Die Dirac-Matrizen (nach dem britischen Physiker Paul Dirac ), auch Gamma-Matrizen genannt, sind vier Matrizen , die der Dirac-Algebra genügen. Sie treten in der Dirac-Gleichung auf.
Die Dirac-Matrizen
γ
0
,
γ
1
,
γ
2
{\displaystyle \gamma ^{0},\,\gamma ^{1}\,,\gamma ^{2}\,}
und
γ
3
{\displaystyle \,\gamma ^{3}\,}
erfüllen definitionsgemäß die Dirac-Algebra, das heißt, die algebraischen Bedingungen
γ
0
γ
0
=
I
,
γ
1
γ
1
=
−
I
,
γ
2
γ
2
=
−
I
,
γ
3
γ
3
=
−
I
,
γ
0
γ
1
=
−
γ
1
γ
0
,
γ
0
γ
2
=
−
γ
2
γ
0
,
γ
0
γ
3
=
−
γ
3
γ
0
,
γ
1
γ
2
=
−
γ
2
γ
1
,
γ
1
γ
3
=
−
γ
3
γ
1
,
γ
2
γ
3
=
−
γ
3
γ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}\gamma ^{0}&=I\,,&\gamma ^{1}\gamma ^{1}&=-I\,,&\gamma ^{2}\gamma ^{2}&=-I\,,&\gamma ^{3}\gamma ^{3}&=-I\,,\\\gamma ^{0}\gamma ^{1}&=-\gamma ^{1}\gamma ^{0}\,,&\gamma ^{0}\gamma ^{2}&=-\gamma ^{2}\gamma ^{0}\,,&\gamma ^{0}\gamma ^{3}&=-\gamma ^{3}\gamma ^{0}\,,&&\\\gamma ^{1}\gamma ^{2}&=-\gamma ^{2}\gamma ^{1}\,,&\gamma ^{1}\gamma ^{3}&=-\gamma ^{3}\gamma ^{1}\,,&\gamma ^{2}\gamma ^{3}&=-\gamma ^{3}\gamma ^{2}\,.&&\end{aligned}}}
mit der Einheitsmatrix
I
{\displaystyle I}
.
Diese Bedingungen betreffen Antikommutatoren , also die Summe der Produkte zweier Matrizen in beiden Reihenfolgen,
{
A
,
B
}
=
A
B
+
B
A
.
{\displaystyle \{A,B\}=A\,B+B\,A\,.}
In Indexnotation, in der
μ
{\displaystyle \mu }
und
ν
{\displaystyle \nu }
für Zahlen aus
{
0
,
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{0,1,2,3\}}
stehen, schreiben sich die Bedingungen an die Dirac-Matrizen zusammenfassend als
{
γ
μ
,
γ
ν
}
=
γ
μ
γ
ν
+
γ
ν
γ
μ
=
2
η
μ
ν
I
.
{\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\,\eta ^{\mu \nu }I\,.}
Dabei sind
η
μ
ν
{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}
die Komponenten der Minkowski-Metrik mit Signatur (1,−1,−1,−1).
Zusätzlich zu den vier Gamma-Matrizen definiert man noch die Matrix
γ
5
=
i
γ
0
γ
1
γ
2
γ
3
.
{\displaystyle \gamma ^{5}=\mathrm {i} \,\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\ .}
Sie ist ihr eigenes Inverses,
γ
5
γ
5
=
I
,
{\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{5}=I\,,}
ist hermitesch , antivertauscht mit den Gamma-Matrizen,
γ
5
γ
μ
=
−
γ
μ
γ
5
,
{\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{\mu }=-\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\,,}
und demnach mit jedem Produkt von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren.
Die Gamma-Matrizen erzeugen eine Clifford-Algebra . Jede irreduzible Darstellung dieser Algebra durch Matrizen besteht aus
4
×
4
{\displaystyle 4\times 4}
-Matrizen. Die Elemente des Vektorraumes, auf den sie wirken, heißen Spinoren . Verschiedene Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, das heißt, sie unterscheiden sich nur durch die gewählte Basis. Insbesondere sind die negativen transponierten Matrizen
−
γ
μ
T
{\displaystyle -\gamma ^{\mu \,{\text{T}}}}
und die hermitesch adjungierten Matrizen
γ
μ
†
{\displaystyle \gamma ^{\mu \,\dagger }}
den Matrizen
γ
μ
{\displaystyle \,\gamma ^{\mu }\,}
äquivalent, denn sie erfüllen ebenfalls die Dirac-Algebra. Es gibt daher eine Matrix
A
{\displaystyle A}
und eine Matrix
C
{\displaystyle C}
, so dass
C
γ
μ
C
−
1
=
−
γ
μ
T
,
A
γ
μ
A
−
1
=
γ
μ
†
.
