Ein Objekt besitzt in der Mathematik die Fixpunkteigenschaft (englisch fixed-point property, daher auch oft kurz FPP), wenn bestimmte wohldefinierte Abbildungen von in sich selbst einen Fixpunkt besitzen. Der Begriff wird überwiegend für topologische Räume, auf der jede stetige Abbildung einen Fixpunkt besitzen soll, angewendet, aber auch in der Verbandstheorie, wo man partiell geordnete Mengen und ordnungserhaltende Funktionen in sich selbst betrachtet, spielt die Fixpunkteigenschaft eine Rolle. In der Sprache der Kategorientheorie lässt sich diese Definition etwas präziser fassen.

Definition

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Sei   ein Objekt einer konkreten Kategorie  . Dann hat   die Fixpunkteigenschaft, wenn jeder Morphismus in   einen Fixpunkt besitzt.

Genauer: Da eine konkrete Kategorie vorausgesetzt ist, gibt es einen Vergissfunktor   in die Kategorie der Mengen. Gemeint ist, dass für jeden Morphismus   die Abbildung   zwischen Mengen einen Fixpunkt hat.

Beispiele

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Topologische Räume

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Am gebräuchlichsten wird die Definition für topologische Räume gebraucht. Dann ist   die Kategorie der topologischen Räume. Ein topologischer Raum   hat dann die Fixpunkteigenschaft, wenn jede stetige Selbstabbildung einen Fixpunkt besitzt.

  • Das abgeschlossene Intervall   hat die Fixpunkteigenschaft. Sei dafür   eine stetige Abbildung. Ist   oder  , dann hat   einen Fixpunkt. Falls nicht, dann ist   und  . Damit ist die Funktion  , gegeben durch  , eine stetige Funktion, die im Punkt   positiv und im Punkt   negativ ist. Nach dem Nullstellensatz von Bolzano besitzt   daher eine Nullstelle und   damit einen Fixpunkt.
  • Das offene Intervall   hat nicht die Fixpunkteigenschaft. Eine Abbildung wie   hat keinen Fixpunkt.
  • Allgemeiner gilt nach dem Fixpunktsatz von Brouwer, dass jede Kugel in einem endlichdimensionalen euklidischen Raum die Fixpunkteigenschaft besitzt.
  • Der reelle projektive Raum   hat die Fixpunkteigenschaft für   gerade.[1][2] Für   ungerade gilt dies nicht, da dann die Abbildung   keinen Fixpunkt hat.[2]
  • Der komplexe projektive Raum   hat die Fixpunkteigenschaft für   gerade.[2] Für   ungerade gilt dies nicht, da dann die Abbildung   keinen Fixpunkt hat.[2]

In der Kategorie der Mengen   sind die betrachteten Morphismen zwischen zwei Objekten  ,   die Abbildungen  . Die Objekte mit Fixpunkteigenschaft sind genau die Einermengen. Die einzige mögliche Abbildung einer Einermenge in sich selbst ist nämlich die Identität und die besitzt einen Fixpunkt. Sei   eine Menge mit mehr als einem Element. Dann hat   auf jeden Fall zwei verschiedene Elemente  . Eine Abbildung   gegeben durch

 

hat dann keine Fixpunkte.

Verbände

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In der Kategorie der Verbände sind die betrachteten Morphismen zwischen zwei Objekten zwischen zwei Objekten  ,   die ordnungserhaltenden Abbildungen  . Nach dem Fixpunktsatz von Tarski und Knaster hat jeder Verband genau dann die Fixpunkteigenschaft, wenn er vollständig ist. Darüber hinaus ist die Menge aller Fixpunkte einer festgewählten Funktion selbst ein vollständiger Verband.

Topologische Eigenschaften

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  • Genau dann hat ein topologischer Raum die Fixpunkteigenschaft, wenn die Identität die universelle Eigenschaft hat.
  • Im Allgemeinen hat die Produkttopologie von zwei topologischen Räumen mit Fixpunkteigenschaft nicht die Fixpunkteigenschaft. Der Unterraum des   gegeben durch
 
hat die Fixpunkteigenschaft. Das gilt nicht mehr für  .[3]
  • Hat   die Fixpunkteigenschaft, so haben alle Retrakte   ebenfalls die Fixpunkteigenschaft. Seien nämlich   eine stetige Abbildung,   die Inklusionsabbildung sowie   eine Retraktion, dann ist   ebenfalls eine stetige Abbildung. Da   die Fixpunkteigenschaft besitzt, hat   einen Fixpunkt und damit auch   selbst.
  • Ebenso bleibt die Fixpunkteigenschaft unter Homöomorphie erhalten, die Argumentation folgt analog zu der davor.
  • Wegen der Invarianz unter Homöomorphie und des Fixpunktsatzes von Schauder hat jede kompakte und konvexe Menge mit der Unterraumtopologie eines lokalkonvexen topologischen Vektorraumes die Fixpunkteigenschaft.
  • Konvexität ist zwar keine topologische Eigenschaft, aber im Allgemeinen erfüllen kompakte topologische Räume die Fixpunkteigenschaft nicht, z. B. besitzt die Funktion
 ,  
keinen Fixpunkt. 1932 vermutete Karol Borsuk, dass kompakte und zusammenziehbare Räume die Fixpunkteigenschaft haben. Erst 20 Jahre später gelang es dem Mathematiker Kinoshita durch Angabe eines Gegenbeispiels die Vermutung zu widerlegen.[4]

Literatur

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Anmerkungen

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  1. Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 155, Exercise 2.
  2. a b c d Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 180.
  3. Robert F. Brown: The Fixed Point Property and Cartesian Products. The American Mathematical Monthly, Band. 89, Nr. 9, 1982, S. 655
  4. Shinichi Kinoshita: On Some Contractible Continua without Fixed Point Property. Fundamenta Mathematicae, Band 40, Nr. 1, 1953, S. 96–98