Die Ford-Kreise sind Kreise in der reellen Ebene, je einer für jede rationale Zahl und einer zum Punkt unendlich. Die Kreise sind nach dem amerikanischen Mathematiker Lester R. Ford benannt, der sie 1938 entdeckte.

Ford-Kreise bis q = 20
Ford-Kreise der Farey-Reihe der fünften Ordnung

Definition

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Der Fordkreis zum Bruch   mit teilerfremden, ganzen Zahlen   und   wird meist mit   oder   bezeichnet. Er hat für   den Radius   und sein Zentrum liegt im Punkt  . Außerdem ist der Fordkreis   definiert als die Gerade   (projektiv gesehen ist dies ein Kreis mit Zentrum im Unendlichen).

Eigenschaften der Fordkreise

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Das Innere je zweier verschiedener Fordkreise ist disjunkt, d. h. die Kreise überlappen sich nicht. Allerdings können sie sich berühren. Außerdem wird jeder rationale Punkt der x-Achse von einem Fordkreis berührt.

Liegt der Bruch   im offenen Intervall  , so entsprechen die   berührenden Fordkreise gerade den Nachbarn von   in einer Farey-Reihe.

Ford-Kugeln (3D)

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Eine Verallgemeinerung ergibt sich mit Gaußsche Zahlen p=p'+ip'' und q=q'+iq''. Die Division von zwei komplexen Zahlen mit ganzzahligen Koeffizienten ergibt rationale Koeffizienten: Mit ganzen Zahlen |q|²=q'*q'+q''*q'', n'=p'*q'+p''*q'' und n''= p''q'-p'q'' lässt sich der Quotient schreiben als p/q=(n'+in'')/|q|². Erstellt man für alle ganzen Zahlen p','p'',q',q'' mit teilerfremden p,q Kugeln mit Radius r=  am Punkt ((p/q)',(p/q)'',r) entstehen Ford-Kugeln.

Zwei Kugeln   und   tangieren sich genau dann wenn  .[1]

 
Ford-Kugeln über der komplexen Ebene

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. L. R. Ford: Fractions. In: The American Mathematical Monthly. Band 45, Nr. 9, November 1938, ISSN 0002-9890, S. 586–601, doi:10.1080/00029890.1938.11990863 (tandfonline.com [abgerufen am 19. Mai 2020]).