Fehler-in-den-Variablen-Modell

In der Statistik sind Fehler-in-den-Variablen-Modelle, auch Messfehlermodelle genannt, Regressionsmodelle für Regression mit stochastischen Regressoren, in der entweder die Antwortvariable oder einige erklärende Variablen mit Fehlern gemessen werden.

Darstellung einer Regressionsabschwächung durch eine Reihe von Regressionsschätzungen in Fehler-in-den-Variablen-Modellen. Zwei Regressionslinien (rot) begrenzten den Suchraum aus pontenziellen Regressionsfunktionen.

Klassisches Fehler-in-den-Variablen-Modell

→ Hauptartikel: Deming-Regression

Gegeben sei im einfachsten Fall ein einfaches lineares Regressionsmodell:

$Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i};\ i=1,\dots ,n$.

Im klassischen Fehler-in-den-Variablen-Modell wird angenommen, dass $x_{i}$ nur mit zufälligem Fehler $u_{i}$ beobachtet werden kann, d. h. man hat dann den stochastischen Regressor $z_{i}=x_{i}+u_{i}$. Für die Messfehler $u_{i}$ wird angenommen, dass sie unabhängig und identisch verteilt mit Erwartungswert null und Varianz $\sigma _{u}^{2}$, unkorreliert mit $x_{i}$ und unkorreliert mit der Störgröße $\varepsilon _{i}$ sind.

Konsequenzen von Fehlern in den Variablen

Messfehler in den erklärenden Variablen führen dazu, dass die gewöhnliche Kleinste-Quadrate-Schätzung nicht konsistent ist. Intuitiv betrachtet kommt es während des Trainings des Modells zu einer Fehlerfortpflanzung, was ohne weitere Gegenmaßnahmen die Qualität des Modells beeinträchtigen kann.