{\displaystyle C\gamma ^{\mu }C^{-1}=-\gamma ^{\mu \,{\text{T}}}\ ,\quad A\gamma ^{\mu }A^{-1}=\gamma ^{\mu \,\dagger }\,.}
Die Matrix
A
{\displaystyle A}
ist zur Konstruktion von Skalaren, Vektoren und Tensoren aus Spinoren wichtig, die Matrix
C
{\displaystyle C}
tritt bei der Ladungskonjugation auf.
Jedes Produkt mehrerer Dirac-Matrizen lässt sich bis auf ein Vorzeichen als Produkt verschiedener Dirac-Matrizen in lexographischer Ordnung schreiben, denn das Produkt zweier verschiedener Gamma-Matrizen kann auf Kosten eines Vorzeichens umgeordnet werden. Zudem ist das Quadrat jeder Gamma-Matrix 1 oder −1. Die Produkte verschiedener Gamma-Matrizen bilden zusammen mit der Eins-Matrix und den negativen Matrizen eine Gruppe mit den 32 Elementen,
±
1
,
±
γ
μ
,
±
γ
μ
γ
ν
,
μ
<
ν
,
±
γ
λ
γ
μ
γ
ν
,
λ
<
μ
<
ν
,
±
γ
0
γ
1
γ
2
γ
3
,
wobei
λ
,
μ
,
ν
∈
{
0
,
1
,
2
,
3
}
.
{\displaystyle \pm 1\,,\,\pm \gamma ^{\mu }\,,\,\pm \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\,,\,\mu <\nu \,,\,\pm \gamma ^{\lambda }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\,,\,\lambda <\mu <\nu \,,\,\pm \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\,,\,{\text{wobei}}\,\lambda ,\mu ,\nu \in \{0,1,2,3\}\,.}
Da jede Darstellung einer endlichen Gruppe bei geeigneter Basiswahl unitär ist, ist auch jede Darstellung der Gamma-Matrizen bei geeigneter Wahl der Basis unitär. Zusammen mit der Dirac-Algebra heißt dies, dass
γ
0
{\displaystyle \gamma ^{0}}
hermitesch und die drei anderen
γ
{\displaystyle \gamma }
-Matrizen antihermitesch sind,
γ
0
†
=
γ
0
,
γ
1
†
=
−
γ
1
,
γ
2
†
=
−
γ
2
,
γ
3
†
=
−
γ
3
.
{\displaystyle \gamma ^{0\,\dagger }=\gamma ^{0}\,,\,\gamma ^{1\,\dagger }=-\gamma ^{1}\,,\,\gamma ^{2\,\dagger }=-\gamma ^{2}\,,\,\gamma ^{3\,\dagger }=-\gamma ^{3}\,.}
In unitären Darstellungen bewirkt
A
=
γ
0
{\displaystyle A=\gamma ^{0}}
die Äquivalenztransformation zu den adjungierten Matrizen
γ
0
γ
μ
γ
0
=
γ
μ
†
.
{\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}=\gamma ^{\mu \,\dagger }\,.}
Mithilfe der Eigenschaften von
γ
5
{\displaystyle \gamma ^{5}}
kann gezeigt werden, dass die Spur jedes Produktes von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren verschwindet.
Spur
(
γ
μ
1
…
γ
μ
2
n
+
1
)
=
Spur
(
γ
μ
1
…
γ
μ
2
n
+
1
γ
5
γ
5
)
=
−
Spur
(
γ
5
γ
μ
1
…
γ
μ
2
n
+
1
γ
5
)
=
−
Spur
(
γ
μ
1
…
γ
μ
2
n
+
1
γ
5
γ
5
)
=
−
Spur
(
γ
μ
1
…
γ
μ
2
n
+
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Spur}}\,{\bigl (}\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}{\bigr )}&={\text{Spur}}\,{\bigl (}\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}\gamma ^{5}\gamma ^{5}{\bigr )}=-{\text{Spur}}\,{\bigl (}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}\gamma ^{5}{\bigr )}\\&=-{\text{Spur}}\,{\bigl (}\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}\gamma ^{5}\gamma ^{5}{\bigr )}=-{\text{Spur}}\,{\bigl (}\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{2n+1}}{\bigr )}\,.\end{aligned}}}
Im vorletzten Schritt wurde dabei verwendet, dass die Spur eines Produktes sich bei zyklischer Vertauschung der Faktoren nicht ändert und demnach
Spur
(
γ
5
B
)
=
Spur
(
B
γ
5
)
{\displaystyle {\text{Spur}}\,(\gamma ^{5}\,B)={\text{Spur}}\,(B\,\gamma ^{5})}
gilt.
