Die fast konvexen Funktionen (englisch convex-like functions) bilden eine Verallgemeinerung der konvexen Funktionen und werden in der mathematischen Optimierung verwendet, da für sie einfache Regularitätsvoraussetzungen wie die Slater-Bedingung gelten, unter denen starke Dualität gilt und damit auch die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen gelten.

Definition

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Seien   reelle Vektorräume und   ein Ordnungskegel auf   sowie   eine nichtleere Teilmenge von  . Dann heißt eine Abbildung   fast konvex, wenn die Menge

 

konvex ist. Die Menge   lässt sich äquivalent beschreiben als

 

Ist der Kegel ein echter Kegel und definiert damit eine verallgemeinerte Ungleichung  , so lautet diese Menge

 

Beispiele

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Betrachtet man die Funktion   mit   und den echten Kegel   sowie  , so ist  . Damit ist  . Diese Menge ist konvex und damit ist die Sinusfunktion fast konvex.

Betrachtet man die Funktion  

und definiert   durch

 

auf   mit dem Ordnungskegel  . Für   ist jeder Punkt der Bildmenge von der Form   und damit ist  . Analog folgt mit  , dass  . Somit ist

 

Da aber   ist, kann die Menge   nicht konvex sein, da zum Beispiel die Punkte   und   in   enthalten sind, aber keiner der Punkte auf der Strecke zwischen ihnen. Zum Beispiel ist   der Mittelpunkt dieser Strecke, aber nicht in   enthalten.

Eigenschaften

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Jede konvexe Funktion ist fast konvex bezüglich des natürlichen Kegels  . Dies folgt direkt aus der Konvexität des Epigraphs. Genauso ist auch jede K-konvexe Funktion fast konvex bezüglich ihres Kegels.

Verwendung

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Die fast konvexen Funktionen sind eine Funktionenklasse, die so definiert ist, dass wenn sie die Slater-Bedingung erfüllt, die starke Dualität gilt. Sei also ein Optimierungsproblem der Form

 

gegeben für einen Ordnungskegel   mit nichtleerem Inneren und Abbildungen   und  . Dabei sind   normierte reelle Vektorräume und die Funktion   definiert durch   ist fast konvex bezüglich des Kegels  . Weiter sei   eine beliebige nichtleere Teilmenge von  .

Das Problem erfüllt nun die Slater-Bedingung, wenn es einen zulässigen Punkt   gibt. Das heißt  , so dass   ist. Dabei bezeichnet   das Innere einer Menge.

Erfüllt solch ein Problem mit fast konvexen Funktionen nun die Slater-Bedingung, so gilt starke Dualität und damit zum Beispiel auch die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen. Der Begriff der fast konvexen Funktion erweitert also die Dualitätstheorie der konvexen Funktionen auf Probleme, die nicht notwendigerweise konvex sein müssen. Dies hat den Vorteil, dass die Slater-Bedingung im Gegensatz zu vielen anderen Regularitätsbedingungen oder „constraint qualifications“ die Regularität des gesamten Problemes liefert, und nicht nur die Regularität in einem Punkt.

Literatur

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  • Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.