Der Begriff elementare Unterstruktur (oder elementare Substruktur) entstammt der Modelltheorie, einem Gebiet der mathematischen Logik.[1]

Eine Struktur ist elementare Unterstruktur der Struktur , wenn sie Unterstruktur im algebraischen Sinn ist und für ihre Elemente in beiden Strukturen die gleichen Aussagen gelten.

Man sagt dann auch: ist elementare Erweiterung von und verwendet als mathematische Symbolschreibweise (oder ; oft wird auch und geschrieben).

Präzisierung

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  soll eine beliebige Struktur sein und   die Sprache, die die entsprechenden Funktions-, Relations- und Konstantensymbole zur Signatur von   enthält und   eine Struktur mit gleicher Signatur.

Dann ist die Aussage „  ist eine elementare Unterstruktur von  “ durch folgende beiden Bedingungen definiert:

  • für die Trägermengen gilt  .
  • Für jede Formel   mit freien Variablen   und jede Belegung dieser Variablen mit Elementen   gilt:  

Man kann die zweite Bedingung auch so ausdrücken:

  • Erweitert man die Sprache   um eine Konstantenmenge  , dann gilt   für die erweiterten Strukturen (wenn jeweils die Konstante   durch   belegt wird), d. h. die erweiterten Strukturen sind elementar äquivalent.

Ist   ein Monomorphismus, d. h. ein injektiver starker Homomorphismus, dessen Bild   eine elementare Unterstruktur von   ist, dann nennt man   eine elementare Einbettung.

Die Ausdrucksweise „Es gibt eine elementare Erweiterung von  “ wird auch verwendet, wenn es eine Struktur   und eine elementare Einbettung   gibt.

Eine Theorie   heißt modellvollständig, wenn für zwei Modelle von   gilt: aus   folgt  .

Aussagen über elementare Substrukturen

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  • Auf Alfred Tarski gehen folgende Versionen des Satzes von Löwenheim-Skolem zurück, die auch als Sätze von Löwenheim-Skolem-Tarski bezeichnet werden (mit ZFC):
    • („abwärts“) Ist   eine beliebige (unendliche) Struktur und   die zugehörige Sprache, dann gibt es für alle Kardinalitäten   mit   eine elementare Substruktur   mit  
    • („aufwärts“) Für alle   gibt es eine elementare Erweiterung  .
  • Ist   endlich, dann hat   keine echten elementaren Unterstrukturen.

Tarski-Vaught-Test

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Der Tarski-Vaught-Test, benannt nach Alfred Tarski und Robert Vaught, gibt ein Kriterium an, wie man in der Prädikatenlogik erster Stufe die Beziehung   prüfen kann. Zum Nachweis von   muss man zeigen, dass jede in   für Elemente aus   geltende Formel auch schon in   gilt. Ein Blick auf die induktive Konstruktion der Formeln zeigt, dass hier am ehesten die Existenzaussagen zu einem Scheitern führen, denn das, was es in   zu Elementen aus   gibt, muss es ja nicht schon in der kleineren Menge   geben, wie auch die unten angegebenen Beispiele zeigen. Der Tarski-Vaught-Test sagt aus, dass das auch schon alles ist, worauf man achten muss:[2]

Tarski-Vaught-Test: Es gilt   genau dann, wenn  , das heißt   ist Unterstruktur von  , und es gilt

  • Für alle natürlichen Zahlen   und alle Formeln   mit freien Variablen in   und alle  -Tupel   gilt: Wenn  , dann gibt es ein   mit  .

Beispiele

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  • Betrachtet man   und   als reine Ordnungsstrukturen, dann gilt  . Elementare Unterstrukturen müssen schon aus Kardinalitätsgründen nicht isomorph zur Ausgangsstruktur sein.
  • Andererseits ist aber  , wenn man beide als Ringe betrachtet.  . Es kann also von der betrachteten Signatur abhängen, ob   gilt oder nicht.
  • Bezeichnet   die Struktur der geraden Zahlen (als reine Ordnungsstruktur), dann ist  . Dies zeigt, dass eine isomorphe Unterstruktur nicht elementare Unterstruktur sein muss.  
  • Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper ist modellvollständig, obwohl sie nicht vollständig ist!
  • In der Nonstandardanalysis ist die Struktur der hyperreellen Zahlen eine elementare Erweiterung von  . (Sowohl die Theorie der reell-abgeschlossenen Körper als auch die Theorie der reell-abgeschlossenen geordneten Körper sind modellvollständig.)

Einzelnachweise

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  1. Der Begriff wurde von A. Tarski und R. L. Vaught eingeführt in ihrer Arbeit: A. Tarski, R. L. Vaught: Arithmetical Extensions of Relational Systems; in: Compositio Math., vol 13 (1956/58), Seite 81–102
  2. Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie, Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Satz 8.3.2
  • Lexikon der Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag, 2003, (CD-Rom Ausgabe), Art. "elementare Erweiterung einer L-Struktur"
  • Chang, Chen C., Keisler, H. Jerome, Model Theory, Amsterdam [u. a.], North-Holland (1998); Kap. 3