Für die Spur eines Produktes von zwei Gamma-Matrizen gilt (weil die Spur zyklisch ist)
Spur
γ
μ
γ
ν
=
1
2
Spur
(
γ
μ
γ
ν
+
γ
ν
γ
μ
)
=
2
η
μ
ν
2
Spur 1
=
4
η
μ
ν
.
{\displaystyle {\text{Spur}}\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }={\frac {1}{2}}{\text{Spur}}(\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\,\gamma ^{\mu })={\frac {2\,\eta ^{\mu \nu }}{2}}{\text{Spur 1}}=4\,\eta ^{\mu \nu }\,.}
Die Spur von vier Gamma-Matrizen reduziert man mit der Dirac-Algebra auf die Spur von zwei:
2
Spur
γ
κ
γ
λ
γ
μ
γ
ν
=
Spur
(
γ
κ
γ
λ
γ
μ
γ
ν
+
γ
λ
γ
μ
γ
ν
γ
κ
)
=
Spur
(
γ
κ
γ
λ
γ
μ
γ
ν
+
γ
λ
γ
κ
γ
μ
γ
ν
−
γ
λ
γ
κ
γ
μ
γ
ν
−
γ
λ
γ
μ
γ
κ
γ
ν
+
γ
λ
γ
μ
γ
κ
γ
ν
+
γ
λ
γ
μ
γ
ν
γ
κ
)
=
2
η
κ
λ
Spur
(
γ
μ
γ
ν
)
−
2
η
κ
μ
Spur
(
γ
λ
γ
ν
)
+
2
η
κ
ν
Spur
(
γ
λ
γ
μ
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}2\,{\text{Spur}}\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }&=&{\text{Spur}}(\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }\,\gamma ^{\kappa })\\&=&{\text{Spur}}(\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }\\&&\ \ \ \ -\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\nu }\\&&\ \ \ \ +\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }\,\gamma ^{\kappa })\\&=&2\,\eta ^{\kappa \lambda }{\text{Spur}}(\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu })-2\,\eta ^{\kappa \mu }{\text{Spur}}(\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\nu })+2\,\eta ^{\kappa \nu }{\text{Spur}}(\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu })\,.\end{array}}}
Daher gilt:
Spur
γ
κ
γ
λ
γ
μ
γ
ν
=
4
(
η
κ
λ
η
μ
ν
−
η
κ
μ
η
λ
ν
+
η
κ
ν
η
λ
μ
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\text{Spur}}\,\gamma ^{\kappa }\,\gamma ^{\lambda }\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }&=&4\,(\eta ^{\kappa \lambda }\,\eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\kappa \mu }\,\eta ^{\lambda \nu }+\eta ^{\kappa \nu }\,\eta ^{\lambda \mu })\,.\end{array}}}
Falls also verschiedene Dirac-Matrizen in einem Produkt nicht paarweise auftauchen, verschwindet die Spur des Produktes. Daraus folgt unter anderem, dass die sechzehn Matrizen, die man als Produkt von Null bis vier verschiedenen Gamma-Matrizen erhält, linear unabhängig sind.
Dirac führte die Gamma-Matrizen ein, um die Klein-Gordon-Gleichung , die eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, in eine Gleichung erster Ordnung umzuwandeln.
In natürlichen Einheiten kann die Dirac-Gleichung wie folgt geschrieben werden
(
i
γ
μ
∂
μ
−
m
)
ψ
=
0
{\displaystyle (\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0}
wobei
ψ
{\displaystyle \psi }
ein Dirac-Spinor ist.
