Das Euler-Tschebyschow-Verfahren (nach Leonhard Euler und Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow; auch Verfahren der berührenden Parabeln) bezeichnet in der Numerischen Mathematik ein iteratives Verfahren zum Lösen nichtlinearer Gleichungen. Es ist vergleichbar mit dem Newton-Verfahren, hat jedoch die Konvergenzordnung 3.

Beschreibung

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Hat man eine nichtlineare Gleichung in Nullstellenform

  einer Funktion  

und einen hinreichend guten Startwert  , so erhält man über eine näherungsweise Berechnung der Nullstelle der abgebrochenen Taylorentwicklung

 

in jedem Schritt das folgende Verfahren. Die genaue Herleitung des Verfahrens ist in Halley-Verfahren im Abschnitt zum mehrdimensionalen Fall beschrieben.

Algorithmus

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  1. Wähle einen Startwert  , ein  ,  , setze  
    1. Falls   oder   Stopp
    2. Löse : , (Newton-Schritt)
    3. Löse : , (quadratische Korrektur)
    4. Setze  ,  

Eigenschaften

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Offenbar benötigt man im Gegensatz zum Newton-Verfahren die 2. Ableitung der Funktion. Die Erhöhung der Konvergenzordnung lohnt sich also nur, wenn die Berechnung der 2. Ableitung im Vergleich mit der Berechnung von Funktionswert und erster Ableitung leicht ist. Über andere Näherungen der Nullstelle der Taylorentwicklung erhält man andere Verfahren. Ein Beispiel dafür wäre das Halley-Verfahren.

Beispiel

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Als einfaches eindimensionales Beispiel soll die Berechnung der Nullstelle von   mit dem Startwert 0 genommen werden. Die erste Ableitung ist   die zweite Ableitung  

  • Schritt 1
    •  ,  ,  
    •  
    •  
    •  
  • Schritt 2
    •  ,  ,  
    •  
    •  
    •  

Nach dem 2. Schritt erhält man als Funktionswert   und kann abbrechen.

Literatur

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  • Hubert Schwetlick: Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1979, 346 S.