Endlichkeitssatz von Ahlfors

In der Mathematik beschreibt der Endlichkeitssatz von Ahlfors die geometrisch endlichen Enden hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten.

Endlichkeitssatz von Ahlfors

Sei $\Gamma$ eine endlich erzeugte Kleinsche Gruppe und $\Omega \subset \partial _{\infty }\mathbb {H} ^{3}$ ihr Diskontinuitätsbereich.

Dann hat $\Gamma \backslash \Omega$ endlich viele Zusammenhangskomponenten und jede dieser Zusammenhangskomponenten ist eine kompakte Riemannsche Fläche mit endlich vielen Punktierungen.

Quantitative Version

Die folgenden beiden Ungleichungen gehen auf Bers zurück.

Sei $\Gamma$ eine nicht-elementare Kleinsche Gruppe mit $N$ Erzeugern, dann ist

$Area(\Gamma \backslash \Omega )\leq 4\pi (N-1)$

mit Gleichheit nur für Schottky-Gruppen.

Für jede $\Gamma$-invariante Zusammenhangskomponente $\Omega _{1}$ gilt

$Area(\Gamma \backslash \Omega )\leq 2Area(\Gamma \backslash \Omega _{1})$

mit Gleichheit nur für Fuchssche Gruppen erster Art.

Höhere Dimension

Für endlich erzeugte, diskrete Untergruppen von $Isom(\mathbb {H} ^{n}),n\geq 4$, gilt im Allgemeinen kein Endlichkeitssatz. Gegenbeispiele wurden 1991 von Kapovich und Potyagailo angegeben.

Geschichte

Der Satz wurde 1964 von Ahlfors bewiesen und der Beweis 1967 von Greenberg vervollständigt. Laut Ahlfors hatte Bers zuvor bereits den analogen Satz für Fuchssche Gruppen bewiesen. Einen einfacheren Beweis gab später Dennis Sullivan, wobei er Analogien zur Iteration rationaler Funktionen ausnutzte.