Multipliziert man beide Seiten mit
−
(
i
γ
ν
∂
ν
+
m
)
{\displaystyle -(\mathrm {i} \gamma ^{\nu }\partial _{\nu }+m)}
erhält man
(
η
μ
ν
∂
μ
∂
ν
+
m
2
)
ψ
=
(
∂
2
+
m
2
)
ψ
=
0
,
{\displaystyle (\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }+m^{2})\psi =(\partial ^{2}+m^{2})\psi =0,}
also gerade die Klein-Gordon-Gleichung für ein Teilchen der Masse
m
{\displaystyle m}
.
Die sechs Matrizen
Σ
μ
ν
=
1
4
(
γ
μ
γ
ν
−
γ
ν
γ
μ
)
{\displaystyle \Sigma ^{\mu \nu }={\frac {1}{4}}{\bigl (}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }{\bigr )}}
bilden die Basis einer Lie-Algebra , die der Lie-Algebra der Lorentztransformationen isomorph ist. Sie erzeugen die zu Lorentztransformationen (die stetig mit der 1 zusammenhängen) gehörigen Transformationen der Spinoren
ψ
{\displaystyle \psi }
.
Aus
(
γ
5
)
2
=
1
{\displaystyle (\gamma ^{5})^{2}=1}
und
Spur
γ
5
=
0
{\displaystyle {\text{Spur}}\,\gamma ^{5}=0}
folgt, dass die Matrizen
P
L
=
1
−
γ
5
2
,
P
R
=
1
+
γ
5
2
{\displaystyle P_{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\,,\quad P_{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}}
Projektoren sind,
(
P
L
)
2
=
P
L
,
(
P
R
)
2
=
P
R
,
{\displaystyle (P_{L})^{2}=P_{L}\,,\,(P_{R})^{2}=P_{R}\,,}
die auf zueinander komplementäre, zweidimensionale Unterräume projizieren,
P
L
P
R
=
0
,
Spur
P
L
=
Spur
P
R
=
2
,
P
L
+
P
R
=
1
.
{\displaystyle P_{L}\,P_{R}=0\,,\ {\text{Spur}}\,P_{L}={\text{Spur}}\,P_{R}=2\,,\quad P_{L}+P_{R}=1\,.}
Diese Unterräume unterscheiden Teilchen verschiedener Chiralität .
Weil
γ
5
{\displaystyle \gamma ^{5}}
mit den Erzeugenden von Spinortransformationen vertauscht,
γ
5
Σ
μ
ν
=
Σ
μ
ν
γ
5
,
{\displaystyle \gamma ^{5}\Sigma ^{\mu \nu }=\Sigma ^{\mu \nu }\gamma ^{5}\,,}
sind die Unterräume, auf die
P
L
{\displaystyle P_{L}}
und
P
R
{\displaystyle P_{R}}
projizieren, invariant unter den von
Σ
μ
ν
{\displaystyle \Sigma ^{\mu \nu }}
erzeugten Lorentztransformationen, mit anderen Worten: Die links- und rechtshändigen Anteile,
ψ
L
=
P
L
ψ
{\displaystyle \psi _{L}=P_{L}\psi }
und
ψ
R
=
P
R
ψ
{\displaystyle \psi _{R}=P_{R}\psi }
, eines Spinors
ψ
{\displaystyle \psi }
transformieren getrennt voneinander.
Da
P
L
{\displaystyle P_{L}}
und
P
R
{\displaystyle P_{R}}
hermitesch sind, weil
γ
5
{\displaystyle \gamma ^{5}}
hermitesch ist, gilt für
ψ
¯
L
=
(
P
L
ψ
)
†
γ
0
=
ψ
†
P
L
†
γ
0
=
ψ
†
P
L
γ
0
=
ψ
†
γ
0
P
R
=
ψ
¯
P
R
{\displaystyle {\bar {\psi }}_{L}=(P_{L}\,\psi )^{\dagger }\gamma ^{0}=\psi ^{\dagger }P_{L}^{\dagger }\gamma ^{0}=\psi ^{\dagger }P_{L}\gamma ^{0}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}P_{R}={\bar {\psi }}\,P_{R}}
,
wobei
ψ
¯
{\displaystyle {\bar {\psi }}}
allgemein definiert wird als
ψ
¯
=
ψ
†
γ
0
{\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}
. Die Änderung
P
L
→
P
R
{\displaystyle P_{L}\rightarrow P_{R}}
ergibt sich aus der Vertauschung von
γ
5
{\displaystyle \gamma ^{5}}
mit
γ
0
{\displaystyle \gamma ^{0}}
. Da
γ
5
{\displaystyle \gamma ^{5}}
mit
γ
0
{\displaystyle \gamma ^{0}}
antikommutiert, ändert sich das Vorzeichen vor
γ
5
{\displaystyle \gamma ^{5}}
im Projektionsoperator
P
L
=
1
−
γ
5
2
→
P
R
=
1
+
γ
5
2
{\displaystyle P_{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\rightarrow P_{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}}
. Ganz analog erhält man für
ψ
¯
R
=
ψ
¯
P
L
{\displaystyle {\bar {\psi }}_{R}={\bar {\psi }}\,P_{L}}
.
