Embree-Trefethen-Konstante

Die Embree-Trefethen-Konstante ist eine mathematische Konstante, die nach den Mathematikern Mark Embree und Lloyd Nicholas Trefethen benannt wurde. Sie ist ein Grenzkoeffizient in der Zahlentheorie und wird mit $\beta ^{*}$ bezeichnet.

Für ein festes reelles $\beta >0$ betrachte man die Rekursion

$x_{n+1}=x_{n}\pm \beta \ x_{n-1},$

wobei für das Rechenzeichen auf der rechten Seite unabhängig für jedes $n$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit $+$ oder $-$ gewählt wird.

Für $\beta =1$ erhält man die zufällige Fibonacci-Folge.

Der Grenzwert

$\sigma (\beta ):=\lim _{n\to \infty }|x_{n}|^{\frac {1}{n}}$

existiert für jede Wahl von $\beta$ fast sicher. Mit anderen Worten: Die Folge verhält sich mit Wahrscheinlichkeit 1 asymptotisch exponentiell mit Basis $\sigma (\beta )$.

Es gilt

$\sigma <1$ für $0<\beta <\beta ^{*}\approx 0{,}70258,$

also fällt die Folge der $x_{n}$ dann fast sicher asymptotisch exponentiell, und

$\sigma >1$ für $\beta >\beta ^{*},$

also wachsen diesfalls die Folgenglieder fast sicher asymptotisch exponentiell.

Spezielle Werte von $\sigma$ sind:

• $\sigma (1)=1{,}131\,988\,248\,794\,3\dots$ (Viswanath-Konstante) und (nach Definition)
• $\sigma (\beta ^{*})=1$.

Literatur

• Mark Embree, Lloyd Nicholas Trefethen: Growth and Decay of Random Fibonacci Sequences. (PDF; 381 kB). In: Proceedings of the Royal Society. A 455, Juli 1999, S. 2471–2485 (englisch).
• Eric W. Weisstein: Random Fibonacci Sequence. In: MathWorld (englisch).