Der Epanechnikov-Kern (nach W. A. Jepanetschnikow) ist derjenige Kern , der für einen kompakten Träger folgende Eigenschaften erfüllt:
k
(
x
)
≥
0
{\displaystyle k(x)\geq 0}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
∫
k
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int k(x)\,{\mathrm {d} }x=1}
∫
x
2
k
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int x^{2}k(x)\,{\mathrm {d} }x=1}
∫
k
2
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int k^{2}(x)\,{\mathrm {d} }x}
Zeichnung des Epanechnikov-Kerns Durch diese Eigenschaften minimiert der Epanechnikov-Kern unter allen Kernen die mittlere quadratische Abweichung des zugehörigen Kerndichteschätzers . Es handelt sich hierbei um ein Polynom der Form
a
+
b
x
2
{\displaystyle a+bx^{2}}
Wir wollen die numerischen Faktoren
a
,
b
{\displaystyle a,b}
k
n
,
d
(
x
)
{\displaystyle k_{n,d}(x)}
[
−
d
,
d
]
{\displaystyle [-d,d]}
n gegen die rechteckige Verteilung der Höhe
1
2
d
{\displaystyle {\tfrac {1}{2d}}}
k
n
,
d
(
x
)
=
{
1
2
d
(
1
+
1
2
n
)
(
1
−
(
x
d
)
2
n
)
,
|
x
|
≤
d
0
,
|
x
|
>
d
{\displaystyle k_{n,d}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2d}}\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)\left(1-\left({\frac {x}{d}}\right)^{2n}\right)&,|x|\leq d\\0&,|x|>d\end{cases}}}
Für diese gilt
∫
−
∞
∞
x
2
n
k
n
,
d
(
x
)
d
x
=
d
2
n
4
n
+
1
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}k_{n,d}(x)\,{\mathrm {d} }x={\frac {d^{2n}}{4n+1}}.}
Der von Epanechnikov selbst angegebene Kern normiert dieses Integral für
n
=
1
{\displaystyle n=1}
(
d
4
+
1
)
2
=
1
{\displaystyle \left({\tfrac {d}{\sqrt {4+1}}}\right)^{2}=1}
k
E
:=
k
1
,
5
{\displaystyle k_{E}:=k_{1,{\sqrt {5}}}}
[ 1]
k
E
(
x
)
=
{
3
4
5
(
1
−
x
2
5
)
,
|
x
|
≤
5
0
,
|
x
|
>
5
{\displaystyle k_{E}(x)={\begin{cases}{\frac {3}{4{\sqrt {5}}}}\left(1-{\frac {x^{2}}{5}}\right)&,|x|\leq {\sqrt {5}}\\0&,|x|>{\sqrt {5}}\end{cases}}}
Mitunter wird auch der Kern mit
d
=
1
{\displaystyle d=1}
k
E
(
x
)
=
{
3
4
(
1
−
x
2
)
,
|
x
|
≤
1
0
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle k_{E}(x)={\begin{cases}{\frac {3}{4}}(1-x^{2})&,|x|\leq 1\\0&,|x|>1\end{cases}}}
↑ V. A. Epanechnikov: Non-Parametric Estimation of a Multivariate Probability Density . In: Theory of Probability and its Applications , 1969, S. 156
![{\displaystyle [-d,d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf4006afd638b048ecbf6a3e0b243521ef89d75)