Wegen
γ
0
γ
5
γ
0
=
−
γ
5
{\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{5}\gamma ^{0}=-\gamma ^{5}}
ändert ein Term, der
γ
5
{\displaystyle \gamma ^{5}}
enthält, unter der Paritätstransformation sein Vorzeichen, es macht also aus Skalaren Pseudoskalare und aus Vektoren Pseudovektoren .
Allgemein folgen Größen, die man aus
ψ
¯
=
ψ
†
A
=
ψ
†
γ
0
{\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }A=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}
, Gamma-Matrizen und einem eventuell von
ψ
{\displaystyle \psi }
verschiedenen Spinor
χ
{\displaystyle \chi }
zusammensetzt, einem Transformationsgesetz, das am Indexbild ablesbar ist. Es transformieren
ψ
¯
χ
{\displaystyle {\overline {\psi }}\chi }
wie ein Skalar,
ψ
¯
γ
μ
χ
{\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\chi }
wie die Komponenten eines Vierervektors ,
ψ
¯
Σ
μ
ν
χ
{\displaystyle {\overline {\psi }}\Sigma ^{\mu \nu }\chi }
wie die Komponenten eines Bivektors bzw. antisymmetrischen Tensors,
ψ
¯
γ
μ
γ
5
χ
{\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\chi }
wie die Komponenten eines Vierer-Pseudovektors ,
ψ
¯
γ
5
χ
{\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{5}\chi }
wie ein Pseudoskalar .
Richard Feynman erfand die nach ihm benannte Slash-Notation (auch Feynman-Dolch oder Feynman-Dagger). In dieser Notation wird das Skalarprodukt eines Lorentzvektors mit dem Vektor der Gamma-Matrizen
∑
μ
=
0
3
γ
μ
A
μ
{\displaystyle \textstyle \sum _{\mu =0}^{3}\,\gamma ^{\mu }A_{\mu }}
abgekürzt geschrieben als
A
/
=
d
e
f
∑
μ
=
0
3
γ
μ
A
μ
{\displaystyle A\!\!\!/\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{\mu =0}^{3}\gamma ^{\mu }A_{\mu }}
.
Dadurch kann z. B. die Dirac-Gleichung sehr übersichtlich geschrieben werden als
(
i
∂
/
−
m
c
ℏ
)
ψ
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle {\Bigl (}\mathrm {i} \partial \!\!\!/\ -{\frac {mc}{\hbar }}{\Bigr )}\,\psi (x)=0\ ,}
oder in natürlichen Einheiten
(
i
∂
/
−
m
)
ψ
(
x
)
=
0
.
{\displaystyle {\Bigl (}\mathrm {i} \partial \!\!\!/\ -m{\Bigr )}\,\psi (x)=0\ .}
In einer geeigneten Basis haben die Gamma-Matrizen die auf Dirac zurückgehende Form (verschwindende Matrixelemente nicht ausgeschrieben)
γ
0
=
(
1
1
−
1
−
1
)
,
γ
1
=
(
1
1
−
1
−
1
)
,
γ
2
=
(
−
i
i
i
−
i
)
,
γ
3
=
(
1
−
1
−
1
1
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{c c}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&&&\\&1&&\\&&-1&\\&&&-1\end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{1}={\begin{pmatrix}&&&1\\&&1&\\&-1&&\\-1&&&\end{pmatrix}}\,,\\\,&\,\\\gamma ^{2}={\begin{pmatrix}&&&-\mathrm {i} \\&&\mathrm {i} &\\&\mathrm {i} &&\\-\mathrm {i} &&&\end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}&&1&\\&&&-1\\-1&&&\\&1&&\end{pmatrix}}\,.\end{array}}}
Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben (jeder Eintrag steht hier für eine
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
-Matrix):
γ
0
=
(
1
−
1
)
,
γ
i
=
(
σ
i
−
σ
i
)
,
i
∈
{
1
,
2
,
3
}
,
γ
5
=
(
1
1
)
.
