz KN(A)dS-Metrik, rotierend und mit dunkler Energie)

Siehe auch

• Lambdavakuumlösungen

Literatur

• Stephani, Hans, Kramer, Dietrich, MacCallum, Malcolm, Hoenselaers, Cornelius, Herlt, Eduard: Exact Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-46136-7 (englisch). 
• Griffiths, J. B.: Colliding Plane Waves in General Relativity. Clarendon Press, Oxford 1991, ISBN 0-19-853209-1 (englisch).