Fünfeckszahl

Eine Fünfeckszahl oder Pentagonalzahl ist eine Zahl, die das Konzept der Dreiecks- und Quadratzahlen auf das regelmäßige Fünfeck erweitert. Allerdings ist das dabei entstehende Muster weit weniger symmetrisch als das der Dreiecks- und Quadratzahlen. Die $n$-te Fünfeckszahl entspricht der Anzahl der Kugeln, die man zum Legen eines Musters mit $n$ regelmäßigen Fünfecken benötigt, die eine gemeinsame Ecke haben.

Ineinandergeschachtelte Fünfecke aus 22 Kugeln

Für eine figural gleichmäßige Bedeckung siehe →Zentrierte Fünfeckszahl.

Die ersten (nicht zentrierten) Fünfeckszahlen sind

0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, … (Folge A000326 in OEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Fünfeckszahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die $n$-te Fünfeckszahl lässt sich mit der Formel

${\frac {n(3n-1)}{2}}$

berechnen.

Die wichtigste Aussage über Fünfeckszahlen ist der Pentagonalzahlensatz.

Fünfeckszahlen der zweiten Art

Setzt man für $n$ eine negative ganze Zahl ein, so bekommt man Fünfeckszahlen zweiter Art oder auch Kartenhauszahlen. Kartenhauszahlen deswegen, weil die Zahlen angeben, wie viele Karten benötigt werden, um ein Kartenhaus mit $n$ Etagen zu bauen.

${\frac {n(3n-1)}{2}}={\frac {m(3m+1)}{2}}$ für $m=-1\cdot n$ und $n\leq 0$

Die Folge der Kartenhauszahlen beginnt: $0,2,7,15,26,40,57,\dots$ (Folge A005449 in OEIS)

Die Kartenhauszahlen lassen sich als Summe von Dreieckszahlen erzeugen:

Kartenhauszahlen als Summe von Dreieckszahlen

$2\cdot {\frac {m(m+1)}{2}}+{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m(3m+1)}{2}}$

Weblinks

• Kartenhauszahlen