{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&\\&-1\end{pmatrix}}\,,\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&\end{pmatrix}}\,,\;i\in \{1,2,3\}\,,\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}&1\\1&\end{pmatrix}}\,.}
Die Diracmatrizen lassen sich mit Hilfe des Kronecker-Produktes auch folgendermaßen generieren:
γ
0
=
σ
3
⊗
1
,
γ
i
=
i
σ
2
⊗
σ
i
,
i
∈
{
1
,
2
,
3
}
,
γ
5
=
σ
1
⊗
1
.
{\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes 1,\quad \gamma ^{i}=\mathrm {i} \sigma ^{2}\otimes \sigma ^{i},\;i\in \{1,2,3\},\quad \gamma ^{5}=\sigma ^{1}\otimes 1\,.}
Die nach Hermann Weyl benannte Weyl-Darstellung heißt auch chirale Darstellung . In ihr ist
γ
5
{\displaystyle \gamma ^{5}}
diagonal,
γ
5
=
(
−
1
1
)
,
P
L
=
1
−
γ
5
2
=
(
1
0
)
,
P
R
=
1
+
γ
5
2
=
(
0
1
)
.
{\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-1&\\&1\end{pmatrix}}\,,\quad P_{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}={\begin{pmatrix}1&\\&0\end{pmatrix}}\,,\quad P_{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}={\begin{pmatrix}0&\\&1\end{pmatrix}}\,.}
Im Vergleich zur Dirac-Darstellung werden
γ
0
{\displaystyle \gamma ^{0}}
und
γ
5
{\displaystyle \gamma ^{5}}
verändert, die räumlichen
γ
{\displaystyle \gamma }
-Matrizen bleiben unverändert:
γ
0
=
(
1
1
)
,
γ
i
=
(
σ
i
−
σ
i
)
,
γ
5
=
(
−
1
1
)
.
{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}&1\\1&\end{pmatrix}}\,,\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&\end{pmatrix}}\,,\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-1&\\&1\end{pmatrix}}.}
Die Weyldarstellung ergibt sich durch einen unitären Basiswechsel aus der Dirac-Darstellung,
γ
Weyl
μ
=
U
γ
Dirac
μ
U
−
1
mit
U
=
1
2
(
1
−
1
1
1
)
,
U
−
1
=
U
†
=
1
2
(
1
1
−
1
1
)
.
{\displaystyle \gamma _{\text{Weyl}}^{\mu }=U\,\gamma _{\text{Dirac}}^{\mu }U^{-1}{\text{ mit }}U={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}},\ U^{-1}=U^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\,.}
Spinortransformationen transformieren in der Weyl-Basis die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten des Dirac-Spinors getrennt.
Die chirale Darstellung ist von besonderer Bedeutung in der Weyl-Gleichung , der masselosen Dirac-Gleichung.
In der Majorana -Darstellung sind alle Gamma-Matrizen imaginär. Dann ist die Dirac-Gleichung ein reelles Differentialgleichungssystem,
γ
0
=
(
−
σ
2
−
σ
2
)
,
γ
1
=
(
i
σ
3
i
σ
3
)
,
γ
2
=
(
i
−
i
)
,
γ
3
=
(
−
i
σ
1
−
i
σ
1
)
,
γ
5
=
(
i
−
i
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}&-\sigma ^{2}\\-\sigma ^{2}&\end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}&\mathrm {i} \sigma ^{3}\\\mathrm {i} \sigma ^{3}&\end{pmatrix}}\,,&\\&\,&&\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &\\&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}&-\mathrm {i} \sigma ^{1}\\-\mathrm {i} \sigma ^{1}&\end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}&\mathrm {i} \\-\mathrm {i} &\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}
James Bjorken , Sidney Drell : Relativistische Quantenmechanik , BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1990, (BI-Hochschultaschenbuch Band 98), ISBN 3-411-00098-8
Michael Peskin , Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory , Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1995, ISBN 0-201-50397-2
Josef-Maria Jauch , Fritz Rohrlich : The theory of photons and electrons , Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1955
Ferdinando Gliozzi, Joel Sherk, David Olive: Supersymmetry, Supergravity Theories and the Dual Spinor Model , Nucl. Phys. B122, 253–290, 1977. (Dirac-Algebra in höheren Dimensionen)
Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II) , Springer, Heidelberg, ISBN 978-3-540-85076-2