Exsymmedian

Die Exsymmediane eines Dreiecks sind definiert als die Tangenten an dem Umkreis des Dreiecks in den Eckpunkten des Dreiecks. Diese drei Exsymmediane bilden ein neues Dreieck, dessen Eckpunkte als Exsymmedian-Punkte bezeichnet werden.

Dreieck $ABC$
Exsymmediane (rot): $e_{a},e_{b},e_{c}$
Symmediane (grün): $s_{a},s_{b},s_{c}$
Exsymmedian-Punkte (rot): $E_{a},E_{b},E_{c}$

Durch die Exsymmedian-Punkte verläuft auch je ein Symmedian, das heißt zwei Exsymmediane und ein zugehöriger Symmedian schneiden in einem gemeinsamen Punkt. Genauer gilt für ein Dreieck $ABC$ mit Exsymmedianen $e_{a},e_{b},e_{c}$, Symmedianen $s_{a},s_{b},s_{c}$ und Exsymmedian-Punkten $E_{a},E_{b},E_{c}$:

${\begin{aligned}E_{a}&=e_{b}\cap e_{c}\cap s_{a}\\E_{b}&=e_{a}\cap e_{c}\cap s_{b}\\E_{c}&=e_{a}\cap e_{b}\cap s_{c}\end{aligned}}$

Die Länge der senkrechten Verbindungsstrecke zwischen einem Exsymmedian-Punkt und zugehöriger Dreiecksseite ist proportional zu dieser Dreiecksseite und es gelten die folgenden Formeln:

${\begin{aligned}k_{a}&=a\cdot {\frac {2\triangle }{c^{2}+b^{2}-a^{2}}}\\k_{b}&=b\cdot {\frac {2\triangle }{c^{2}+a^{2}-b^{2}}}\\k_{c}&=c\cdot {\frac {2\triangle }{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}\end{aligned}}$

Hierbei bezeichnen $\triangle$ die Fläche des Dreiecks $ABC$ und $k_{a},k_{b},k_{c}$ die senkrechten Verbindungsstrecken zwischen den Dreiecksseiten $a,b,c$ und den Exsymmedian-Punkten $E_{a},E_{b},E_{c}$.

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 214–215 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).