Elementarsymmetrisches Polynom

Begriff aus der kommutativen Algebra

In der Mathematik, insbesondere in der kommutativen Algebra, sind die elementarsymmetrischen Polynome Grundbausteine der symmetrischen Polynome in dem Sinn, dass sich letztere stets als Polynom in ersteren ausdrücken lassen und dies auf nur eine Weise.

Zu jeder Anzahl (Symmetriegrad) von Unbestimmten und jedem (Polynom-)Grad gibt es genau ein elementarsymmetrisches Polynom.

Definition

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Es seien   Unbestimmte. Die Koeffizienten von

 

als Polynom in   sind symmetrisch in  ; sie heißen elementarsymmetrische Polynome.[Anm 1] Sie sind explizit angebbar als

 
 
 
 
 
 

Dabei kann man   auch schreiben als

 

Beispiele

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  • Die zwei elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen  ,   sind
  sowie  
  • In den drei Variablen  ,  ,   existieren die drei elementarsymmetrischen Polynome
 

Eigenschaften

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  • In einem elementarsymmetrischen Polynom haben die Monome einen einheitlichen Grad: es ist ein homogenes Polynom.
  • Nimmt man den Grad   der   als ersten Index hinzu, dann ist für  :
         
     
Für   lassen sich die elementarsymmetrischen Polynome folgendermaßen rekursiv berechnen:
         
           
     
  • Das elementarsymmetrische Polynom   vom Symmetriegrad   und Polynomgrad   enthält   Monome.
  • Für jeden kommutativen Ring   bezeichne   den Ring der symmetrischen Polynome in den Variablen   Dann gilt der Hauptsatz der elementarsymmetrischen Polynome:[1]
 
oder kurz:
 
In Worten:
Jedes symmetrische Polynom lässt sich als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben.
Der Satz stammt von Joseph-Louis Lagrange, war aber schon Isaac Newton bekannt.
Genauer gilt sogar, dass diese Darstellung eindeutig ist, denn:
  • Die elementarsymmetrischen Polynome   sind algebraisch unabhängig. Das heißt:
Ist   ein Polynom in   Unbestimmten und ist   dann ist   das Nullpolynom.
 
ein Polynom mit Koeffizienten in   und   die (mit Vielfachheit gezählten) Nullstellen von   in einem algebraischen Abschluss des Quotientenkörpers von  . Dann gilt nach dem Wurzelsatz von Vieta:
 
 
 
 
 
 

Berechnung

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Bei Zahlwerten (anstelle von Unbestimmten) gestaltet sich die Rechnung besonders einfach, denn statt mit   Monomen bestehend aus Produkten mit bis zu   Faktoren hat man nur   Multiplikationen.

Mit dem folgenden Programm lassen sich die Koeffizienten   des Polynoms

 

aus den Nullstellen   des Polynoms

 

berechnen:

// Umwandlung von Nullstellen in Koeffizienten:
double x[]; // bei Eingabe: n Zahlen für die Nullstellen   x[1, ... ,n]
            // bei Ausgabe: n Zahlen für die Koeffizienten s[1, ... ,n]
for (m=2; m≤n; ++m) {      // leere Schleife, wenn n ≤ 1
  y = x[m];
  x[m] *= x[m-1];          //  
  for (k=m-1; k≥2; --k) {  // leere Schleife, wenn m ≤ 2
    x[k] += x[k-1]*y;      //  
  }
  x[1] += y;               //  
}

Beispiele

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  •  
  •   Allgemein sind die Potenzsummen mit den elementarsymmetrischen Polynomen durch die Newton-Identitäten verbunden.
  • Das Polynom
 
ist symmetrisch in  , also kann man es als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben. Ist nun
 
ein Polynom mit Nullstellen   wie oben und setzt man diese in   ein, so entsprechen die elementarsymmetrischen Ausdrücke bis auf die Vorzeichen den Koeffizienten  , d. h.,   ist ein nur von   abhängendes Polynom in den Koeffizienten  . Bis auf Definitionsvarianten beim Vorzeichen ist dieses Polynom die Diskriminante von  .

Anmerkungen

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  1. In älterer Literatur trifft man auch die Bezeichnung symmetrische Grundfunktionen an. Denn in der älteren Literatur wird nicht zwischen „formalen“ Polynomen  , die Elemente des Polynomrings  , einer Polynomalgebra  oder eines Polynommoduls  sind, und den durch Einsetzen entstehenden Polynomfunktionen (Abbildungen)   (mit   und   oder  ) unterschieden. Stattdessen wird dann häufig die Unbestimmtheit der Variablen („Unbestimmte“  ) betont, wenn vom Polynom die Rede sein soll.

Literatur

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Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. Jantzen, Schwermer: Algebra 2014, Kapitel IV, Satz 3.5.